تقسيم الوحدة

في الرياضيات ، تجزئة الوحدة على فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هي مجموعة​​${\displaystyle R}$من الدوال المتصلة من​${\displaystyle X}$إلى الفترة[0,1] بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle x\in X}$:

• يوجد حي من​${\displaystyle x}$حيث أن جميع دوال ⁠ باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle R}$هي صفر، ^{[ 1 ]} و
• مجموع جميع قيم الدالة عند ⁠${\displaystyle x}$هو 1، أي${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

تُعدّ تجزئة الوحدة مفيدة لأنها تسمح غالبًا بتوسيع نطاق الإنشاءات المحلية لتشمل الفضاء بأكمله. كما أنها مهمة في استيفاء البيانات، ومعالجة الإشارات ، ونظرية الدوال التكعيبية .

يتخذ وجود تجزئات الوحدة شكلين متميزين:

1. في ظل أي غطاء مكشوف${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$يوجد في الفضاء تقسيم للوحدة${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$مفهرسة على نفس المجموعة${\displaystyle I}$بحيث يدعم​${\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$يقال إن هذا التقسيم تابع للغطاء المفتوح${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. في ظل أي غطاء مكشوف${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$في فضاء متراص محليًا ، يوجد تقسيم للوحدة${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$مفهرسة على مجموعة فهارس قد تكون متميزة${\displaystyle J}$بحيث يكون كل${\displaystyle \rho _{j}}$يتميز بدعم مدمج ولكل​${\displaystyle j\in J}$يوجد​​${\displaystyle i\in I}$مع الدعم${\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$.

وبالتالي، يختار المرء إما أن تكون الدعامات مفهرسة بواسطة الغطاء المفتوح، أو دعامات متراصة. إذا كانت المساحة متراصة ، فإنه توجد أقسام تحقق كلا الشرطين.

يحتوي الغطاء المفتوح المحدود دائمًا على تجزئة متصلة للوحدة تابعة له، بشرط أن يكون الفضاء متراصًا محليًا وهاوسدورف. ^{[ 2 ]} يُعد التراص الجزئي للفضاء شرطًا ضروريًا لضمان وجود تجزئة للوحدة تابعة لأي غطاء مفتوح . وبحسب الفئة التي ينتمي إليها الفضاء، قد يكون هذا شرطًا كافيًا أيضًا. ^{[ 3 ]} على وجه الخصوص، تقبل المجموعة المتراصة في الفضاء الإقليدي تجزئة سلسة للوحدة تابعة لأي غطاء مفتوح محدود. يستخدم هذا البناء دوال التنعيم (دوال النتوءات)، الموجودة في المشعبات المتصلة والسلسة ، ولكن ليس بالضرورة في المشعبات التحليلية . وبالتالي، بالنسبة لغطاء مفتوح لمشعب تحليلي، لا توجد عمومًا تجزئة تحليلية للوحدة تابعة لهذا الغطاء المفتوح. انظر الاستمرار التحليلي .

إذا​${\displaystyle R}$و​​${\displaystyle T}$هي تقسيمات للوحدة للفضاءات${\displaystyle X}$و​​${\displaystyle Y}$على التوالي ، ثم مجموعة جميع الأزواج${\displaystyle \{\rho \otimes \tau$ { ρ ∈ R, τ ∈ T }} هي تجزئة للوحدة لفضاءالضرب الديكارتي${\displaystyle X\times Y}$. يعمل حاصل الضرب الموتري للدوال كـ${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

يترك${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$كن نقطتين متقابلتين على الدائرة${\displaystyle S^{1}}$يمكننا إنشاء تجزئة للوحدة على${\displaystyle S^{1}}$من خلال النظر إلى مخطط مكمل النقطة${\displaystyle p\in S^{1}}$هذا يرسل${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$مع المركز${\displaystyle q\in S^{1}}$والآن لنبدأ${\displaystyle \Phi }$كن دالة نتوء على${\displaystyle \mathbb {R} }$محدد بواسطة$${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ثم، كل من هذه الوظيفة و${\displaystyle 1-\Phi }$يمكن توسيعها بشكل فريد على${\displaystyle S^{1}}$عن طريق الضبط${\displaystyle \Phi (p)=0}$ثم، زوج الدوال${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$يشكل تجزئة للوحدة على${\displaystyle S^{1}}$.

أحيانًا يُستخدم تعريف أقل تقييدًا: يُشترط فقط أن يكون مجموع جميع قيم الدالة عند نقطة معينة موجبًا، بدلًا من أن يكون 1، لكل نقطة في الفضاء. ومع ذلك، بالنظر إلى مجموعة الدوال هذه${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$يمكن الحصول على تجزئة للوحدة بالمعنى الدقيق للكلمة عن طريق القسمة على المجموع؛ فتصبح التجزئة${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$أين${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$وهو تعريف جيد لأن عدد الحدود غير الصفرية عند كل نقطة محدود. علاوة على ذلك، يتخلى بعض المؤلفين عن شرط أن تكون الدعامات محدودة محليًا، ويكتفون باشتراط أن${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$للجميع${\displaystyle x}$[ ^{4 ]​}

في مجال جبر المؤثرات ، يتكون تجزئة الوحدة من إسقاطات ^{[ 5 ]}${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$في حالة${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$-الجبر ، يمكن إثبات أن المدخلات متعامدة بشكل زوجي : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$ لاحظ أنه ليس صحيحًا في الجبر النجمي العام أن تكون عناصر تجزئة الوحدة متعامدة مثنى مثنى. ^{[ 7 ]}

لو${\displaystyle a}$هو عنصر طبيعي من عنصر أحادي${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$-الجبر${\displaystyle A}$وله طيف محدود${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$ثم الإسقاطات في التحليل الطيفي : $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$ تشكل تجزئة للوحدة. ^{[ 8 ]}

في مجال المجموعات الكمومية المدمجة ، صفوف وأعمدة التمثيل الأساسي${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$من مجموعة تبديل كمومية${\displaystyle (C,u)}$تشكل تقسيمات الوحدة. ^{[ 9 ]}

يمكن استخدام تجزئة الوحدة لتعريف التكامل (بالنسبة لشكل حجمي ) لدالة معرفة على متعدد الشعب: أولاً، يتم تعريف تكامل دالة يكون دعمها موجودًا في رقعة إحداثيات واحدة من متعدد الشعب؛ ثم يتم استخدام تجزئة الوحدة لتعريف تكامل دالة عشوائية؛ وأخيرًا، يتم إظهار أن التعريف مستقل عن تجزئة الوحدة المختارة.

يمكن استخدام تجزئة الوحدة لإظهار وجود مقياس ريماني على مشعب عشوائي.

تستخدم طريقة الانحدار الأسرع تجزئة الوحدة لبناء التقاربات للتكاملات.

مرشح Linkwitz-Riley هو مثال على التطبيق العملي لتقسيم الوحدة لفصل إشارة الإدخال إلى إشارتي إخراج تحتويان فقط على مكونات عالية التردد أو منخفضة التردد.

تعد كثيرات حدود برنشتاين ذات الدرجة الثابتة m عائلة من m + 1 من كثيرات الحدود المستقلة خطيًا ذات المتغير الواحد والتي تمثل تجزئة للوحدة للفترة 1${\displaystyle [0,1]}$.

تؤكد نظرية هيلبرت الضعيفة للعدم أن إذا${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$كثيرات الحدود التي ليس لها نقاط تلاشي مشتركة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ثم هناك كثيرات الحدود${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$مع${\displaystyle a_{1}f_{1}+\cdots +a_{r}f_{r}=1}$. إنه،${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}f_{i}}$تشكل تجزئة متعددة الحدود للوحدة تابعة للغطاء المفتوح زاريسكي${\displaystyle U_{i}=\{x\in \mathbb {C} ^{n}\mid f_{i}(x)\neq 0\}}$.

تُستخدم تجزئة الوحدة لإنشاء تقريبات سلسة عالمية لدوال سوبوليف في المجالات المحدودة. ^{[ 10 ]}

• السلاسة §  تقسيمات الوحدة السلسة
• مبدأ اللصق
• حزمة صغيرة

• تو، لورينغ دبليو (2011)، مقدمة في المتشعبات ، سلسلة يونيفرسيتكست (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6 ، ISBN 978-1-4419-7399-3انظر الفصل 13

• معلومات عامة حول تجزئة الوحدة في [Mathworld]