نواة فريدهولم

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، نواة فريدهولم هي نوعٌ خاص من النوى على فضاء باناخ ، مرتبطة بالمؤثرات النووية على هذا الفضاء. وهي تجريدٌ لفكرة معادلة فريدهولم التكاملية ومؤثر فريدهولم ، وتُعدّ أحد موضوعات الدراسة في نظرية فريدهولم . سُمّيت نوى فريدهولم تكريمًا لإريك إيفار فريدهولم . وقد طوّر ألكسندر غروتينديك جزءًا كبيرًا من النظرية المجردة لنوى فريدهولم، ونُشرت عام ١٩٥٥.

تعريف

ليكن B فضاء باناخ اختياريًا ، وليكن B * فضاءه الثنائي، أي فضاء الدوال الخطية المحدودة على B. الضرب الموتريب*⊗ب{\displaystyle B^{*}\otimes B}يُعتبر إنجازاً أقل من المعدل الطبيعي

‖X‖π=معلومات∑{أنا}‖هـأنا*‖‖هـأنا‖{\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }

حيث يتم أخذ الحد الأدنى على جميع التمثيلات المحدودة

X=∑{أنا}هـأنا*⊗هـأنا∈ب*⊗ب{\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B}

يُشار إلى الإنجاز، وفقًا لهذا المعيار، غالبًا باسم

ب*⊗^πب{\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}

ويُطلق عليه اسم حاصل الضرب الطوبولوجي الإسقاطي . وتُسمى عناصر هذا الفضاء بنوى فريدهولم .

ملكيات

لكل نواة فريدهولم تمثيل على شكل

X=∑{أنا}λأناهـأنا*⊗هـأنا{\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}

معهـأنا∈ب{\displaystyle e_{i}\in B}وهـأنا*∈ب*{\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}بحيث‖هـأنا‖=‖هـأنا*‖=1{\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}و

∑{أنا}|λأنا|<∞.{\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,}

يرتبط بكل نواة من هذه النوى مؤثر خطي

لX:ب→ب{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}

والتي لها التمثيل المتعارف عليه

لXو=∑{أنا}λأناهـأنا*(و)هـأنا.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,}

يرتبط بكل نواة فريدهولم أثر، يُعرَّف على النحو التالي:

trX=∑{أنا}λأناهـأنا*(هـأنا).{\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,}

النوى القابلة للجمع p

يُقال إن نواة فريدهولم قابلة للجمع من الرتبة p إذا

∑{أنا}|λأنا|ص<∞.{\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty .}

يُقال إن نواة فريدهولم من الرتبة q إذا كانت q هي الحد الأدنى لجميع0<ص≤1{\displaystyle 0<p\leq 1}لكل قيمة p التي تكون قابلة للجمع من أجلها .

مشغلو الطاقة النووية في مساحات باناش

يُقال عن المؤثر L  : B → B أنه مؤثر نووي إذا وُجد X ∈ب*⊗^πب{\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}بحيث يكون L = L X. يُقال عن هذا المؤثر أنه قابل للجمع من الرتبة p ورتبته q إذا كان X كذلك. عمومًا، قد يكون هناك أكثر من X مرتبط بهذا المؤثر النووي، وبالتالي فإن أثره غير مُحدد بشكل فريد. مع ذلك، إذا كانت الرتبة q ≤ 2/3، فسيكون هناك أثر فريد، كما تنص عليه نظرية غروتينديك.

نظرية غروتينديك

لول:ب→ب{\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}هو عامل نظامq≤2/3{\displaystyle q\leq 2/3}عندئذٍ يمكن تعريف مسار، مع

Trل=∑{أنا}ρأنا{\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}

أينρأنا{\displaystyle \rho _{i}}هي القيم الذاتية لـل{\displaystyle {\mathcal {L}}}علاوة على ذلك، فإن محدد فريدهولم

المحقق(1-zل)=∏أنا(1-ρأناz){\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}

هي دالة كاملة لـ z . الصيغة

المحقق(1-zل)=خبرة⁡Trسجل⁡(1-zل){\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}

ينطبق الأمر نفسه. وأخيرًا، إذال{\displaystyle {\mathcal {L}}}يتم تحديدها بواسطة معامل مركب ذي قيمة w ، أي ل=لw{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}وإذا كانت المعلمة تامة الشكل على نطاق ما ، فعندئذٍ

المحقق(1-zلw){\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)}

هو هولومورفي على نفس المجال.

أمثلة

ومن الأمثلة المهمة على ذلك فضاء باناخ للدوال الهولومورفية على نطاق معيند⊂جك{\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{k}}في هذا الفضاء، يكون كل عامل نووي من الرتبة الصفرية، وبالتالي يكون من فئة الأثر .

مساحة خضراء

يمكن تكييف فكرة المؤثر النووي مع فضاءات فريشيه . الفضاء النووي هو فضاء فريشيه حيث يكون كل تطبيق محدود من هذا الفضاء إلى أي فضاء باناخ نوويًا.

مراجع