الموتر

يمكن تمثيل الموتر كمصفوفة (قد تكون متعددة الأبعاد). وكما يُمثَّل المتجه في فضاء ذي n بُعد بمصفوفة أحادية البُعد تحتوي على n عنصرًا بالنسبة إلى أساس مُعطى ، فإن أي موتر بالنسبة إلى أساس ما يُمثَّل بمصفوفة متعددة الأبعاد. على سبيل المثال، يُمثَّل المؤثر الخطي في أساس ما كمصفوفة مربعة ثنائية الأبعاد n × n . تُعرف الأعداد في المصفوفة متعددة الأبعاد بعناصر الموتر . ويُشار إليها بمؤشرات تُحدد موقعها في المصفوفة، كرموز سفلية وعلوية ، بعد الاسم الرمزي للموتر. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى عناصر موتر من الرتبة 2، T، بالرمز T  ij  ، حيث i و j مؤشران يتراوحان من 1 إلى n ، أو بالرمز T ij  . يعتمد عرض المؤشر كرمز علوي أو سفلي على خصائص تحويل الموتر، الموضحة أدناه. وبالتالي، في حين أن T ij و T i j يمكن التعبير عنهما كمصفوفات n × n ، وهما مرتبطان عدديًا من خلال التلاعب بالفهرس ، فإن الاختلاف في قوانين التحويل الخاصة بهما يشير إلى أنه من غير المناسب جمعهما معًا.

يُساوي العدد الإجمالي للفهارس ( m ) اللازمة لتحديد كل عنصر بشكل فريد بُعد المصفوفة أو عدد عناصرها ، ولذلك يُشار إلى الموتر أحيانًا باسم مصفوفة ذات بُعد m أو مصفوفة ذات عناصر m . يُطلق على العدد الإجمالي للفهارس أيضًا اسم رتبة الموتر أو درجته ، ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} مع العلم أن مصطلح "الرتبة" له معنى آخر في سياق المصفوفات والموترات.

كما تتغير مركبات المتجه عند تغيير أساس فضاء المتجهات، تتغير مركبات الموتر أيضًا عند إجراء هذا التحويل. لكل نوع من أنواع الموترات قانون تحويل يوضح بالتفصيل كيفية استجابة مركبات الموتر لتغيير الأساس . يمكن لمركبات المتجه أن تستجيب بطريقتين مختلفتين لتغيير الأساس (انظر: التغاير والتغاير العكسي للمتجهات )، حيث تكون متجهات الأساس الجديدة${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$يتم التعبير عنها بدلالة متجهات الأساس القديمة${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$مثل،

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

هنا، تمثل R ij  عناصر مصفوفة تغيير الأساس، وفي التعبير الموجود في أقصى اليمين، تم حذف علامة الجمع : هذا هو اصطلاح جمع أينشتاين ، والذي سيتم استخدامه في جميع أنحاء هذه المقالة. [ ملاحظة 1 ] تتحول مكونات v ij  لمتجه عمودي v باستخدام معكوس المصفوفة R.

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

حيث تشير علامة القبعة إلى المكونات في الأساس الجديد. يُطلق على هذا قانون التحويل المتغاير ، لأن مكونات المتجه تتحول بعكس تغيير الأساس. في المقابل، تتحول مكونات المتجه المرافق (أو متجه الصف)، w ، w _، مع المصفوفة R نفسها.

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

يُطلق على هذا اسم قانون التحويل المتغير ، لأن مركبات المتجه المرافق تتحول بنفس مصفوفة تغيير مصفوفة الأساس. أما مركبات الموتر الأكثر عمومية فتتحول بمزيج من التحويلات المتغيرة والمتغيرة عكسيًا، مع وجود قانون تحويل واحد لكل فهرس. إذا كانت مصفوفة تحويل فهرس ما هي المصفوفة العكسية لتحويل الأساس، يُسمى هذا الفهرس متغيرًا عكسيًا ويُرمز إليه عادةً بفهرس علوي (رمز مرتفع). أما إذا كانت مصفوفة تحويل فهرس ما هي تحويل الأساس نفسه، فيُسمى هذا الفهرس متغيرًا مشتركًا ويُرمز إليه بفهرس سفلي (رمز منخفض).

كمثال بسيط، فإن مصفوفة المؤثر الخطي بالنسبة إلى أساس ما هي مصفوفة مستطيلة${\displaystyle T}$التي تتحول بتغيير مصفوفة الأساس ${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$بواسطة${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$بالنسبة لعناصر المصفوفة الفردية، يكون قانون التحويل هذا على الشكل التالي:${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$لذا فإن الموتر المقابل لمصفوفة عامل خطي له مؤشر متغاير واحد ومؤشر متغاير واحد: إنه من النوع (1،1).

تتيح لنا تركيبات المكونات المتغيرة والمتغيرة عكسيًا ذات المؤشر نفسه التعبير عن الثوابت الهندسية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن حقيقة أن المتجه هو نفس الكائن في أنظمة إحداثيات مختلفة بالمعادلات التالية، باستخدام الصيغ المحددة أعلاه:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$،

أين${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$هي دالة دلتا كرونكر ، التي تعمل بشكل مشابه لمصفوفة الوحدة ، ولها تأثير إعادة تسمية المؤشرات ( j إلى k في هذا المثال). يُظهر هذا العديد من خصائص تدوين المكونات: القدرة على إعادة ترتيب الحدود حسب الرغبة ( التبديلية )، والحاجة إلى استخدام مؤشرات مختلفة عند التعامل مع كائنات متعددة في نفس التعبير، والقدرة على إعادة تسمية المؤشرات، والطريقة التي تتحد بها الموترات المتغايرة والمتغايرة بحيث يتم إلغاء جميع حالات مصفوفة التحويل ومعكوسها، بحيث تكون تعبيرات مثل${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$يمكن ملاحظة تطابقها الهندسي بشكل فوري في جميع أنظمة الإحداثيات.

وبالمثل، فإن المؤثر الخطي، عند النظر إليه ككائن هندسي، لا يعتمد في الواقع على أساس: إنه مجرد تحويل خطي يقبل متجهًا كمعامل وينتج متجهًا آخر. يتوافق قانون التحويل لكيفية تغير مصفوفة مركبات المؤثر الخطي مع الأساس مع قانون التحويل للمتجه المتغاير، بحيث يتم تمثيل تأثير المؤثر الخطي على المتجه المتغاير في الإحداثيات كحاصل ضرب مصفوفات تمثيلاتهما الإحداثية. أي أن المركبات${\displaystyle (Tv)^{i}}$يتم تقديمها بواسطة ${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$تتحول هذه المكونات بشكل متغاير، لأن

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

The transformation law for an order p + q tensor with p contravariant indices and q covariant indices is thus given as,

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Here the primed indices denote components in the new coordinates, and the unprimed indices denote the components in the old coordinates. Such a tensor is said to be of order or type(p, q). The terms "order", "type", "rank", "valence", and "degree" are all sometimes used for the same concept. Here, the term "order" or "total order" will be used for the total dimension of the array (or its generalization in other definitions), p + q in the preceding example, and the term "type" for the pair giving the number of contravariant and covariant indices. A tensor of type (p, q) is also called a (p, q)-tensor for short.

This discussion motivates the following formal definition:^[5][6]

Definition. A tensor of type (p, q) is an assignment of a multidimensional array

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

to each basis f = (e₁, ..., e_n) of an n-dimensional vector space such that, if we apply the change of basis

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

then the multidimensional array obeys the transformation law

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

The definition of a tensor as a multidimensional array satisfying a transformation law traces back to the work of Ricci.^[1]

An equivalent definition of a tensor uses the representations of the general linear group. There is an action of the general linear group on the set of all ordered bases of an n-dimensional vector space. If ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$ is an ordered basis, and ${\displaystyle R=\left(R_{j}^{i}\right)}$ is an invertible ${\displaystyle n\times n}$ matrix, then the action is given by

${\displaystyle \mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).}$

Let F be the set of all ordered bases. Then F is a principal homogeneous space for GL(n). Let W be a vector space and let ${\displaystyle \rho }$ be a representation of GL(n) on W (that is, a group homomorphism${\displaystyle \rho$ :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)} ). Then a tensor of type ${\displaystyle \rho }$ is an equivariant map${\displaystyle T:F\to W}$. Equivariance here means that

${\displaystyle T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).}$

When ${\displaystyle \rho }$يمثل هذا تمثيلاً موترياً للمجموعة الخطية العامة، مما يعطي التعريف المعتاد للموترات كمصفوفات متعددة الأبعاد. يُستخدم هذا التعريف غالبًا لوصف الموترات على المشعبات، ^{[ 7 ]} ويمكن تعميمه بسهولة على مجموعات أخرى. ^{[ 5 ]}

من عيوب تعريف الموتر باستخدام أسلوب المصفوفة متعددة الأبعاد أنه لا يتضح من التعريف أن الكائن المُعرَّف مستقل عن الأساس، كما هو متوقع من كائن هندسي جوهري. مع أنه من الممكن إثبات أن قوانين التحويل تضمن الاستقلال عن الأساس، إلا أنه يُفضَّل أحيانًا تعريف أكثر جوهرية. أحد الأساليب الشائعة في الهندسة التفاضلية هو تعريف الموترات نسبةً إلى فضاء متجهي ثابت (محدود الأبعاد) V ، والذي يُختار عادةً ليكون فضاءً متجهيًا ذا دلالة هندسية معينة، مثل الفضاء المماسي لمتشعب. ^{[ 8 ]} في هذا الأسلوب، يُعرَّف الموتر T من النوع ( p , q ) كدالة متعددة الخطية .

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

حيث V ^{* هو} الفضاء الثنائي المقابل للمتجهات المرافقة، وهو خطي في كل وسيط من وسائطه. يفترض ما سبق أن V هو فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية .${\displaystyle \mathbb {R} }$. وبشكل أعم،يمكن أخذ V على أي حقل F (مثل الأعداد المركبة )، معاستبدال F بـ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$باعتبارها المجال المقابل للخرائط متعددة الخطية.

بتطبيق خريطة متعددة الخطوط T من النوع ( p , q ) على أساس { ej _} لـ V وأساس مشترك قانوني { εi ^} لـ V ^* ،

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

يمكن الحصول على مصفوفة من المكونات ذات بُعد ( p + q ) . سيؤدي اختيار أساس مختلف إلى مكونات مختلفة. ولكن، نظرًا لأن T خطي في جميع متغيراته، فإن المكونات تُحقق قانون تحويل الموتر المستخدم في تعريف المصفوفة متعددة الخطية. وبالتالي، تُشكل المصفوفة متعددة الأبعاد لمكونات T موترًا وفقًا لهذا التعريف. علاوة على ذلك، يمكن تمثيل هذه المصفوفة كمكونات لخريطة متعددة الخطية T. وهذا يُحفز النظر إلى الخرائط متعددة الخطية على أنها الكائنات الجوهرية الكامنة وراء الموترات.

عند النظر إلى الموتر كدالة متعددة الخطية، جرت العادة على تعريف الفضاء الثنائي المزدوج V ^* للفضاء المتجهي V ، أي فضاء الدوال الخطية على الفضاء المتجهي المزدوج V ^* ، مع الفضاء المتجهي V. يوجد دائمًا دالة خطية طبيعية من V إلى نظيرتها المزدوجة، تُعطى بتقييم صيغة خطية في V ^* مقابل متجه في V. هذه الدالة الخطية متماثلة في الأبعاد المحدودة، وغالبًا ما يكون من المناسب حينها تعريف V بنظيرتها المزدوجة.

في بعض التطبيقات الرياضية، يكون اتباع نهج أكثر تجريدًا مفيدًا أحيانًا. ويمكن تحقيق ذلك بتعريف الموترات بدلالة عناصر حاصل ضرب الموترات في الفضاءات المتجهة، والتي بدورها تُعرَّف من خلال خاصية عامة كما هو موضح هنا وهنا .

يتم تعريف الموتر من النوع ( p ، q ) في هذا السياق على أنه عنصر من حاصل ضرب الموتر للفضاءات المتجهة، ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

أساس vᵢ _{للمصفوفة} V وأساس wⱼ _{للمصفوفة} W يُنتجان بشكل طبيعي أساس vᵢ _⊗ wⱼ لحاصل الضرب الموتري _V ⊗ W. مكونات الموتر T هي معاملات الموتر بالنسبة للأساس المُستمد من أساس { ᵢ _} للمصفوفة V وأساسه ^{الثنائي} { εⱼ } ، أي

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

باستخدام خصائص الضرب الموتري، يمكن إثبات أن هذه المكونات تحقق قانون التحويل لموتر من النوع ( p , q ) . علاوة على ذلك، تُعطي الخاصية العامة للضرب الموتري تطابقًا تامًا بين الموترات المعرفة بهذه الطريقة والموترات المعرفة كخرائط متعددة الخطية.

يمكن تحقيق هذا التناظر الأحادي بالطريقة التالية، لأنه في حالة الأبعاد المحدودة يوجد تماثل قانوني بين فضاء متجهي وفضاءه الثنائي المزدوج:

${\displaystyle U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$

يستخدم السطر الأخير الخاصية العامة للجداء الموتري، وهي وجود تطابق واحد لواحد بين الخرائط من${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)}$و${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)}$[ ^{11 ]​}

يمكن تعريف جداءات الموترات بشكل عام جدًا  ، على سبيل المثال، فيما يتعلق بالوحدات النمطية العشوائية على حلقة. من حيث المبدأ، يمكن تعريف "الموتر" ببساطة على أنه عنصر من أي جداء موترات. مع ذلك، عادةً ما يُستخدم مصطلح " الموتر " في الأدبيات الرياضية للإشارة إلى عنصر من جداء موترات لأي عدد من نسخ فضاء متجهي واحد V وفضاءه الثنائي، كما ذُكر أعلاه.

يفترض هذا النقاش حول الموترات حتى الآن بُعدًا محدودًا للفضاءات المعنية، حيث تكون فضاءات الموترات الناتجة عن كل من هذه الإنشاءات متماثلة بطبيعتها . ^{[ ملاحظة 2 ]} يمكن تعميم إنشاءات فضاءات الموترات القائمة على جداء الموترات والتحويلات متعددة الخطية، دون تعديل يُذكر، إلى حزم متجهة أو حزم متماسكة . ^{[ 12 ]} بالنسبة للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية، تؤدي الطوبولوجيات غير المتكافئة إلى مفاهيم غير متكافئة للموتر، وقد تتحقق هذه التشاكلات المختلفة أو لا تتحقق اعتمادًا على المقصود تحديدًا بالموتر (انظر جداء الموترات الطوبولوجي ). في بعض التطبيقات، يُقصد جداء الموترات لفضاءات هيلبرت ، التي تتشابه خصائصها إلى حد كبير مع الحالة ذات الأبعاد المحدودة. أما الرأي الأكثر حداثة فيرى أن بنية الموترات كفئة أحادية متناظرة هي التي تُجسد أهم خصائصها، وليس النماذج المحددة لتلك الفئات. ^{[ 13 ]}

في العديد من التطبيقات، وخاصة في الهندسة التفاضلية والفيزياء، من الطبيعي اعتبار موتر ذي مركبات هي دوال لنقطة في الفضاء. كان هذا هو إطار عمل ريتشي الأصلي. في المصطلحات الرياضية الحديثة، يُطلق على هذا الكائن اسم حقل موتر ، ويُشار إليه غالبًا ببساطة باسم موتر. ^{[ 1 ]}

في هذا السياق، غالباً ما يتم اختيار أساس إحداثي لفضاء المتجهات المماسية . ويمكن عندئذٍ التعبير عن قانون التحويل بدلالة المشتقات الجزئية لدوال الإحداثيات.

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

تعريف تحويل الإحداثيات، ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

حساب ريتشي هو الشكلية الحديثة والترميز لمؤشرات الموتر: يشير إلى المنتجات الداخلية والخارجية ، والتباين المشترك والتباين العكسي ، ومجموع مكونات الموتر، والتناظر والتناظر المضاد ، والمشتقات الجزئية والمتغيرة .

يستغني اصطلاح جمع أينشتاين عن كتابة علامات الجمع ، تاركًا الجمع ضمنيًا. يُجمع أي رمز فهرس متكرر: إذا استُخدم الفهرس i مرتين في حد معين من تعبير موتر، فهذا يعني أنه يجب جمع الحد لجميع قيم i . يمكن جمع عدة أزواج مختلفة من الفهارس بهذه الطريقة.

تُعدّ طريقة بنروز البيانية طريقةً تخطيطيةً تستبدل رموز الموترات بأشكالٍ هندسية، ومؤشراتها بخطوطٍ ومنحنيات. وهي مستقلةٌ عن عناصر الأساس، ولا تتطلب رموزًا للمؤشرات.

يُعدّ ترميز الفهرس المجرد طريقةً لكتابة الموترات بحيث لا تُعتبر الفهارس أعدادًا، بل تُعتبر غير محددة . ويُجسّد هذا الترميز قدرة الفهارس على التعبير واستقلالية الترميز الخالي من الفهارس عن الأساس.

يستخدم أسلوب المعالجة الخالية من المكونات للموترات تدوينًا يؤكد أن الموترات لا تعتمد على أي أساس، ويتم تعريفها من حيث حاصل ضرب الموترات للفضاءات المتجهة .

يأخذ حاصل الضرب الموتري موترين، S و T ، وينتج عنه موتر جديد، S ⊗ T ، رتبته هي مجموع رتب الموترين الأصليين. وعند وصفه كتحويلات متعددة الخطية، فإن حاصل الضرب الموتري ببساطة يضرب الموترين، أي $${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$$ وهذا بدوره ينتج عنه خريطة خطية في جميع وسائطها. أما بالنسبة للمكونات، فإن التأثير هو ضرب مكونات موترَي الإدخال بشكل ثنائي، أي $${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.}$$ إذا كان S من النوع ( l , k ) و T من النوع ( n , m ) ، فإن حاصل الضرب الموتري S ⊗ T له النوع ( l + n , k + m ) .

انكماش الموتر هو عملية تُختزل موترًا من النوع ( n , m ) إلى موتر من النوع ( n -1, m -1)، ويُعدّ الأثر حالة خاصة منه . وبذلك، يُخفّض الرتبة الكلية للموتر بمقدار اثنين. تُنفّذ هذه العملية بجمع المكونات التي يكون فيها أحد مؤشرات التغاير العكسي مُحددًا مساويًا لأحد مؤشرات التغاير المشترك المُحددة، لإنتاج مكون جديد. أما المكونات التي يختلف فيها هذان المؤشران، فتُهمل. على سبيل المثال، موتر ( 1, 1)${\displaystyle T_{i}^{j}}$يمكن تقليصها إلى عدد قياسي من خلال${\displaystyle T_{i}^{i}}$حيث يُفترض الجمع مرة أخرى. عندما يُفسر الموتر (1، 1) على أنه دالة خطية، تُعرف هذه العملية باسم الأثر .

غالباً ما يتم استخدام الانكماش بالتزامن مع حاصل ضرب الموتر لتقليص مؤشر من كل موتر.

يمكن فهم الانكماش أيضًا باستخدام تعريف الموتر كعنصر من حاصل ضرب موتر لنسخ من الفضاء V مع الفضاء V ^*، وذلك عن طريق تحليل الموتر أولًا إلى توليفة خطية من موترات بسيطة، ثم تطبيق عامل من V ^* على عامل من V. على سبيل المثال، الموتر${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$يمكن كتابتها كتركيبة خطية

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

يكون انكماش T في الفتحتين الأولى والأخيرة هو المتجه

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

في فضاء متجهي ذي جداء داخلي (يُعرف أيضًا بالمقياس ) g ، يُستخدم مصطلح الانكماش لإزالة مؤشرين متغايرين أو مؤشرين متغايرين عن طريق تكوين أثر مع موتر المقياس أو معكوسه. على سبيل المثال، موتر (2، 0)${\displaystyle T^{ij}}$يمكن تقليصها إلى عدد قياسي من خلال${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$(مع افتراض اتفاقية الجمع مرة أخرى).

عندما يُزوَّد فضاء متجهي بصيغة ثنائية الخطية غير مُنحلة (أو موتر متري كما يُسمى غالبًا في هذا السياق)، يُمكن تعريف عمليات لتحويل دليل مُغاير (علوي) إلى دليل مُغاير (سفلي) والعكس صحيح. الموتر المتري هو موتر ( 0، 2) (متناظر )؛ وبالتالي، يُمكن دمج دليل علوي لموتر مع أحد الأدلة السفلية للموتر المتري في حاصل الضرب. ينتج عن ذلك موتر جديد بنفس بنية الدليل للموتر السابق، ولكن مع دليل سفلي يظهر عادةً في نفس موضع الدليل العلوي المدمج. تُعرف هذه العملية بيانيًا باسم " خفض الدليل" .

وبالمقابل، يمكن تعريف العملية العكسية، وتُسمى رفع الدليل . وهذا يُكافئ انكماشًا مشابهًا على حاصل الضرب مع موتر (2، 0) . يحتوي موتر القياس العكسي هذا على مكونات هي معكوس المصفوفة لمكونات موتر القياس.

تُقدّم ميكانيكا الأوساط المتصلة أمثلةً مهمةً على ذلك. تُوصَف الإجهادات داخل جسم صلب أو سائل ^{[ 29 ]} بواسطة حقل موتر. يُعدّ كلٌّ من موتر الإجهاد وموتر الانفعال حقلَي موتر من الرتبة الثانية، ويرتبطان في مادة مرنة خطية عامة بواسطة حقل موتر مرونة من الرتبة الرابعة . بالتفصيل، يحتوي الموتر الذي يُحدّد الإجهاد في جسم صلب ثلاثي الأبعاد على مُركّبات يُمكن تمثيلها بسهولة كمصفوفة 3 × 3. تخضع الأوجه الثلاثة لقطعة حجمية متناهية الصغر مكعبة الشكل من الجسم الصلب لقوة مُحدّدة. كما أن مُركّبات متجه القوة هي ثلاثة أيضًا. وبالتالي، يلزم 3 × 3، أو 9 مُركّبات، لوصف الإجهاد عند هذه القطعة المتناهية الصغر المكعبة الشكل. ضمن حدود هذا الجسم الصلب توجد كتلة كاملة من كميات إجهاد مُتغيّرة، يتطلّب وصف كل منها 9 كميات. لذا، يلزم وجود موتر من الرتبة الثانية.

إذا تم عزل عنصر سطحي معين داخل المادة، فإن المادة الموجودة على أحد جانبي السطح ستؤثر بقوة على الجانب الآخر. وبشكل عام، لن تكون هذه القوة عمودية على السطح، بل ستعتمد على اتجاه السطح بشكل خطي. يُوصف هذا بواسطة موتر من النوع (2، 0) في المرونة الخطية ، أو بتعبير أدق بواسطة حقل موتر من النوع (2، 0) ، نظرًا لأن الإجهادات قد تختلف من نقطة إلى أخرى.

تشمل التطبيقات الشائعة ما يلي:

• الموتر الكهرومغناطيسي (أو موتر فاراداي) في الكهرومغناطيسية
• موترات التشوه المحدود لوصف التشوهات وموتر الإجهاد للإجهاد في ميكانيكا الأوساط المتصلة
• تُعتبر السماحية الكهربائية والحساسية الكهربائية من الموترات في الأوساط غير المتجانسة .
• تُستخدم الموترات الرباعية في النسبية العامة (مثل موتر الإجهاد والطاقة ) لتمثيل تدفقات الزخم .
• مؤثرات الموتر الكروية هي الدوال الذاتية لمؤثر الزخم الزاوي الكمومي في الإحداثيات الكروية.
• تمثل موترات الانتشار، وهي أساس تصوير موترات الانتشار ، معدلات الانتشار في البيئات البيولوجية
• تستخدم ميكانيكا الكم والحوسبة الكمومية الضرب الموتري لدمج الحالات الكمومية

كثيراً ما يُخلط بين مفهوم الموتر من الرتبة الثانية ومفهوم المصفوفة. إلا أن الموترات ذات الرتب الأعلى تُجسد أفكاراً مهمة في العلوم والهندسة، كما ثبت ذلك تباعاً في العديد من المجالات مع تطورها. ويحدث هذا، على سبيل المثال، في مجال رؤية الحاسوب ، حيث يُعمم الموتر ثلاثي البؤر مفهوم المصفوفة الأساسية .

يدرس مجال البصريات غير الخطية تغيرات كثافة استقطاب المادة تحت تأثير المجالات الكهربائية الشديدة. ترتبط موجات الاستقطاب المتولدة بالمجالات الكهربائية المولدة من خلال موتر الاستجابة غير الخطية. إذا لم يكن الاستقطاب P متناسبًا خطيًا مع المجال الكهربائي E ، يُطلق على الوسط اسم غير خطي . وبتقريب جيد (للمجالات الضعيفة بما فيه الكفاية، بافتراض عدم وجود عزم ثنائي قطب دائم)، يُعطى P بمتسلسلة تايلور في E ، حيث معاملات هذه المتسلسلة هي الاستجابات غير الخطية.

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

هنا${\displaystyle \chi ^{(1)}}$هي القابلية الخطية،${\displaystyle \chi ^{(2)}}$يُعطي تأثير بوكلز وتوليد التوافقي الثاني ، و${\displaystyle \chi ^{(3)}}$يُعطي هذا تأثير كير . يُظهر هذا التوسع كيف تنشأ الموترات ذات الرتبة الأعلى بشكل طبيعي في هذا الموضوع.

أتاحت خصائص الموترات، وخاصة تحليل الموترات ، استخدامها في التعلم الآلي لتضمين بيانات متعددة الأبعاد في الشبكات العصبية الاصطناعية . يختلف مفهوم الموترات هذا اختلافًا جوهريًا عن مفهومها في مجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء، حيث أن الموتر هو نفسه المصفوفة متعددة الأبعاد. بشكل مجرد، ينتمي الموتر إلى حاصل ضرب الموترات في فضاءات، لكل منها أساس ثابت، ويمكن أن تختلف أبعاد فضاءات العوامل. ومن الأمثلة على الموترات في هذا السياق المصفوفة المستطيلة. وكما أن للمصفوفة المستطيلة محورين، أفقي ورأسي، لتحديد موضع كل عنصر، فإن للموتر، بشكل عام، عددًا من المحاور يساوي عدد العوامل في حاصل ضرب الموترات الذي ينتمي إليه، ويُشار إلى عنصر الموتر بأنه مجموعة من الأعداد الصحيحة. وتختلف أبعاد المحاور المختلفة بشكل عام.

لا يشترط أن تكون فضاءات المتجهات في حاصل ضرب الموترات متطابقة، وأحيانًا تُسمى عناصر هذا النوع الأكثر عمومية من حاصل ضرب الموترات "موترات". على سبيل المثال، يُعد عنصر من فضاء حاصل ضرب الموترات V ⊗ W "موترًا" من الرتبة الثانية بهذا المعنى الأعم، ^{[ 30 ]} ويمكن تعريف موتر من الرتبة d على أنه عنصر من حاصل ضرب موترات لـ d فضاءات متجهة مختلفة. ^{[ 31 ]} كما أن الموتر من النوع ( n , m ) ، بالمعنى المُعرَّف سابقًا، هو أيضًا موتر من الرتبة n + m بهذا المعنى الأعم. ويمكن توسيع مفهوم حاصل ضرب الموترات ليشمل أي وحدات نمطية على حلقة .

يمكن تعميم مفهوم الموتر بطرقٍ متعددةٍ ليشمل الأبعاد اللانهائية . إحدى هذه الطرق، على سبيل المثال، هي عبر حاصل الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت . ^{[ 32 ]} وهناك طريقة أخرى لتعميم فكرة الموتر، شائعة في التحليل غير الخطي ، وهي عبر تعريف الخرائط متعددة الخطية ، حيث يُستخدم فضاء باناخ اللانهائي الأبعاد وفضاءه الثنائي المتصل بدلاً من فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة ونظائرها الجبرية . ^{[ 33 ]} وبالتالي، توجد الموترات بشكل طبيعي على مشعبات باناخ ^{[ 34 ]} ومشعبات فريشيه .

لنفترض أن وسطًا متجانسًا يملأ R³ ^، بحيث تُوصف كثافة الوسط بقيمة قياسية واحدة ρ بوحدة كجم/ ^م³ . تُحسب كتلة المنطقة Ω بالكيلوجرام بضرب ρ في حجم المنطقة Ω ، أو بتكامل الثابت ρ على المنطقة.

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,}$

حيث تُقاس الإحداثيات الديكارتية x و y و z بالمتر . إذا تم تغيير وحدات الطول إلى السنتيمتر ، فيجب إعادة قياس القيم العددية لدوال الإحداثيات بمعامل 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.}$

يجب أن تتحول القيمة العددية للكثافة ρ أيضًا بمقدار 100 ⁻³ م ³ /سم ³ للتعويض، بحيث تظل القيمة العددية للكتلة بالكيلوجرام معطاة بتكامل${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$. هكذا${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$(بوحدات كجم⋅سم ⁻³ ).

بشكلٍ أعم، إذا خضعت الإحداثيات الديكارتية x و y و z لتحويل خطي، فإن القيمة العددية للكثافة ρ تتغير بمعامل يساوي مقلوب القيمة المطلقة لمحدد تحويل الإحداثيات، بحيث يبقى التكامل ثابتًا، وذلك وفقًا لصيغة تغيير المتغيرات للتكامل. تُسمى هذه الكمية التي تتغير بمعامل يساوي مقلوب القيمة المطلقة لمحدد خريطة تحويل الإحداثيات بالكثافة العددية . لنمذجة كثافة غير ثابتة، تكون ρ دالةً للمتغيرات x و y و z ( حقلًا عدديًا )، وتحت تغيير غير خطي للإحداثيات، تتحول بمعامل يساوي مقلوب جاكوبيان تغيير الإحداثيات. لمزيد من المعلومات حول المعنى الجوهري، انظر الكثافة على مشعب .

تتحول كثافة الموتر مثل الموتر تحت تغيير الإحداثيات، باستثناء أنها تأخذ بالإضافة إلى ذلك عامل القيمة المطلقة لمحدد انتقال الإحداثيات: ^{[ 35 ]}

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

هنا يُطلق على w اسم الوزن. وبشكل عام، يُطلق على أي موتر مضروب في قوة لهذه الدالة أو قيمتها المطلقة اسم كثافة الموتر، أو الموتر الموزون. [ ^{36 ] [ 37 ] ومن} أمثلة كثافة الموتر كثافة التيار الكهرومغناطيسي .

في ظل تحويل أفيني للإحداثيات، يتحول الموتر بالجزء الخطي من التحويل نفسه (أو معكوسه) عند كل فهرس. هذه التحويلات مستمدة من التمثيلات الكسرية للمجموعة الخطية العامة. لكن هذا ليس قانون التحويل الخطي الأكثر عمومية الذي قد يمتلكه مثل هذا الكائن: فكثافات الموترات غير كسرية، لكنها لا تزال تمثيلات شبه بسيطة . وهناك فئة أخرى من التحويلات مستمدة من التمثيل اللوغاريتمي للمجموعة الخطية العامة، وهو تمثيل قابل للاختزال ولكنه ليس شبه بسيط، ^{[ 38 ]} ويتكون من ( x , y ) ∈ R² مع قانون التحويل ^التالي

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).}$

يتصرف قانون تحويل الموتر كدالة على فئة أنظمة الإحداثيات المسموح بها، تحت التحويلات الخطية العامة (أو التحويلات الأخرى ضمن فئة معينة، مثل التشاكلات الموضعية ). وهذا يجعل الموتر حالة خاصة من كائن هندسي، بالمعنى التقني، كونه دالة لنظام الإحداثيات يتحول داليًا بتغيرات الإحداثيات. ^{[ 39 ]} ومن أمثلة الكائنات التي تخضع لأنواع أكثر عمومية من قوانين التحويل: النفاثات ، وبشكل أعم، الحزم الطبيعية . ^{[ 40 ] [ 41 ]}

عند الانتقال من أساس متعامد (يُسمى إطارًا ) إلى آخر عن طريق الدوران، تتحول مركبات الموتر بنفس الدوران. لا يعتمد هذا التحول على المسار المتخذ عبر فضاء الأطر. مع ذلك، فإن فضاء الأطر ليس متصلًا ببساطة (انظر تشابك التوجيه وحيلة الصفيحة ): توجد مسارات متصلة في فضاء الأطر لها نفس التكوينات الأولية والنهائية، ولا يمكن تحويل أحدها إلى الآخر. من الممكن إضافة ثابت منفصل إضافي لكل إطار يتضمن هذا الاعتماد على المسار، والذي تكون قيمته (محليًا) ±1. ^{[ 42 ]} السبينور هو كائن يتحول مثل الموتر عند الدوران في الإطار، باستثناء إشارة محتملة تحددها قيمة هذا الثابت المنفصل. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

تُعدّ السبينورات عناصر من تمثيل الدوران لمجموعة الدوران، بينما تُعدّ الموترات عناصر من تمثيلاتها الموترية . تمتلك المجموعات الكلاسيكية الأخرى تمثيلات موترية، وبالتالي موترات متوافقة مع المجموعة، ولكن جميع المجموعات الكلاسيكية غير المتراصة تمتلك أيضًا تمثيلات وحدوية لا نهائية الأبعاد.

• تتضمن هذه المقالة مواد من موقع tensor على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .