مشغل حاسوب

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 154 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعدّ المؤثرات النووية فئةً مهمةً من المؤثرات الخطية، وقد قدّمها ألكسندر غروتينديك في أطروحته للدكتوراه. وترتبط المؤثرات النووية ارتباطًا وثيقًا بالضرب الموتري الإسقاطي لفضاءين متجهيين طوبولوجيين .

المقدمات والتدوين

في جميع أنحاء هذا البحث، لنفترض أن X و Y و Z هي فضاءات متجهة طوبولوجية (TVSs) و L  : X → Y هو عامل خطي (لا يتم افتراض الاستمرارية ما لم يُذكر خلاف ذلك).

  • يُرمز إلى حاصل الضرب الموتري الإسقاطي لمنطقتين متوازيتين محدبتين محليًا X و Y بالرمز التالي:X⊗πY{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}وسيتم تحديد اكتمال هذه المساحة بواسطةX⊗^πY{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}.
  • L  : X → Y هو تشاكل طوبولوجي أو تشاكل ، إذا كان خطيًا ومتصلًا، ول:X→أنا⁡ل{\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}هي خريطة مفتوحة ، حيثأنا⁡ل{\displaystyle \operatorname {Im} L}، صورة L ، لها طوبولوجيا الفضاء الفرعي المستحثة بواسطة Y.
    • إذا كانت S فضاءً جزئياً من X فإن كلاً من خريطة القسمة X → X / S والحقن القانوني S → X هما تشاكلات.
  • مجموعة التحويلات الخطية المتصلة X → Z (أو التحويلات الثنائية الخطية المتصلة)X×Y→Z{\displaystyle X\times Y\to Z}سيتم الإشارة إلى ) بواسطة L( X , Z ) (على التوالي B( X , Y ; Z )) حيث إذا كان Z هو الحقل القياسي الأساسي، فيمكننا بدلاً من ذلك كتابة L( X ) (على التوالي B( X , Y )).
  • أي خريطة خطيةل:X→Y{\displaystyle L:X\to Y}يمكن تحليلها بشكل أساسي على النحو التالي:X→X/كير⁡ل→ل0أنا⁡ل→Y{\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y}أينل0(x+كير⁡ل):=ل(x){\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}يُعرّف تقابلاً يسمى التقابل الكنسي المرتبط بـ L.
  • X * أوX′{\displaystyle X'}سيشير إلى الفضاء الثنائي المتصل لـ X.
    • لزيادة وضوح العرض، نستخدم الاصطلاح الشائع لكتابة عناصر منX′{\displaystyle X'}مع وجود علامة الفتحة (') بعد الرمز (مثلاً)x′{\displaystyle x'}يشير إلى عنصر منX′{\displaystyle X'}وليس، على سبيل المثال، مشتقة والمتغيرات x وx′{\displaystyle x'}(لا يشترط أن تكون هناك صلة قرابة بأي شكل من الأشكال).
  • X8{\displaystyle X^{\#}}سوف يشير إلى الفضاء الجبري المزدوج لـ X (وهو الفضاء المتجهي لجميع الدوال الخطية على X ، سواء كانت متصلة أم لا).
  • يُطلق على التطبيق الخطي L  : H → H من فضاء هيلبرت إلى نفسه اسم التطبيق الموجب إذا⟨ل(x)،x⟩≥0{\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0}لكلx∈ح{\displaystyle x\in H}في هذه الحالة، يوجد تطبيق موجب وحيد r  : H → H ، يُسمى الجذر التربيعي لـ L ، بحيثل=ر∘ر{\displaystyle L=r\circ r}[ 1 ]​
    • لول:ح1→ح2{\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}إذا كانت أي دالة خطية متصلة بين فضاءات هيلبرت، فإنل*∘ل{\displaystyle L^{*}\circ L}هي دائمًا موجبة. الآن، لنرمز بـ R :  H → H إلى جذرها التربيعي الموجب، والذي يُسمى القيمة المطلقة لـ L.يو:ح1→ح2{\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}أولاً علىأنا⁡R{\displaystyle \operatorname {Im} R}عن طريق الضبطيو(x)=ل(x){\displaystyle U(x)=L(x)}لx=R(x1)∈أنا⁡R{\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}وتوسيعيو{\displaystyle U}باستمرار إلىأنا⁡R¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}}ثم عرّف U علىكير⁡R{\displaystyle \ker R}عن طريق الضبطيو(x)=0{\displaystyle U(x)=0}لx∈كير⁡R{\displaystyle x\in \ker R}وقم بتمديد هذه الخريطة خطيًا لتشمل جميعح1{\displaystyle H_{1}}الخريطةيو|أنا⁡R:أنا⁡R→أنا⁡ل{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}هو قياس متساوي شامل ول=يو∘R{\displaystyle L=U\circ R}.
  • خريطة خطيةΛ:X→Y{\displaystyle \Lambda :X\to Y}يُطلق على المجموعة اسم المجموعة المدمجة أو المتصلة تمامًا إذا كانت هناك جوار U للأصل في X بحيثΛ(يو){\displaystyle \Lambda (U)}مضغوط مسبقًا في Y. [ 2 ]​

في فضاء هيلبرت، فإن المؤثرات الخطية المدمجة الموجبة، لنقل L  : H → H، لها تحليل طيفي بسيط تم اكتشافه في بداية القرن العشرين بواسطة فريدهولم و ف. ريز: [ 3 ]

توجد متتالية من الأعداد الموجبة، متناقصة، إما أن تكون محدودة أو تتقارب إلى الصفر.ر1>ر2>⋯>رك>⋯{\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }ومتتالية من الفضاءات الفرعية غير الصفرية ذات الأبعاد المحدودةVأنا{\displaystyle V_{i}}من H (i = 1، 2،...{\displaystyle \ldots }) مع الخصائص التالية: (1) الفضاءات الجزئيةVأنا{\displaystyle V_{i}}(1) تكون متعامدة مثنى مثنى؛ (2) لكل i ولكلx∈Vأنا{\displaystyle x\in V_{i}}،ل(x)=رأناx{\displaystyle L(x)=r_{i}x}و(3) العنصر المتعامد للفضاء الجزئي الممتد بواسطة⋃أناVأنا{\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}يساوي نواة L. [ 3 ]

رموز الطوبولوجيا

جداء الموتر الكنسي كفضاء جزئي من الفضاء الثنائي لـ Bi( X , Y )

ليكن X و Y فضاءين متجهيين (لا حاجة إلى الطوبولوجيا بعد)، وليكن Bi( X , Y ) فضاء جميع التطبيقات الثنائية الخطية المعرفة علىX×Y{\displaystyle X\times Y}والدخول في المجال القياسي الأساسي.

لكل(x،y)∈X×Y{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}، يتركχ(x،y){\displaystyle \chi _{(x,y)}}ليكن الشكل الخطي المتعارف عليه على Bi( X , Y ) المعرف بـχ(x،y)(u):=u(x،y){\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}لكل u ∈ Bi( X , Y ). هذا يُنتج خريطة قانونيةχ:X×Y→بأنا(X،Y)8{\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}محدد بواسطةχ(x،y):=χ(x،y){\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}، أينبأنا(X،Y)8{\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}يرمز إلى الثنائي الجبري لـ Bi( X , Y ). إذا رمزنا لمدى 𝜒 بـ X ⊗ Y، فإنه يمكن إثبات أن X ⊗ Y مع 𝜒 يشكلان جداءً موترًا لـ X و Y (حيث x ⊗ y  := 𝜒 ( x , y )) . وهذا يعطينا جداءً موترًا قانونيًا لـ X و Y.

إذا كان Z أي فضاء متجهي آخر، فإن التطبيق Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z ) المعطى بالعلاقة u ↦ u ∘ 𝜒 هو تماثل بين فضاءات متجهية. على وجه الخصوص، يسمح لنا هذا بتحديد الفضاء الثنائي الجبري لـ X ⊗ Y مع فضاء الأشكال الثنائية الخطية على X × Y. [ 4 ] علاوة على ذلك، إذا كان X و Y فضاءين متجهيين طوبولوجيين محدبين محليًا (TVSs)، وإذا كان X ⊗ Y معطى طوبولوجيا π ، فإنه لكل فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا Z ، يقتصر هذا التطبيق على تماثل بين فضاءات متجهية.ل(X⊗πY؛Z)→ب(X،Y؛Z){\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}من فضاء التطبيقات الخطية المتصلة إلى فضاء التطبيقات الثنائية الخطية المتصلة . [ 5 ] على وجه الخصوص، يمكن تعريف الفضاء الثنائي المتصل لـ X ⊗ Y بشكل قانوني مع فضاء B( X , Y ) للأشكال الثنائية الخطية المتصلة على X × Y ؛ علاوة على ذلك، في ظل هذا التعريف، فإن المجموعات الفرعية المتساوية الاتصال من B( X , Y ) هي نفسها المجموعات الفرعية المتساوية الاتصال من(X⊗πY)′{\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}[ 5 ]​

المؤثرات النووية بين فضاءات باناخ

يوجد تضمين فضاء متجهي معياريأنا:X′⊗Y→ل(X؛Y){\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)}يتم تحديده عن طريق الإرسالz:=∑أنانxأنا′⊗yأنا{\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}إلى الخريطة

x↦∑أنانxأنا′(x)yأنا.{\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}

بافتراض أن X و Y فضاءات باناخ، فإن الخريطةأنا:Xب′⊗πY→لب(X؛Y){\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}له معيار1{\displaystyle 1}(لرؤية أن القاعدة هي≤1{\displaystyle \leq 1}، لاحظ أن‖أنا(z)‖=رشفة‖x‖≤1‖أنا(z)(x)‖=رشفة‖x‖≤1‖∑أنا=1نxأنا′(x)yأنا‖≤رشفة‖x‖≤1∑أنا=1ن‖xأنا′‖‖x‖‖yأنا‖≤∑أنا=1ن‖xأنا′‖‖yأنا‖{\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}لهذا السبب.‖أنا(z)‖≤‖z‖π{\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }}وبالتالي، فإن لها امتدادًا متصلًا إلى خريطةأنا^:Xب′⊗^πY→لب(X؛Y){\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}حيث يُعرف أن هذه الدالة ليست بالضرورة أحادية. [ 6 ] ويُرمز إلى مدى هذه الدالة بـل1(X؛Y){\displaystyle L^{1}(X;Y)}وتسمى عناصرها بالمؤثرات النووية . [ 7 ]ل1(X؛Y){\displaystyle L^{1}(X;Y)}متماثل TVS مع(Xب′⊗^πY)/كير⁡أنا^{\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}}والمعيار في فضاء القسمة هذا، عند نقله إلى عناصر منل1(X؛Y){\displaystyle L^{1}(X;Y)}عبر الخريطة المستحثةأنا^:(Xب′⊗^πY)/كير⁡أنا^→ل1(X؛Y){\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)}يُطلق عليه اسم معيار الأثر ويُرمز إليه بـ‖⋅‖Tr{\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }}. صراحةً، إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو مشغل نووي إذن‖تي‖Tr:=معلوماتz∈أنا^-1(تي)‖z‖π{\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}.

توصيف

لنفترض أن X و Y فضاءات باناخ وأنشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}هو عامل خطي متصل.

  • ما يلي متكافئ:
    1. شمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}نووي.
    2. توجد متتالية(xأنا′)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}في كرة الوحدة المغلقة منX′{\displaystyle X'}، سلسلة(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}في كرة الوحدة المغلقة منY{\displaystyle Y}وتسلسل معقد(جأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}بحيث∑أنا=1∞|جأنا|<∞{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }وشمال{\displaystyle N}يساوي التعيين: [ 8 ]شمال(x)=∑أنا=1∞جأناxأنا′(x)yأنا{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}علاوة على ذلك، فإن معيار الأثر‖شمال‖Tr{\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}يساوي الحد الأدنى للأعداد∑أنا=1∞|جأنا|{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}على مجموعة جميع تمثيلاتشمال{\displaystyle N}على هذا النحو، سلسلة. [ 8 ]
  • إذا كانت Y انعكاسية ،شمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}يكون نووياً إذا وفقط إذاتشمال:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}نووي، وفي هذه الحالة‖تشمال‖Tr=‖شمال‖Tr{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}[ 9 ]​

ملكيات

ليكن X و Y فضاءات باناخ وليكنشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}ليكن عاملاً خطياً متصلاً.

  • لوشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}إذا كانت خريطة نووية، فإن منقولهاتشمال:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}هي خريطة نووية متصلة (عندما تحمل الفضاءات الثنائية طوبولوجياتها الثنائية القوية) و‖تشمال‖Tr≤‖شمال‖Tr{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}[ 10 ]​

المؤثرات النووية بين فضاءات هيلبرت

تُسمى التشاكلات النووية لفضاء هيلبرت بمؤثرات فئة الأثر .

ليكن X و Y فضاءين هيلبرت، وليكن N  : X → Y تطبيقًا خطيًا متصلًا. افترض أنشمال=يوR{\displaystyle N=UR}حيث R  : X → X هو الجذر التربيعي لـشمال*شمال{\displaystyle N^{*}N}و U  : X → Y هي بحيثيو|أنا⁡R:أنا⁡R→أنا⁡شمال{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}هي عملية قياس متماثل شاملة. عندئذٍ، تكون N خريطة نووية إذا وفقط إذا كانت R خريطة نووية؛ وبالتالي، لدراسة الخرائط النووية بين فضاءات هيلبرت، يكفي حصر الاهتمام بالمؤثرات الذاتية المرافقة الموجبة R. [ 11 ]

الخصائص

ليكن X و Y فضاءين هيلبرت، وليكن N  : X → Y تطبيقًا خطيًا متصلًا قيمته المطلقة هي R  : X → X. ما يلي متكافئ:

  1. N  : X → Y هو نووي.
  2. R  : X → X نووي. [ 12 ]
  3. R  : X → X هي مجموعة متراصة وTr⁡R{\displaystyle \operatorname {Tr} R}محدودة، وفي هذه الحالةTr⁡R=‖شمال‖Tr{\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}[ 12 ]​
    • هنا،Tr⁡R{\displaystyle \operatorname {Tr} R}هو أثر R ويُعرَّف على النحو التالي: بما أن R مؤثر موجب متصل ومضغوط، فإنه يوجد متتالية (قد تكون منتهية)λ1>λ2>⋯{\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }من الأعداد الموجبة مع فضاءات متجهة غير تافهة محدودة الأبعاد ومتعامدة فيما بينهاV1،V2،...{\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }بحيث يكون المتعامد (في H ) لـفترة⁡(V1∪V2∪⋯){\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}يساويكير⁡R{\displaystyle \ker R}(وبالتالي أيضاً إلىكير⁡شمال{\displaystyle \ker N}) ولكل k ،R(x)=λكx{\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}للجميعx∈Vك{\displaystyle x\in V_{k}}يُعرَّف الأثر على النحو التالي:Tr⁡R:=∑كλكخافت⁡Vك{\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}.
  4. تشمال:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}نووي، وفي هذه الحالة‖تشمال‖Tr=‖شمال‖Tr{\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}[ 9 ]​
  5. يوجد متتابعتان متعامدتان(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}في X و(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}في Y ، وتسلسل(λأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيℓ1{\displaystyle \ell ^{1}}بحيث يكون ذلك لجميعx∈X{\displaystyle x\in X}،شمال(x)=∑أناλأنا⟨x،xأنا⟩yأنا{\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}[ 12 ]​
  6. N  : X → Y هي دالة تكاملية . [ 13 ]

المؤثرات النووية بين الفضاءات المحدبة محليًا

لنفترض أن U هي جوار مغلق محدب ومتوازن للأصل في X، وأن B هي قرص باناخ محدب ومتوازن ومحدود في Y ، حيث أن كلاً من X و Y فضاءات محدبة محليًا.صيو(x)=معلوماتر>0،x∈ريور{\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}ودعπ:X→X/صيو-1(0){\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)}ليكن الإسقاط المتعارف عليه. يمكن تعريف فضاء باناخ المساعدX^يو{\displaystyle {\hat {X}}_{U}}مع الخريطة المتعارف عليهاπ^يو:X→X^يو{\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}}صورته،X/صيو-1(0){\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}كثيفة فيX^يو{\displaystyle {\hat {X}}_{U}}بالإضافة إلى المساحة الإضافيةFب=فترة⁡ب{\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B}معيار من قبلصب(y)=معلوماتر>0،y∈ربر{\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}وبخريطة معياريةأنا:Fب→F{\displaystyle \iota :F_{B}\to F}كونها الحقنة الكنسية (المستمرة). بالنظر إلى أي خريطة خطية مستمرةتي:X^يو→Yب{\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}يمكن الحصول من خلال التركيب على الخريطة الخطية المتصلةπ^يو∘تي∘أنا:X→Y{\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y}وبالتالي لدينا حقنةل(X^يو؛Yب)→ل(X؛Y){\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}وسنستخدم هذه الخريطة من الآن فصاعدًا لتحديدل(X^يو؛Yب){\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}كفضاء فرعي منل(X؛Y){\displaystyle L(X;Y)}[ 7 ]​

التعريف : ليكن X و Y فضاءين محدبين محليًا من نوع هاوسدورف. اتحاد جميعل1(X^يو؛Yب){\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}عندما يمتد U على جميع الجوارات المحدبة المغلقة والمتوازنة للأصل في X ، ويمتد B على جميع أقراص باناخ المحدودة في Y ، يُرمز إليه بـل1(X؛Y){\displaystyle L^{1}(X;Y)}وتسمى عناصرها بالتحويلات النووية لـ X إلى Y. [ 7 ]

عندما تكون X و Y فضاءات باناخ، فإن هذا التعريف الجديد للتحويل النووي يتوافق مع التعريف الأصلي المقدم للحالة الخاصة حيث تكون X و Y فضاءات باناخ.

شروط كافية لتكوين النواة

  • لتكن W و X و Y و Z فضاءات هاوسدورف محدبة محلياً،شمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}خريطة نووية، وم:دبليو→X{\displaystyle M:W\to X}وP:Y→Z{\displaystyle P:Y\to Z}لتكن دوال خطية متصلة. إذنشمال∘م:دبليو→Y{\displaystyle N\circ M:W\to Y}،P∘شمال:X→Z{\displaystyle P\circ N:X\to Z}، وP∘شمال∘م:دبليو→Z{\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}إذا كانت W و X و Y و Z جميعها فضاءات باناخ، فإن‖P∘شمال∘م‖Tr≤‖P‖‖شمال‖Tr‖‖م‖{\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}[ 14 ] [ 15 ]​
  • لوشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}إذا كانت دالة نووية بين فضاءين محدبين محليًا من نوع هاوسدورف، فإن منقولهاتشمال:Yب′→Xب′{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}[ 2 ] هي خريطة نووية متصلة (عندما تحمل الفضاءات الثنائية طوبولوجياتها الثنائية القوية).
    • إذا كانت X و Y فضاءات باناخ بالإضافة إلى ذلك ، فإن‖تشمال‖Tr≤‖شمال‖Tr{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}[ 9 ]​
  • لوشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}هي خريطة نووية بين فضاءين محدبين محليًا من نوع هاوسدورف، وإذاX^{\displaystyle {\hat {X}}}إذا كان إكمالًا لـ X ، فإن الامتداد المتصل الوحيدشمال^:X^→Y{\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}إن N نووي. [ 15 ]

الخصائص

ليكن X و Y فضاءين محدبين محليًا من نوع هاوسدورف، وليكنشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}ليكن عاملاً خطياً متصلاً.

  • ما يلي متكافئ:
    1. شمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}نووي.
    2. (تعريف) توجد جوار محدب متوازن U للأصل في X وقرص باناخ محدود B في Y بحيثشمال(يو)⊆ب{\displaystyle N(U)\subseteq B}والخريطة المستحثةشمال¯0:X^يو→Yب{\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}هو نووي، حيثشمال¯0{\displaystyle {\overline {N}}_{0}}هو الامتداد المتواصل الفريد لـشمال0:Xيو→Yب{\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}وهي الخريطة الفريدة التي تحققشمال=فيب∘شمال0∘πيو{\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}أينفيب:Yب→Y{\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}وهو إدراج طبيعي وπيو:X→X/صيو-1(0){\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}هو الإسقاط المتعارف عليه. [ 6 ]
    3. توجد فضاءات باناخب1{\displaystyle B_{1}}وب2{\displaystyle B_{2}}والخرائط الخطية المتصلةو:X→ب1{\displaystyle f:X\to B_{1}}،ن:ب1→ب2{\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}، وز:ب2→Y{\displaystyle g:B_{2}\to Y}بحيثن:ب1→ب2{\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}نووي وشمال=ز∘ن∘و{\displaystyle N=g\circ n\circ f}[ 8 ]​
    4. توجد متتالية متساوية الاستمرارية(xأنا′)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}فيX′{\displaystyle X'}قرص باناخ محدودب⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}، سلسلة(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}في B ، وتسلسل معقد(جأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}بحيث∑أنا=1∞|جأنا|<∞{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }وشمال{\displaystyle N}يساوي التعيين: [ 8 ]شمال(x)=∑أنا=1∞جأناxأنا′(x)yأنا{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}.
  • إذا كانت X أسطوانية و Y شبه كاملة ، فإن N نووية إذا وفقط إذا كان لـ N تمثيل من الشكلشمال(x)=∑أنا=1∞جأناxأنا′(x)yأنا{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}مع(xأنا′)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}محدود فيX′{\displaystyle X'}،(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}محدود في Y و∑أنا=1∞|جأنا|<∞{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }[ 8 ]​

ملكيات

فيما يلي نوع من نظرية هان-باناخ لتوسيع الخرائط النووية:

  • لوهـ:X→Z{\displaystyle E:X\to Z}هو تضمين TVS وشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}إذا كانت خريطة نووية، فستوجد خريطة نوويةشمال~:Z→Y{\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}بحيثشمال~∘هـ=شمال{\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}علاوة على ذلك، عندما يكون X و Y فضاءات باناخ و E عبارة عن تماثل هندسي، فإنه لأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}،شمال~{\displaystyle {\tilde {N}}}يمكن اختيارها بحيث‖شمال~‖Tr≤‖شمال‖Tr+ϵ{\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }[ 16 ]​
  • لنفترض أنهـ:X→Z{\displaystyle E:X\to Z}هو تضمين TVS الذي تكون صورته مغلقة في Z ولتكنπ:Z→Z/أنا⁡هـ{\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}ليكن الإسقاط المتعارف عليه. لنفترض أن كل قرص مضغوط فيZ/أنا⁡هـ{\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}هل الصورة أدناهπ{\displaystyle \pi }لقرص باناخ محدود في Z (هذا صحيح، على سبيل المثال، إذا كان كل من X و Z فضاءات فريشيه، أو إذا كان Z هو الثنائي القوي لفضاء فريشيه وأنا⁡هـ{\displaystyle \operatorname {Im} E}(مغلقة بشكل ضعيف في Z ). ثم لكل خريطة نوويةشمال:Y→Z/أنا⁡هـ{\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}توجد خريطة نوويةشمال~:Y→Z{\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}بحيثπ∘شمال~=شمال{\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}.
    • علاوة على ذلك، عندما يكون X و Z فضاءات باناخ و E عبارة عن تماثل هندسي، فإنه لأيϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}،شمال~{\displaystyle {\tilde {N}}}يمكن اختيارها بحيث‖شمال~‖Tr≤‖شمال‖Tr+ϵ{\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }[ 16 ]​

ليكن X و Y فضاءين محدبين محليًا من نوع هاوسدورف، وليكنشمال:X→Y{\displaystyle N:X\to Y}ليكن عاملاً خطياً متصلاً.

  • أي خريطة نووية تكون مضغوطة. [ 2 ]
  • لكل طوبولوجيا ذات تقارب منتظم علىل(X؛Y){\displaystyle L(X;Y)}، توجد الخرائط النووية في إغلاقX′⊗Y{\displaystyle X'\otimes Y}(متىX′⊗Y{\displaystyle X'\otimes Y}يُنظر إليه على أنه فضاء فرعي منل(X؛Y){\displaystyle L(X;Y)}). [ 6 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تريفز 2006 ، ص 488.
  2. 1 2 3 Trèves 2006 ، ص 483.
  3. 1 2 Trèves 2006 ، ص. 490.
  4. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 92.
  5. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 93.
  6. 1 2 3 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 98.
  7. 1 2 3 تريف 2006 ، ص 478-479.
  8. 1 2 3 4 5 تريف 2006 ، ص 481-483.
  9. 1 2 3 Trèves 2006 ، ص 484.
  10. ^ تريف 2006 ، ص 483-484.
  11. ^ تريف 2006 ، ص 488-492.
  12. 1 2 3 تريفيس 2006 ، ص 492-494.
  13. ^ تريف 2006 ، ص 502-508.
  14. ^ تريف 2006 ، ص 479-481.
  15. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 100.
  16. 1 2 Trèves 2006 ، ص. 485.

فهرس

  • ديستل، جو (2008). نظرية القياس لمنتجات الموترات  : إعادة النظر في ملخص غروتينديك . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773 . 
  • دوبينسكي، إد (1979). هيكل مساحات فريشيه النووية . برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156 . 
  • جروتينديك ، ألكسندر (1966). Produits Tensoriels Topologiques et Spaces Nucléaires (بالفرنسية). بروفيدنس: جمعية الرياضيات الأمريكية. رقم ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788 . 
  • حسين، تقدير (1978). خاصية البرميلية في الفضاءات المتجهة الطوبولوجية والمرتبة . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 . 
  • خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 . 
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • نلاند، هـ (1977). البورنولوجيا والتحليل الوظيفي  : دورة تمهيدية في نظرية طوبولوجيا الازدواجية - البورنولوجيا واستخدامها في التحليل الوظيفي . أمستردام، نيويورك: دار نشر نورث هولاند. الموزعون الحصريون في الولايات المتحدة الأمريكية وكندا: إلسيفير-نورث هولاند. رقم ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822 . 
  • نلاند، هـ (1981). الفضاءات النووية والفضاءات النووية المشتركة  : دورات تمهيدية حول الفضاءات النووية والفضاءات النووية المشتركة في ضوء الازدواجية . أمستردام، نيويورك، نيويورك: دار نشر نورث هولاند. الموزعون الحصريون في الولايات المتحدة الأمريكية وكندا: إلسيفير نورث هولاند. رقم ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061 . 
  • بيتش، ألبريشت (1972). الفضاءات النووية المحدبة محليا . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 . 
  • روبرتسون، أ.ب. (1973). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . كامبريدج، إنجلترا: مطبعة الجامعة. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250 . 
  • ريان، ريموند (2002). مقدمة في جداءات الموترات لفضاءات باناخ . لندن - نيويورك: سبرينغر. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184 . 
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
  • وونغ (1979). فضاءات شوارتز، والفضاءات النووية، وحاصل الضرب الموتري . برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .