الهولومورفية اللانهائية الأبعاد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ التحليل التامّ الأبعاد فرعًا من التحليل الوظيفي . وهو يهتم بتعميم مفهوم الدالة التامّة الأبعاد ليشمل الدوال المعرّفة التي تأخذ قيمًا في فضاءات باناخ المركبة (أو فضاءات فريشيه بشكل أعم)، والتي عادةً ما تكون ذات أبعاد لانهائية. وهو أحد جوانب التحليل الوظيفي غير الخطي .

الدوال الهولومورفية ذات القيم المتجهة المعرفة في المستوى المركب

تتمثل الخطوة الأولى في توسيع نظرية الدوال التحليلية لتشمل ما يتجاوز بُعدًا عقديًا واحدًا في دراسة ما يُسمى بالدوال التحليلية المتجهة ، والتي لا تزال مُعرَّفة في المستوى العقدي C ، ولكنها تأخذ قيمًا في فضاء باناخ. وتُعد هذه الدوال مهمة، على سبيل المثال، في بناء حساب التفاضل والتكامل الوظيفي التحليلي للمؤثرات الخطية المحدودة .

التعريف. تُسمى الدالة f  : U → X ، حيث U ⊂ C هي مجموعة جزئية مفتوحة و X هو فضاء باناخ معقد، دالة هولومورفية إذا كانت قابلة للتفاضل المعقد؛ أي أنه لكل نقطة z ∈ U توجد النهاية التالية :

و′(z)=ليمζ→zو(ζ)-و(z)ζ-z.{\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.}

يمكن تعريف التكامل الخطي لدالة هولومورفية متجهة f  : U → X على طول منحنى قابل للتقويم γ  : [ a , b ] → U بنفس طريقة تعريف التكامل الخطي للدوال الهولومورفية المركبة، على أنه نهاية مجاميع من الشكل

∑1≤ك≤نو(γ(تك))(γ(تك)-γ(تك-1)){\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))}

حيث a = t 0 < t 1 < ... < t n = b هو تقسيم فرعي للفترة [ a , b ]، حيث تقترب أطوال فترات التقسيم الفرعي من الصفر.

من السهل التحقق من صحة نظرية كوشي التكاملية، فهي تنطبق أيضًا على الدوال التحليلية ذات القيم المتجهة. في الواقع، إذا كانت f  : U → X دالة من هذا النوع، و T  : X → C دالة خطية محدودة، فيمكن إثبات أن

تي(∫γو(z)دz)=∫γ(تي∘و)(z)دz.{\displaystyle T\left(\int _{\gamma }f(z)\,dz\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,dz.}

علاوة على ذلك، فإن التركيب T من U إلى C هو دالة تحليلية ذات قيم مركبة. لذلك، بالنسبة لـ γ منحنى مغلق بسيط يقع داخله في U ، فإن التكامل على اليمين يساوي صفرًا، وفقًا لنظرية كوشي التكاملية الكلاسيكية. ثم، بما أن T اختيارية، فإنه يتبع من نظرية هان-باناخ أن 

∫γو(z)دz=0{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}

وهذا يثبت نظرية كوشي التكاملية في الحالة ذات القيم المتجهة.

باستخدام هذه الأداة القوية، يمكن للمرء بعد ذلك إثبات صيغة كوشي التكاملية ، ومثلما هو الحال في الحالة الكلاسيكية، فإن أي دالة هولومورفية ذات قيم متجهة هي دالة تحليلية .

يُعدّ معيارًا مفيدًا لكي تكون الدالة f  : U → X تامة الشكل هو أن تكون T o f  : U → C دالة تامة الشكل ذات قيم عقدية لكل دالة خطية متصلة T  : X → C. تُسمى هذه الدالة f تامة الشكل ضعيفة . ويمكن إثبات أن الدالة المعرفة على مجموعة جزئية مفتوحة من المستوى العقدي، والتي لها قيم في فضاء فريشيه، تكون تامة الشكل إذا، وفقط إذا، كانت تامة الشكل ضعيفة.

الدوال الهولومورفية بين فضاءات باناخ

بشكلٍ أعم، إذا كان لدينا فضاءان باناخ معقدان X و Y ومجموعة مفتوحة U ⊂ X ، فإن الدالة f  : U → Y تُسمى دالة تحليلية إذا كانت مشتقة فريشيه للدالة f موجودة عند كل نقطة في U. يمكن إثبات أنه في هذا السياق الأكثر عمومية، لا يزال صحيحًا أن الدالة التحليلية تحليلية، أي أنه يمكن توسيعها محليًا في متسلسلة قوى . مع ذلك، لم يعد صحيحًا أنه إذا كانت الدالة معرفة وتحليلية في كرة، فإن متسلسلة قواها حول مركز الكرة تكون متقاربة في الكرة بأكملها؛ على سبيل المثال، توجد دوال تحليلية معرفة على الفضاء بأكمله ولها نصف قطر تقارب محدود.

الدوال الهولومورفية بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية

بشكل عام، إذا كان لدينا فضاءان متجهيان طوبولوجيان معقدان X و Y ومجموعة مفتوحة U ⊂ X ، فهناك طرق متعددة لتعريف التماثل التام للدالة f  : U → Y. على عكس الحالة ذات الأبعاد المحدودة، عندما يكون X و Y بلا أبعاد، قد تعتمد خصائص الدوال التماثلية على التعريف المُختار. ولتقليل عدد الاحتمالات التي يجب مراعاتها، سنناقش التماثل التام فقط في حالة كون X و Y محدبين محليًا .

يقدم هذا القسم قائمة بالتعريفات، بدءًا من أضعفها وصولًا إلى أقواها. ويختتم بمناقشة بعض النظريات التي تربط هذه التعريفات عندما تخضع الفضائين X و Y لبعض القيود الإضافية.

شكل الكعكة

إن خاصية "هولومورفي" الخاصة بـ "جاتو" هي التعميم المباشر لخاصية "الهولومورفي" الضعيفة إلى الإطار اللانهائي الأبعاد بالكامل.

ليكن X و Y فضاءين متجهيين طوبولوجيين محدبين محليًا، و U ⊂ X مجموعة مفتوحة. يُقال إن الدالة f  : U → Y هي دالة غاتو هولومورفية إذا كان، لكل a ∈ U و b ∈ X ، ولكل دالة خطية متصلة φ  : Y → C ، الدالة

وφ(z)=φ∘و(أ+zب){\displaystyle f_{\varphi }(z)=\varphi \circ f(a+zb)}

هي دالة تحليلية لـ z في جوار نقطة الأصل. يُرمز إلى مجموعة دوال غاتو التحليلية بالرمز H G ( U , Y ).

في تحليل الدوال الهولومورفية لجاتو، تنطبق جميع خصائص الدوال الهولومورفية ذات الأبعاد المحدودة على الفضاءات الجزئية ذات الأبعاد المحدودة من X. ومع ذلك، وكما هو معتاد في التحليل الوظيفي، قد لا تتكامل هذه الخصائص بشكل منتظم لتؤدي إلى أي خصائص مقابلة لهذه الدوال على المجموعات المفتوحة الكاملة.

أمثلة

  • إذا كانت f ∈ U، فإن f تمتلك مشتقات جاتو من جميع الرتب، لأنه بالنسبة لـ x ∈ U و h1, ..., hk ∈ X، فإن مشتقة جاتو من الرتبة k، Dk f( x ) { h1 , ... , hk } ، تتضمن فقط مشتقات اتجاهية متكررة في فضاء h1 ، وهو فضاء محدود الأبعاد . في هذه الحالة ، تكون مشتقات جاتو المتكررة متعددة الخطية في h1 ، ولكنها عمومًا لن تكون متصلة عند النظر إليها على كامل الفضاء X.
  • علاوة على ذلك، فإن صيغة من نظرية تايلور صحيحة:
و(x+y)=∑ن=0∞1ن!د^نو(x)(y){\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}
هنا،د^نو(x)(y){\displaystyle {\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}هي متعددة الحدود المتجانسة من الدرجة n في y المرتبطة بالمؤثر متعدد الخطية D n f ( x ). تقارب هذه المتسلسلة غير منتظم. بتعبير أدق، إذا كان V ⊂ X فضاءً جزئيًا ثابتًا محدود الأبعاد، فإن المتسلسلة تتقارب بانتظام على جوارات صغيرة ومضغوطة كافية لـ 0 ∈ Y. مع ذلك، إذا سُمح للفضاء الجزئي V بالتغير، فإن التقارب يفشل: لن يكون منتظمًا بشكل عام بالنسبة لهذا التغير. تجدر الإشارة إلى أن هذا يتناقض تمامًا مع حالة الفضاء الجزئي محدود الأبعاد.

إذا كانت f  : ( U ⊂ X 1 ) × ( V ⊂ X 2 ) → Y دالة هي دالة غاتو هولومورفية بشكل منفصل في كل وسيط من وسائطها، فإن f هي دالة غاتو هولومورفية على فضاء الضرب.

التحليل الناقص

تكون الدالة f  : ( U ⊂ X ) → Y شبه تحليلية إذا كانت f ∈ H G ( U , Y ) بالإضافة إلى أن f متصلة على مجموعات فرعية مضغوطة نسبيًا من U.

التماثل الشكلي

تكون الدالة f ∈ H G (U, Y ) تامة الشكل إذا كان، لكل x ∈ U ، يكون توسيع متسلسلة تايلور

و(x+y)=∑ن=0∞1ن!د^نو(x)(y){\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}

(وهو أمرٌ مضمونٌ وجوده بالفعل بواسطة خاصية جاتو التحليلية) يتقارب ويكون متصلاً بالنسبة لـ y في جوار 0 ∈ X. وهكذا، تجمع خاصية التحليل بين مفهوم التحليل الضعيف وتقارب متسلسلة القوى. ويُرمز إلى مجموعة الدوال التحليلية بالرمز H( U , Y ).

الهولومورفية المحدودة محليًا

تُسمى الدالة f  : ( U ⊂ X ) → Y محدودة محليًا إذا كان لكل نقطة من U جوارٌ صورته تحت تأثير f محدودة في Y. وإذا كانت f ، بالإضافة إلى ذلك، دالة غاتو تحليلية على U ، فإنها تُسمى دالة تحليلية محدودة محليًا . في هذه الحالة، نكتب f ∈ H LB ( U , Y ).

مراجع