مساحة خضراء

في الرياضيات ، تُعدّ الفضاءات النووية فضاءات متجهة طوبولوجية يمكن اعتبارها تعميمًا للفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المحدودة ، وتشترك معها في العديد من الخصائص المرغوبة. مع ذلك، تختلف الفضاءات النووية اختلافًا كبيرًا عن فضاءات هيلبرت ، وهي تعميم آخر للفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المحدودة. وقد قدّمها ألكسندر غروتينديك .

يمكن تعريف الطوبولوجيا على الفضاءات النووية بواسطة مجموعة من أنصاف المعايير التي تتناقص كراتها الوحدوية بسرعة. تميل الفضاءات المتجهة التي تكون عناصرها "ملساء" بمعنى ما إلى أن تكون فضاءات نووية؛ ومن الأمثلة النموذجية على الفضاء النووي مجموعة الدوال الملساء على مشعب متراص . جميع الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة هي فضاءات نووية. لا توجد فضاءات باناخ نووية، باستثناء تلك ذات الأبعاد المحدودة. عمليًا، غالبًا ما يكون العكس صحيحًا: إذا لم يكن الفضاء المتجه الطوبولوجي "الطبيعي" فضاء باناخ، فمن المرجح أنه فضاء نووي.

طُوِّر جزء كبير من نظرية الفضاءات النووية على يد ألكسندر غروتينديك أثناء بحثه في نظرية شوارتز الأساسية، ونُشرت في ( غروتينديك 1955 ) . وسنصف الآن هذا الدافع.

لأي مجموعات فرعية مفتوحة${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$و${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$الخريطة المتعارف عليها${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$هو تماثل لـ TVSs (حيث${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$تتمتع هذه الفضاءات بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المحدودة ، وعلاوة على ذلك، فإن كلا هذين الفضاءين متماثلان بشكل قانوني مع فضاءات TVS.${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$(حيث منذ)${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$إذا كان نوويًا، فإن هذا الضرب الموتري هو في الوقت نفسه الضرب الموتري الحقني والضرب الموتري الإسقاطي . ^{[ 1 ]} باختصار، تنص نظرية شوارتز الأساسية على ما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$ حيث تكون جميع هذه التشوهات TVS-isomorphisms قانونية.

تكون هذه النتيجة خاطئة إذا تم استبدال المسافة${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$مع${\displaystyle L^{2}}$(وهو فضاء انعكاسي متماثل حتى مع فضائه الثنائي القوي) ويحل محل${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$مع ازدواجية هذا${\displaystyle L^{2}}$^{[ 2 ]} السؤال هو: لماذا تنطبق هذه النتيجة الجيدة على فضاء التوزيعات ودوال الاختبار، بينما لا تنطبق على فضاء هيلبرت ؟${\displaystyle L^{2}}$(الذي يعتبر عمومًا أحد "ألطف" TVSs) قاد غروتينديك لاكتشاف الفضاءات النووية والخرائط النووية وضرب الموتر الحقني .

يُدرج هذا القسم بعضًا من التعريفات الشائعة للفضاء النووي. جميع التعريفات الواردة أدناه متكافئة. تجدر الإشارة إلى أن بعض المؤلفين يستخدمون تعريفًا أكثر تقييدًا للفضاء النووي، بإضافة شرط أن يكون الفضاء أيضًا فضاء فريشيه . (وهذا يعني أن الفضاء كامل وأن طوبولوجيته مُعطاة بواسطة عائلة قابلة للعد من أنصاف المعايير).

استخدم غروتينديك التعريف التالي لتحديد الفضاءات النووية. ^{[ 4 ]}

التعريف 0 : ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا. عندئذٍ${\displaystyle X}$تكون نووية إذا كان لكل فضاء محدب محليًا${\displaystyle Y,}$تضمين الفضاء المتجهي المتعارف عليه${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$هو تضمين لـ TVSs التي تكون صورتها كثيفة في المجال المقابل (حيث المجال${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$هو حاصل الضرب الموتري الإسقاطي، والمجال المقابل هو فضاء جميع الأشكال الثنائية الخطية المتصلة بشكل منفصل على${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$(مزودة بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المتساوية الاستمرارية ).

نبدأ باستعراض بعض المعلومات الأساسية. فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا${\displaystyle X}$يمتلك بنية طوبولوجية تُعرَّف بواسطة عائلة من المعايير الجزئية . لكل معيار جزئي، تكون كرة الوحدة جوارًا مغلقًا محدبًا متناظرًا للأصل، والعكس صحيح، فكل جوار مغلق محدب متناظر للصفر هو كرة الوحدة لمعيار جزئي ما. (بالنسبة للفضاءات المتجهة المركبة، يجب استبدال شرط "متناظر" بشرط " متوازن ").${\displaystyle p}$هو شبه معيار في ${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle X_{p}}$يرمز إلى فضاء باناخ المُعطى بإكمال الفضاء المعياري المساعد باستخدام شبه المعيار.${\displaystyle p.}$توجد خريطة طبيعية${\displaystyle X\to X_{p}}$(ليس بالضرورة حقني).

لو${\displaystyle q}$وهو شبه معيار آخر، أكبر من${\displaystyle p}$(نقطة بنقطة كدالة على${\displaystyle X}$ثم توجد خريطة طبيعية من${\displaystyle X_{q}}$ل${\displaystyle X_{p}}$بحيث تُحلل الخريطة الأولى إلى${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$هذه الخرائط متصلة دائمًا. الفضاء${\displaystyle X}$تكون هذه الخرائط نووية عندما يتحقق شرط أقوى، وهو أن تكون مؤثرات نووية . إن شرط كونها مؤثرًا نوويًا دقيق، ويمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في المقالة ذات الصلة.

التعريف 1 : الفضاء النووي هو فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا بحيث يكون لكل شبه معيار${\displaystyle p}$يمكننا إيجاد شبه معيار أكبر${\displaystyle q}$بحيث تكون الخريطة الطبيعية${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$هو نووي .

Informally, this means that whenever we are given the unit ball of some seminorm, we can find a "much smaller" unit ball of another seminorm inside it, or that every neighborhood of 0 contains a "much smaller" neighborhood. It is not necessary to check this condition for all seminorms ${\displaystyle p}$; it is sufficient to check it for a set of seminorms that generate the topology, in other words, a set of seminorms that are a subbase for the topology.

Instead of using arbitrary Banach spaces and nuclear operators, we can give a definition in terms of Hilbert spaces and trace class operators, which are easier to understand. (On Hilbert spaces nuclear operators are often called trace class operators.) We will say that a seminorm ${\displaystyle p}$ is a Hilbert seminorm if ${\displaystyle X_{p}}$ is a Hilbert space, or equivalently if ${\displaystyle p}$ comes from a sesquilinear positive semidefinite form on ${\displaystyle X.}$

Definition 2: A nuclear space is a topological vector space with a topology defined by a family of Hilbert seminorms, such that for every Hilbert seminorm ${\displaystyle p}$ we can find a larger Hilbert seminorm ${\displaystyle q}$ so that the natural map from ${\displaystyle X_{q}}$ to ${\displaystyle X_{p}}$ is trace class.

Some authors prefer to use Hilbert–Schmidt operators rather than trace class operators. This makes little difference, because every trace class operator is Hilbert–Schmidt, and the product of two Hilbert–Schmidt operators is of trace class.

Definition 3: A nuclear space is a topological vector space with a topology defined by a family of Hilbert seminorms, such that for every Hilbert seminorm ${\displaystyle p}$ we can find a larger Hilbert seminorm ${\displaystyle q}$ so that the natural map from ${\displaystyle X_{q}}$ to ${\displaystyle X_{p}}$ is Hilbert–Schmidt.

If we are willing to use the concept of a nuclear operator from an arbitrary locally convex topological vector space to a Banach space, we can give shorter definitions as follows:

Definition 4: A nuclear space is a locally convex topological vector space such that for every seminorm ${\displaystyle p}$ the natural map from ${\displaystyle X\to X_{p}}$ is nuclear.

Definition 5: A nuclear space is a locally convex topological vector space such that every continuous linear map to a Banach space is nuclear.

Grothendieck used a definition similar to the following one:

Definition 6: A nuclear space is a locally convex topological vector space ${\displaystyle A}$ such that for every locally convex topological vector space ${\displaystyle B}$ the natural map from the projective to the injective tensor product of ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ is an isomorphism.

In fact it is sufficient to check this just for Banach spaces ${\displaystyle B,}$ or even just for the single Banach space ${\displaystyle \ell ^{1}}$ of absolutely convergent series.

Let ${\displaystyle X}$ be a Hausdorff locally convex space. Then the following are equivalent:

1. ${\displaystyle X}$ is nuclear;
2. for any locally convex space ${\displaystyle Y,}$تضمين الفضاء المتجهي المتعارف عليه${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$هو تضمين لـ TVSs التي تكون صورتها كثيفة في المجال المقابل؛
3. لأي مساحة باناش${\displaystyle Y,}$تضمين الفضاء المتجهي المتعارف عليه${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$هو تماثل شامل لـ TVSs؛ ^{[ 5 ]}
4. لأي مساحة هاوسدورف محدبة محليًا${\displaystyle Y,}$تضمين الفضاء المتجهي المتعارف عليه${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$هو تماثل شامل لـ TVSs؛ ^{[ 5 ]}
5. التضمين المتعارف عليه لـ${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$في${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$هو تماثل شامل لـ TVSs؛ ^{[ 6 ]}
6. الخريطة الأساسية لـ${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$هو تماثل شامل من نوع TVS. ^{[ 6 ]}
7. لأي شبه معيار${\displaystyle p}$يمكننا إيجاد شبه معيار أكبر${\displaystyle q}$بحيث تكون الخريطة الطبيعية${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$هو نووي ؛
8. لأي شبه معيار${\displaystyle p}$يمكننا إيجاد شبه معيار أكبر${\displaystyle q}$بحيث يكون الحقن الكنسي${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$نووي؛ ^{[ 5 ]}
9. طوبولوجيا${\displaystyle X}$يتم تعريفها بواسطة مجموعة من أنصاف معايير هيلبرت، بحيث يكون لأي نصف معيار هيلبرت${\displaystyle p}$يمكننا إيجاد شبه معيار هيلبرت أكبر${\displaystyle q}$بحيث تكون الخريطة الطبيعية${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$هي فئة التتبع ؛
10. ${\displaystyle X}$لها بنية طوبولوجية محددة بواسطة عائلة من أنصاف معايير هيلبرت، بحيث يكون لأي نصف معيار هيلبرت${\displaystyle p}$يمكننا إيجاد شبه معيار هيلبرت أكبر${\displaystyle q}$بحيث تكون الخريطة الطبيعية${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$هي هيلبرت-شميدت؛
11. لأي شبه معيار${\displaystyle p}$الخريطة الطبيعية من${\displaystyle X\to X_{p}}$هو نووي .
12. أي خريطة خطية متصلة إلى فضاء باناخ تكون نووية؛
13. كل شبه معيار مستمر على${\displaystyle X}$هو ما قبل النواة؛ ^{[ 7 ]}
14. كل مجموعة فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X^{\prime }}$هو ما قبل النواة؛ ^{[ 7 ]}
15. كل تحويل خطي من فضاء باناخ إلى${\displaystyle X^{\prime }}$الذي يحول كرة الوحدة إلى مجموعة متساوية الاستمرارية، هو نووي؛ ^{[ 5 ]}
16. إتمام${\displaystyle X}$هو فضاء نووي؛

لو${\displaystyle X}$إذا كان الفضاء من نوع فريشيه، فإن ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle X}$نووي؛
2. كل متتالية قابلة للجمع بشكل غير مشروط في${\displaystyle X}$يمكن جمعها بشكل مطلق؛ ^{[ 6 ]}
3. الثنائية القوية لـ${\displaystyle X}$نووي؛

• تكون فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا نووية إذا وفقط إذا كان إكمالها نوويًا.
• كل فضاء جزئي من فضاء نووي هو فضاء نووي. ^{[ 8 ]}
• كل فضاء خارج قسمة هاوسدورف لفضاء نووي هو فضاء نووي. ^{[ 8 ]}
• النهاية الاستقرائية لتسلسل قابل للعد من الفضاءات النووية هي نووية. ^{[ 8 ]}
• المجموع المباشر المحدب محليًا لتسلسل قابل للعد من الفضاءات النووية هو فضاء نووي. ^{[ 8 ]}
• إن النظير القوي لفضاء فريشيه النووي هو نووي. ^{[ 9 ]}
  • بشكل عام، قد لا يكون النظير القوي للفضاء النووي نووياً. ^{[ 9 ]}
• الفضاء الفريشيه الذي يكون ثنائيه القوي نوويًا يكون نوويًا في حد ذاته. ^{[ 9 ]}
• نهاية عائلة من الفضاءات النووية هي نووية. ^{[ 8 ]}
• ناتج مجموعة من الفضاءات النووية هو فضاء نووي. ^{[ 8 ]}
• إن إكمال الفضاء النووي هو نووي (وفي الواقع يكون الفضاء نوويًا إذا وفقط إذا كان إكماله نوويًا).
• حاصل الضرب الموتري لفضاءين نوويين هو فضاء نووي.
• إن حاصل الضرب الموتري الإسقاطي ، وكذلك إكماله، لفضاءين نوويين هو نووي. ^{[ 10 ]}

لنفترض أن${\displaystyle X,Y,}$و${\displaystyle N}$هي فضاء محدب محليًا مع${\displaystyle N}$نووي.

• لو${\displaystyle N}$إذا كان نوويًا، فإن فضاء المتجهات للخرائط الخطية المتصلة${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$الفضاء النووي مزود بطوبولوجيا التقارب البسيط. ^{[ 9 ]}
• لو${\displaystyle X}$هو فضاء شبه انعكاسي ثنائيته القوية نووية، وإذا${\displaystyle N}$إذا كان نوويًا، فإن فضاء المتجهات للخرائط الخطية المتصلة${\displaystyle L_{b}(X,N)}$(مزودة بطوبولوجيا التقارب المنتظم على مجموعات فرعية محدودة من${\displaystyle X}$) هو فضاء نووي. ^{[ 11 ]}

تتشابه الفضاءات النووية من نواحٍ عديدة مع الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة ولها العديد من خصائصها الجيدة.

• كل فضاء هاوسدورف ذي الأبعاد المحدودة هو فضاء نووي.
• يكون فضاء فريشيه نووياً إذا وفقط إذا كان فضاءه الثنائي القوي نووياً.
• كل مجموعة جزئية محدودة من فضاء نووي تكون شبه متراصة (تذكر أن المجموعة شبه متراصة إذا كان إغلاقها في إكمال الفضاء متراصًا). ^{[ 13 ]} وهذا مماثل لنظرية هاين-بوريل . في المقابل، لا يمتلك أي فضاء معياري لانهائي الأبعاد هذه الخاصية (مع أن الفضاءات محدودة الأبعاد تمتلكها).
• لو${\displaystyle X}$إذا كانت فضاءً نووياً شبه كامل (أي أن جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة كاملة)،${\displaystyle X}$يمتلك خاصية هاين-بوريل . ^{[ 14 ]}
• الفضاء النووي شبه الكامل ذو الغلاف الأسطواني هو فضاء مونتيل .
• كل مجموعة فرعية مغلقة متساوية الاستمرارية من الفضاء الثنائي للفضاء النووي هي مجموعة متراصة قابلة للقياس (بالنسبة للطوبولوجيا الثنائية القوية).
• كل فضاء نووي هو فضاء جزئي من ناتج فضاءات هيلبرت.
• كل فضاء نووي يقبل أساسًا من المعايير شبه المعيارية التي تتكون من معايير هيلبرت.
• كل فضاء نووي هو فضاء شوارتز.
• كل فضاء نووي يمتلك خاصية التقريب. ^{[ 15 ]}
• أي فضاء جزئي وأي فضاء خارج قسمة على فضاء جزئي مغلق من فضاء نووي يكون نوويًا.
• لو${\displaystyle A}$نووي و${\displaystyle B}$إذا كان A أي فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا، فإن الخريطة الطبيعية من حاصل الضرب الموتري الإسقاطي لـ A و${\displaystyle B}$إن الضرب الموتري الأحادي هو تماثل. وبصورة تقريبية، هذا يعني أنه لا توجد إلا طريقة واحدة منطقية لتعريف الضرب الموتري. هذه الخاصية تميز الفضاءات النووية${\displaystyle A.}$
• في نظرية القياسات على الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، تنص نظرية أساسية على أن أي قياس مجموعة أسطوانية متصل على الفضاء الثنائي لفضاء فريشيه نووي يمتد تلقائيًا إلى قياس رادون . وهذا مفيد لأنه غالبًا ما يكون من السهل بناء قياسات مجموعة أسطوانية على الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، ولكن هذه القياسات ليست جيدة بما يكفي لمعظم التطبيقات ما لم تكن قياسات رادون (على سبيل المثال، فهي ليست قابلة للجمع بشكل عام).

أي دالة متصلة موجبة محددة${\displaystyle C}$في الفضاء النووي${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم الدالة المميزة إذا${\displaystyle C(0)=1,}$ولأي${\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$و${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

بالنظر إلى دالة مميزة على فضاء نووي${\displaystyle A,}$تضمن نظرية بوخنر -مينلوس (نسبةً إلى سالومون بوخنر وروبرت أدولفوفيتش مينلوس ) وجود وتفرد مقياس احتمالي مقابل${\displaystyle \mu }$في المساحة المزدوجة${\displaystyle A^{\prime }}$بحيث $${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),}$$

أين${\displaystyle C(y)}$هو تحويل فورييه-ستيلتيس لـ${\displaystyle \mu }$وبذلك يتم توسيع نطاق تحويل فورييه العكسي ليشمل الفضاءات النووية. ^{[ 18 ]}

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle A}$الفضاء النووي $${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$ أين${\displaystyle H_{k}}$إذا كانت فضاءات هيلبرت، فإن نظرية بوخنر-مينلوس تضمن وجود مقياس احتمالي ذي دالة مميزة${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$أي وجود مقياس غاوسي على الفضاء الثنائي . يُسمى هذا المقياس مقياس الضوضاء البيضاء . عندما${\displaystyle A}$إذا كان فضاء شوارتز، فإن العنصر العشوائي المقابل هو توزيع عشوائي .

الفضاء النووي القوي هو فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا بحيث يكون لأي شبه معيار${\displaystyle p}$يوجد شبه معيار أكبر${\displaystyle q}$بحيث تكون الخريطة الطبيعية${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$هو نووي بقوة .

• مساحة معيارية مساعدة
• نواة فريدهولم - نوع من النواة في فضاء باناخ
• حاصل ضرب الموتر الحقني
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا - فضاء متجهي ذو طوبولوجيا محددة بواسطة مجموعات مفتوحة محدبة
• مشغل حاسوب
• الضرب الموتري الإسقاطي – ضرب موتري معرف على فضاءين متجهيين طوبولوجيين
• فضاء هيلبرت المُجهّز - بناء يربط بين دراسة القيم الذاتية "المحدودة" والمستمرة في التحليل الوظيفي
• فئة الأثر - فئة المؤثرات المدمجة التي يمكن تعريف أثر محدود لها
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – فضاء متجهي ذو مفهوم التقارب