نعومة

وظيفة${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$معرفة على مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يقال ^{[ 2 ]} إنه من فئة${\displaystyle C^{k}}$على${\displaystyle U}$، لعدد صحيح موجب${\displaystyle k}$، إذا كانت جميع المشتقات الجزئية$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$ موجودة ومستمرة لكل مؤشر متعدد${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$من الأعداد الصحيحة غير السالبة مع${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$أو بعبارة أخرى، في الأبعاد المحدودة،${\displaystyle f}$من فئة${\displaystyle C^{k}}$على${\displaystyle U}$إذا كان${\displaystyle k}$مرات بشكل مستمر Fréchet قابل للتفاضل على${\displaystyle U}$الوظيفة${\displaystyle f}$يقال إنه من فئة${\displaystyle C}$أو${\displaystyle C^{0}}$إذا كان مستمرًا على${\displaystyle U}$وظائف الفئة${\displaystyle C^{1}}$ويُقال أيضاً إنها قابلة للتفاضل باستمرار .

وظيفة${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$، معرفة على مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يقال إنه من فئة${\displaystyle C^{k}}$على${\displaystyle U}$، لعدد صحيح موجب${\displaystyle k}$، إذا كانت جميع مكوناتها $${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f\quad {\text{for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$ هي من فئة${\displaystyle C^{k}}$، أين${\displaystyle \pi _{i}}$هي النتوءات الطبيعية${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$يقال إنه من فئة${\displaystyle C}$أو${\displaystyle C^{0}}$إذا كانت متصلة، أو بشكل مكافئ، إذا كانت جميع المكونات${\displaystyle f_{i}}$متصلة، على${\displaystyle U}$.

يترك${\displaystyle D}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مجموعة جميع القيم الحقيقية${\displaystyle C^{k}}$الوظائف على${\displaystyle D}$يُشار إليه بـ${\displaystyle C^{k}(D)}$مع الفتحة المدمجة${\displaystyle C^{k}}$الطوبولوجيا،${\displaystyle C^{k}(D)}$هي فضاء فريشيه . إحدى طرق وصف هذه الطوبولوجيا هي من خلال عائلة المعايير شبهية.$${\displaystyle p_{K,\alpha }(f)=\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|,}$$ أين${\displaystyle K}$تتراوح على مجموعات فرعية مضغوطة من${\displaystyle D}$و${\displaystyle \alpha }$نطاقات عبر مؤشرات متعددة مع${\displaystyle |\alpha |\leq k}$.

لو${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$إذا كان محدودًا ومفتوحًا،${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$يشير إلى فضاء الدوال على${\displaystyle U}$مشتقاتها الجزئية من الرتبة على الأكثر${\displaystyle k}$يمتد بشكل مستمر إلى المجموعة المدمجة${\displaystyle {\overline {U}}}$[ ^{3 ]} إنه فضاء باناخ ^ذو معيار $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}({\overline {U}})}=\max _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\overline {U}}}|D^{\alpha }f(x)|.}$$ بصورة مكافئة، يمكن للمرء استخدام مجموع هذه القيم العليا على${\displaystyle |\alpha |\leq k}$; المعيار الناتج مكافئ.

في عمليات الجمع والضرب النقطية،${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$هي جبر باناخ تبادلي . وتنتج خاصية الجبر من قاعدة لايبنتز ، التي تعبر عن كل مشتقة من حاصل الضرب بدلالة مشتقات العوامل من الرتبة على الأكثر${\displaystyle k}$.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle M}$إذا كان متعدد الشعب مضغوطًا وناعمًا، وربما له حدود،${\displaystyle C^{k}(M)}$هو فضاء باناخ. يمكن تعريف معياره باستخدام مجموعة محدودة من مخططات الإحداثيات وتقسيم الوحدة؛ وتعطي الخيارات المختلفة معايير متكافئة. مع الضرب النقطي،${\displaystyle C^{k}(M)}$وهي أيضاً جبر باناخ. على النقيض من ذلك،${\displaystyle C^{\infty }(M)}$لا تُعتبر عمومًا فضاء باناخ؛ على مشعب مضغوط، فهي بطبيعة الحال فضاء فريشيه ، مع أنصاف المعايير التي تتحكم في المشتقات من جميع الرتب.

طيف جيلفاند لـ${\displaystyle C^{k}(M)}$يكون${\displaystyle M}$وبالتالي، فإن تحويل جيلفاند يعطي خريطة أحادية (ولكنها ليست شاملة).${\displaystyle C^{k}(M)\to C^{0}(M)}$[ ^{4 ] : التمرين 11.9}

تظهر المساحات المذكورة أعلاه بشكل طبيعي في التطبيقات التي تتطلب دوال ذات مشتقات من رتب معينة؛ ومع ذلك، وخاصة في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية ، قد يكون من المفيد أحيانًا العمل مع مساحات سوبوليف بدلاً من ذلك .

تتميز الدوال الملساء ذات الدعم المحدود بكثافتها في العديد من فضاءات الدوال المستخدمة في التحليل، مثل:${\displaystyle L^{p}}$الفضاءات وفضاءات سوبوليف في ظل فرضيات مناسبة. وهذا يتوافق مع وضع طوبولوجيات على الدوال الملساء تكون أضعف من تلك ذات التقارب المنتظم (مثل${\displaystyle L^{p}}$المعيار). وهذا يجعل الدوال السلسة مفيدة كدوال اختبار وكتقريبات للدوال الأقل انتظامًا.

بينما تكون جميع الدوال التحليلية سلسة على المجموعة التي تكون تحليلية عليها، تُظهر أمثلة مثل دوال النتوء (المذكورة أعلاه) أن العكس ليس صحيحًا بالنسبة للدوال على الأعداد الحقيقية: إذ توجد دوال حقيقية سلسة غير تحليلية. يمكن تقديم أمثلة بسيطة لدوال سلسة ولكنها غير تحليلية عند أي نقطة باستخدام متسلسلات فورييه ؛ ومثال آخر هو دالة فابيوس . على الرغم من أنه قد يبدو أن هذه الدوال استثناء وليست قاعدة، فإن الدوال التحليلية تُشكل فئة فرعية صغيرة من الدوال السلسة؛ فعلى سبيل المثال، مع طوبولوجيات مناسبة على فضاءات الدوال السلسة، تُشكل الدوال التحليلية مجموعة فرعية ضئيلة من الدوال السلسة. ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، لكل مجموعة فرعية مفتوحة A من خط الأعداد الحقيقية، توجد دوال سلسة تحليلية على A فقط. ^{[ 7 ]}

يتناقض هذا الوضع الموصوف بشكل ملحوظ مع الدوال المركبة القابلة للتفاضل. فإذا كانت الدالة المركبة تامة الشكل على مجموعة مفتوحة، فإنها تكون قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية وتحليلية على تلك المجموعة. ^{[ 8 ]}

تنص نظرية إميل بوريل على أن كل متسلسلة قوى رسمية تظهر كمتسلسلة تايلور لدالة ملساء. وهذا أحد أوجه الاختلاف بين الدوال الملساء والدوال التحليلية، التي تحددها متسلسلات تايلور محليًا.

في ظل فرضيات مناسبة، ترتبط قابلية اشتقاق دالة ما بدرجة أعلى بانخفاض أسرع في تحويل لابلاس أو تحويل فورييه الخاص بها . على سبيل المثال، يُعطي التكامل بالتجزئة تقديرات لانخفاض تحويلات فورييه للدوال التي تحقق مشتقاتها شروط التكامل أو الشروط الحدية المناسبة. وترتبط هذه العلاقات بنتائج مثل نظرية بالي-وينر .

على النقيض من ذلك، قد يُشير اضمحلال تحويل فورييه إلى قابلية التفاضل أو خصائص الاستمرارية للدالة الأصلية. غالبًا ما يُصاغ هذا باستخدام فضاءات سوبوليف : إذ يُعطي اضمحلال تحويل فورييه انتظام سوبوليف، وتُحدد نظرية تضمين سوبوليف الشروط التي بموجبها يُشير انتظام سوبوليف إلى الدوال الكلاسيكية.${\displaystyle C^{k}}$نعومة.

وظائف سلسة مدعومة بشكل مضغوط، ويشار إليها عادةً بـ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$تُسمى هذه الدوال دوال الاختبار . وتُستخدم لتعريف التوزيعات والمشتقات الضعيفة .

تُستخدم الدوال الملساء ذات الدعم المُتحكم به بشكل مناسب ، وخاصةً الدوال الملساء ذات الدعم المُدمج، في بناء تجزئات الوحدة الملساء (انظر مُعجم تجزئات الوحدة والطوبولوجيا )؛ وهي ضرورية في دراسة المشعبات الملساء ، على سبيل المثال لإثبات إمكانية تعريف المقاييس الريمانية عالميًا انطلاقًا من وجودها المحلي. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك دالة النتوء على خط الأعداد الحقيقية، أي دالة ملساء f تأخذ القيمة 0 خارج الفترة [ a , b ] بحيث $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

بالنظر إلى مجموعة محدودة محليًا من الفترات المتداخلة على الخط، يمكن إنشاء دوال النتوء على كل منها، وعلى فترات شبه لانهائية.${\displaystyle (-\infty ,c]}$و${\displaystyle [d,+\infty )}$لتغطية الخط بأكمله، بحيث يكون مجموع الدوال دائمًا 1.

بناءً على ما سبق، لا تنطبق تجزئات الوحدة على الدوال التحليلية بنفس الطريقة؛ فعلى سبيل المثال، لا توجد دوال تحليلية غير صفرية ذات دعم مضغوط على مجال عقدي متصل. ويُعدّ اختلاف سلوكها فيما يتعلق بالوجود والاستمرار التحليلي أحد جذور نظرية الحزم . في المقابل، تكون حزم الدوال الملساء دقيقة ، وبالتالي لها سلوك كوهومولوجي مختلف.

بافتراض وجود مشعب أملس${\displaystyle M}$، ذات أبعاد${\displaystyle m,}$وأطلس​${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$خريطة${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$سلس على​${\displaystyle M}$إذا، لكل${\displaystyle p\in M}$يوجد مخطط${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$مع${\displaystyle p\in U,}$بحيث${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$هي دالة سلسة من المجموعة الفرعية المفتوحة${\displaystyle \phi (U)}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$. بصورة مماثلة،${\displaystyle f}$من فئة${\displaystyle C^{k}}$إذا كانت تمثيلات الإحداثيات هذه من فئة${\displaystyle C^{k}}$يمكن التحقق من السلاسة فيما يتعلق بأي مخطط من مخططات الأطلس التي تحتوي على${\displaystyle p,}$بما أن متطلبات السلاسة على وظائف الانتقال بين المخططات تضمن أنه إذا${\displaystyle f}$ناعم بالقرب${\displaystyle p}$في أحد المخططات، سيكون سلسًا بالقرب من${\displaystyle p}$في أي مخطط آخر.

على مشعب أملس${\displaystyle M}$يمكن تحديد حقول المتجهات الملساء من خلال اشتقاقات الجبر${\displaystyle C^{\infty }(M)}$أي حقل متجهي${\displaystyle X}$يعمل على الوظائف السلسة بواسطة${\displaystyle f\mapsto Xf}$ويلبي قاعدة لايبنتز $${\displaystyle X(fg)=fX(g)+gX(f).}$$

لو${\displaystyle F:M\to N}$هذه خريطة من${\displaystyle M}$إلى${\displaystyle n}$متعدد الأبعاد${\displaystyle N}$، ثم${\displaystyle F}$يكون سلسًا إذا، لكل${\displaystyle p\in M,}$يوجد مخطط${\displaystyle (U,\phi )}$يحتوي على${\displaystyle p,}$ومخطط${\displaystyle (V,\psi )}$يحتوي على${\displaystyle F(p)}$بحيث${\displaystyle F(U)\subset V,}$و${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$هي دالة سلسة بين مجموعات فرعية مفتوحة من الفضاءات الإقليدية.

تؤدي التطبيقات السلسة بين المتشعبات إلى تطبيقات خطية بين الفضاءات المماسية : لـ${\displaystyle F:M\to N}$عند كل نقطة، تقوم عملية الدفع الأمامي (أو التفاضلي) بتحويل متجهات المماس عند${\displaystyle p}$إلى متجهات مماسية عند${\displaystyle F(p)}$:${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$وعلى مستوى حزمة المماس ، فإن الدفع الأمامي هو تشاكل حزمة متجهة :${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$المقابل لعملية الدفع للأمام هو عملية السحب للخلف ، والتي "تسحب" المتجهات المرافقة.${\displaystyle N}$العودة إلى المتجهات${\displaystyle M,}$و${\displaystyle k}$- نماذج إلى${\displaystyle k}$-forms:${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$وبهذه الطريقة يمكن للدوال السلسة بين المتشعبات أن تنقل البيانات المحلية ، مثل حقول المتجهات والأشكال التفاضلية ، من متشعب إلى آخر، أو إلى الفضاء الإقليدي حيث تكون العمليات الحسابية مثل التكامل مفهومة جيدًا.

الصور العكسية وصور الدوال الملساء، بشكل عام، ليست متعددة الشعب دون افتراضات إضافية. أما الصور العكسية للقيم المنتظمة فهي متعددة الشعب؛ وهذا يعني أنه بالنسبة لدالة ملساء${\displaystyle F:M\to N}$وقيمة${\displaystyle q\in N}$، التفاضلي${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{q}N}$هو شامل في كل نقطة${\displaystyle p\in F^{-1}(q)}$هذه هي نظرية الصورة العكسية . وبالمثل، فإن صورة التضمين هي فضاء فرعي مُضمّن. ^{[ 9 ]}

يُعرَّف مفهوم السلاسة أيضاً لمقاطع حزم المتجهات. يكون المقطع سلساً إذا كانت مركبات إحداثياته ​​سلسة في عمليات التبسيط المحلية. تُعد حقول المتجهات السلسة، والصيغ التفاضلية، وحقول الموترات أمثلة على المقاطع السلسة.

يوجد مفهوم مماثل للخريطة الملساء لأي مجموعة فرعية من المتشعبات. إذا${\displaystyle f:X\to Y}$هي دالة يكون مجالها ومجالها المقابل مجموعتين جزئيتين من متعددات الشعب.${\displaystyle X\subseteq M}$و${\displaystyle Y\subseteq N}$على التوالي، ثم${\displaystyle f}$يقال إنه سلس إن كان للجميع${\displaystyle x\in X}$هناك مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq M}$مع${\displaystyle x\in U}$ووظيفة سلسة${\displaystyle F:U\to N}$بحيث${\displaystyle F(p)=f(p)}$للجميع${\displaystyle p\in U\cap X.}$

ل${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$مساحات هولدر${\displaystyle C^{k,\alpha }(U)}$في مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي دوال تكون${\displaystyle C^{k}}$على${\displaystyle U}$ولمن${\displaystyle k}$تحقق الدوال الجزئية من الرتبة n شرط هولدر على${\displaystyle U}$: $${\displaystyle |\partial ^{k}f(x)-\partial ^{k}f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }.}$$ هذا الشرط أقوى من شرط الاستمرارية العادي. عندما${\displaystyle \alpha =1}$وهذا يعني استمرارية ليبشيتز للمشتقة من الرتبة k، وهي أضعف من قابليتها للتفاضل. وبالتالي، بالنسبة لـ${\displaystyle 0<\alpha <1}$وعلى مجال مفتوح غير فارغ${\displaystyle U}$، $${\displaystyle C^{k}(U)\subsetneq C^{k,\alpha }(U)\subsetneq C^{k,1}(U)\subsetneq C^{k+1}(U).}$$