حاصل ضرب الموتر الطوبولوجي

في الرياضيات ، توجد عادةً طرق عديدة لإنشاء حاصل ضرب موتر طوبولوجي لفضاءين متجهيين طوبولوجيين . بالنسبة لفضاءات هيلبرت أو الفضاءات النووية، توجد نظرية بسيطة ومنظمة لحاصل الضرب الموتري (انظر: حاصل الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت )، ولكن بالنسبة لفضاءات باناخ العامة أو الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا، فإن النظرية معقدة للغاية.

أحد الدوافع الأصلية لمنتجات الموتر الطوبولوجية${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$يكمن السبب في أن حاصل الضرب الموتري لفضاءات الدوال الحقيقية الملساء على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لا تتصرف كما هو متوقع. هناك حقنة

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

لكن هذا ليس تماثلاً . على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$لا يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية محدودة من الدوال الملساء في${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$^{[ 1 ]} لا نحصل على تماثل إلا بعد بناء حاصل الضرب الموتر الطوبولوجي؛ أي،

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

تتناول هذه المقالة أولاً تفاصيل البناء في صندوق باناش الفضائي.${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ليس فضاء باناش، وتتم مناقشة حالات أخرى في النهاية.

إنّ حاصل الضرب الموتر الجبري لفضاءين هيلبرت A و B له شكل خطي موجب محدد طبيعي (حاصل ضرب قياسي) مستحث من الأشكال الخطية لـ A و B. وبالتالي، فإنه يمتلك شكلاً تربيعياً موجباً محدداً طبيعياً ، والإكمال المقابل له هو فضاء هيلبرت A ⊗ B ، يُسمى حاصل الضرب الموتر (في فضاء هيلبرت) لـ A و B.

إذا كانت المتجهات a _i و b _j تمر عبر قواعد متعامدة لـ A و B ، فإن المتجهات a _i ⊗ b _j تشكل قاعدة متعامدة لـ A ⊗ B.

سنستخدم في هذا القسم الترميز الوارد في ( ريان 2002 ) . الطريقة الواضحة لتعريف حاصل الضرب الموتري لفضاءين من فضاءات باناخ هي${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تتمثل الطريقة في نسخ أسلوب فضاءات هيلبرت: تعريف معيار على حاصل الضرب الموتري الجبري، ثم إكمال العملية بهذا المعيار. تكمن المشكلة في وجود أكثر من طريقة طبيعية لتعريف معيار على حاصل الضرب الموتري.

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هل فضاءات باناخ هي حاصل الضرب الموتري الجبري لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يعني حاصل الضرب الموتري لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$باعتبارها فضاءات متجهة ويرمز لها بـ${\displaystyle A\otimes B.}$حاصل الضرب الموتر الجبري${\displaystyle A\otimes B}$يتكون من جميع المجاميع المحدودة $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$ أين${\displaystyle n}$هو عدد طبيعي يعتمد على${\displaystyle x}$و${\displaystyle a_{i}\in A}$و${\displaystyle b_{i}\in B}$ل ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

متى${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي فضاءات باناخ،التعامد المتقاطع (أو(المعيار المتقاطع )${\displaystyle p}$حول الضرب الموتري الجبري${\displaystyle A\otimes B}$هو معيار يستوفي الشروط $${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$$${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$ هنا${\displaystyle a^{\prime }}$و${\displaystyle b^{\prime }}$هي عناصر من الفضاءات الثنائية الطوبولوجية لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$على التوالي، و${\displaystyle p^{\prime }}$هو المعيار المزدوج لـ${\displaystyle p.}$على المدىيُستخدم أيضًا المعيار المتقاطع المعقول للتعريف أعلاه.

يوجد معيار متقاطع${\displaystyle \pi }$يُطلق عليه اسم المعيار المتقاطع الإسقاطي ، ويُعطى بواسطة $${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$ أين${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

اتضح أن المعيار المتقاطع الإسقاطي يتفق مع أكبر معيار متقاطع ( ريان 2002 ، ص 15-16) . 

يوجد معيار متقاطع${\displaystyle \varepsilon }$يُطلق عليه اسم المعيار التقاطعي الأحادي ، ويُعطى بواسطة $${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$ أين${\displaystyle x\in A\otimes B.}$هنا${\displaystyle A^{\prime }}$و${\displaystyle B^{\prime }}$تشير إلى الثنائيات الطوبولوجية لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$على التوالى.

لاحظ هنا أن المعيار المتقاطع الحقني هو فقط بمعنى معقول "الأصغر".

تُسمى عمليات إكمال الضرب الموتري الجبري في هذين المعيارين بالضرب الموتري الإسقاطي والضرب الموتري الحقني ، ويُرمز لهما بـ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$و${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

متى${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت فضاءات هيلبرت، فإن المعيار المستخدم لحساب حاصل ضرب الموتر في فضاء هيلبرت لا يساوي أيًا من هذين المعيارين بشكل عام. ويشير إليه بعض المؤلفين بـ${\displaystyle \sigma ,}$إذن، سيكون حاصل ضرب موتر فضاء هيلبرت في القسم أعلاه هو${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

أالمعيار المتقاطع المنتظم${\displaystyle \alpha }$هو تخصيص لكل زوج${\displaystyle (X,Y)}$فضاءات باناخ ذات معيار تقاطع معقول على${\displaystyle X\otimes Y}$بحيث إذا${\displaystyle X,W,Y,Z}$إذا كانت فضاءات باناخ اختيارية، فإن جميع المؤثرات (الخطية المتصلة)${\displaystyle S:X\to W}$و${\displaystyle T:Y\to Z}$المشغل${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$متصل و${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هما مساحتان من مساحات باناش و${\displaystyle \alpha }$إذا كان معيارًا متقاطعًا منتظمًا${\displaystyle \alpha }$يُعرّف معيارًا تقاطعيًا معقولًا على حاصل الضرب الموتر الجبري${\displaystyle A\otimes B.}$الفضاء الخطي المعياري الذي تم الحصول عليه عن طريق التجهيز${\displaystyle A\otimes B}$ويُشار إلى هذا المعيار بـ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$إتمام${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$وهو فضاء باناخ، ويرمز إليه بـ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$قيمة المعيار المعطاة بواسطة${\displaystyle \alpha }$على${\displaystyle A\otimes B}$وعلى ناتج الموتر المكتمل${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$لعنصر${\displaystyle x}$في${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$(أو${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$يُرمز إليه بـ )${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ أو }}\alpha (x).}$

معيار تقاطعي موحد${\displaystyle \alpha }$يقال إنهمولدة بشكل نهائي إذا، لكل زوج${\displaystyle (X,Y)}$من مساحات باناش وكل${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$$${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

معيار تقاطعي موحد${\displaystyle \alpha }$يكونيتم توليدها بشكل نهائي إذا، لكل زوج${\displaystyle (X,Y)}$من مساحات باناش وكل${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$$${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

أيُعرَّف معيار الموتر بأنه معيار تقاطعي منتظم مُوَلَّد بشكل نهائي. المعيار التقاطعي الإسقاطي${\displaystyle \pi }$والمعيار التقاطعي الأحادي${\displaystyle \varepsilon }$المعايير المحددة أعلاه هي معايير الموتر وتسمى معيار الموتر الإسقاطي ومعيار الموتر الحقني، على التوالي.

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي فضاءات باناخ اعتباطية و${\displaystyle \alpha }$إذا كان معيارًا متقاطعًا منتظمًا عشوائيًا $${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

طوبولوجيا الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تُعطى بواسطة عائلات من أنصاف المعايير . لكل اختيار لنصف معيار على${\displaystyle A}$وعلى${\displaystyle B}$يمكننا تعريف العائلة المقابلة من المعايير المتقاطعة على حاصل الضرب الموتر الجبري${\displaystyle A\otimes B,}$وباختيار معيار متقاطع واحد من كل عائلة، نحصل على بعض المعايير المتقاطعة على${\displaystyle A\otimes B,}$تعريف الطوبولوجيا. توجد عمومًا طرق عديدة للقيام بذلك. أهم طريقتين هما أخذ جميع المعايير المتقاطعة الإسقاطية، أو جميع المعايير المتقاطعة الحقنية. إكمال الطوبولوجيات الناتجة على${\displaystyle A\otimes B}$تُسمى هذه العمليات بمنتجات الموتر الإسقاطية والحقنية، ويُرمز لها بـ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$و${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$توجد خريطة طبيعية من${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ل${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

لو${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$إذا كان الفضاء نوويًا، فإن الخريطة الطبيعية من${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ل${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$هو تماثل. وبصورة تقريبية، هذا يعني أنه إذا${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$إذا كان نوويًا، فلا يوجد سوى ناتج موتر واحد معقول لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هذه الخاصية تميز الفراغات النووية.

• فضاء فريشيه – فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا وهو أيضًا فضاء متري كامل 
• نواة فريدهولم
• حاصل ضرب الموتر الاستقرائي
• الطوبولوجيا الإسقاطية – الطوبولوجيا الأقل دقة التي تجعل بعض الدوال متصلة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• ريان، ر. أ. (2002)، مقدمة في جداءات الموترات في فضاءات باناخ ، نيويورك: سبرينغر.
• Grothendieck، A. (1955)، “Produits Tensoriels topologiques et espaces nucléaires”، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 16.