Spline (الرياضيات)

في الرياضيات ، الدالة التكعيبية هي دالة معرفة على أجزاء بواسطة كثيرات الحدود . في مسائل الاستيفاء ، يُفضل غالبًا استخدام الاستيفاء بالدوال التكعيبية على الاستيفاء بكثيرات الحدود لأنه يُعطي نتائج مماثلة، حتى عند استخدام كثيرات حدود منخفضة الدرجة ، مع تجنب ظاهرة رونج في الدرجات الأعلى.

في فرعي علوم الحاسوب ، وهما التصميم بمساعدة الحاسوب ورسومات الحاسوب ، يشير مصطلح "المنحنى التكعيبي " في أغلب الأحيان إلى منحنى متعدد الحدود مجزأ ( بارامتري ) . وتُعدّ المنحنيات التكعيبية من المنحنيات الشائعة في هذين الفرعين نظرًا لبساطة بنائها، وسهولة ودقة تقييمها، وقدرتها على تقريب الأشكال المعقدة من خلال تركيب المنحنيات وتصميمها التفاعلي.

مصطلح "spline" مشتق من أجهزة spline المرنة التي يستخدمها بناة السفن والرسامين لرسم أشكال ناعمة.

يُستخدم مصطلح "الخطوط التكعيبية" للإشارة إلى فئة واسعة من الدوال المستخدمة في التطبيقات التي تتطلب استيفاء البيانات و/أو تنعيمها. قد تكون البيانات أحادية البعد أو متعددة الأبعاد. تُحدد دوال الخطوط التكعيبية للاستيفاء عادةً على أنها تُقلل من مقاييس الخشونة المناسبة (مثل تكامل مربع الانحناء) مع مراعاة قيود الاستيفاء. يمكن اعتبار خطوط التنعيم التكعيبية تعميمًا لخطوط الاستيفاء التكعيبية، حيث تُحدد الدوال لتقليل توليفة مرجحة من متوسط ​​مربع خطأ التقريب على البيانات المرصودة ومقياس الخشونة. بالنسبة لعدد من التعريفات ذات الدلالة لمقياس الخشونة، وُجد أن دوال الخطوط التكعيبية محدودة الأبعاد بطبيعتها، وهو السبب الرئيسي لفائدتها في الحسابات والتمثيل. في بقية هذا القسم، سنركز بالكامل على الخطوط التكعيبية أحادية البعد ومتعددة الحدود، وسنستخدم مصطلح "الخطوط التكعيبية" بهذا المعنى المحدد.

بحسب جيرالد فارين، تم استكشاف دوال B-splines في وقت مبكر من القرن التاسع عشر على يد نيكولاي لوباتشيفسكي في جامعة كازان في روسيا. ^{[ 1 ]}

قبل استخدام الحواسيب، كانت العمليات الحسابية تُجرى يدويًا. ورغم استخدام الدوال المُعرَّفة على أجزاء، مثل دالة الإشارة ودالة الخطوة ، إلا أن كثيرات الحدود كانت تُفضَّل عمومًا لسهولة التعامل معها. ومع ظهور الحواسيب، اكتسبت الدوال التكعيبية أهميةً بالغة. فقد استُخدمت في البداية كبديل لكثيرات الحدود في الاستيفاء، ثم كأداة لإنشاء أشكال سلسة ومرنة في رسومات الحاسوب.

من المتعارف عليه أن أول إشارة رياضية إلى الدوال التكعيبية (splines) تعود إلى ورقة بحثية نشرها شونبيرغ عام 1946 ، والتي يُرجح أنها أول استخدام لمصطلح "الدالة التكعيبية" في سياق التقريب السلس متعدد الحدود. مع ذلك، تعود جذور هذه الأفكار إلى صناعتي الطائرات وبناء السفن. في مقدمة كتاب (بارتلز وآخرون، 1987)، يصف روبن فورست تقنية "الرسم التخطيطي" ( lofting ) ، وهي تقنية استُخدمت في صناعة الطائرات البريطانية خلال الحرب العالمية الثانية لإنشاء نماذج أولية للطائرات عن طريق تمرير شرائح خشبية رفيعة (تُسمى " الدوال التكعيبية ") عبر نقاط محددة على أرضية ورشة تصميم كبيرة، وهي تقنية مُستعارة من تصميم هياكل السفن. لسنوات طويلة، اعتمد تصميم السفن على النماذج المصغرة. ثم يُرسم التصميم الناجح على ورق رسم بياني ، وتُعاد رسم النقاط الرئيسية للرسم على ورق رسم بياني أكبر حجماً. وقد وفرت الشرائح الخشبية الرفيعة استيفاءً للنقاط الرئيسية في منحنيات سلسة. تُثبّت الشرائح في نقاط محددة (أطلق عليها فورست اسم "البط"؛ بينما استخدم شونبيرغ مصطلحي "الكلاب" أو "الفئران")، وتتخذ بين هذه النقاط أشكالًا ذات طاقة إجهاد دنيا. ووفقًا لفورست، كان أحد الدوافع المحتملة لوضع نموذج رياضي لهذه العملية هو احتمال فقدان مكونات التصميم الأساسية للطائرة بأكملها في حال إصابة هيكل الطائرة بقنبلة معادية. وقد أدى ذلك إلى ظهور "التصميم المخروطي"، الذي يستخدم القطوع المخروطية لنمذجة موضع المنحنى بين "البط". استُبدل التصميم المخروطي بما يُعرف اليوم باسم "الشرائح المنحنية" في أوائل الستينيات، استنادًا إلى أعمال جيه سي فيرغسون في شركة بوينغ، ولاحقًا (بشكل ما) إلى أعمال مالكولم أ. سابين في شركة الطائرات البريطانية .

كلمة "spline" كانت في الأصل كلمة من لهجة شرق أنجليا .

يبدو أن استخدام المنحنيات التكعيبية في تصميم هياكل السيارات له بدايات مستقلة متعددة. يُنسب الفضل في ذلك إلى دي كاستيلجو في سيتروين ، وبيير بيزييه في رينو ، وبيركوف وجارابيديان ودي بور في جنرال موتورز (انظر بيركوف ودي بور، 1965)، وذلك لأعمالهم التي أنجزوها في أوائل الستينيات أو أواخر الخمسينيات. نُشرت إحدى أوراق دي كاستيلجو البحثية على الأقل، ولكن ليس على نطاق واسع، في عام 1959. أما عمل دي بور في جنرال موتورز فقد أسفر عن نشر عدد من الأوراق البحثية في أوائل الستينيات، بما في ذلك بعض الأعمال الأساسية حول منحنيات بي-سبلاين .

كما جرى العمل في شركة برات آند ويتني للطائرات، حيث عمل اثنان من مؤلفي كتاب (أهلبرغ وآخرون، 1967) - وهو أول كتاب يتناول موضوع الدوال المنحنية بالتفصيل - وفي حوض ديفيد تايلور النموذجي ، الذي صممه فيودور ثيلهايمر. وقد وردت تفاصيل العمل في شركة جنرال موتورز بشكل وافٍ في كتابي (بيركوف، 1990) و(يونغ، 1997). ويلخص ديفيس (1997) بعضًا من هذه المعلومات.

نبدأ بحصر مناقشتنا على كثيرات الحدود في متغير واحد . في هذه الحالة، الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود مجزأة . هذه الدالة، ولنسمها S ، تأخذ قيمًا من الفترة [ a , b ] وتحولها إلى${\displaystyle \mathbb {R} ,}$مجموعة الأعداد الحقيقية ، $${\displaystyle S:[a,b]\to \mathbb {R} .}$$ نريد أن تكون S معرفة على أجزاء. لتحقيق ذلك، لنفترض أن الفترة [ a , b ] مغطاة بـ k فترات فرعية مرتبة ومنفصلة .

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[t_{i},t_{i+1}],\quad i=0,\ldots ,k-1\\[4pt]&[a,b]=[t_{0},t_{1})\cup [t_{1},t_{2})\cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1})\cup [t_{k-1},t_{k})\cup [t_{k}]\\[4pt]&a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\end{aligned}}}$$

على كل من هذه "الأجزاء" k من [ a , b ] ، نريد تعريف متعدد الحدود، ونسميه P _i . $${\displaystyle P_{i}:[t_{i},t_{i+1}]\to \mathbb {R} .}$$ في الفترة الفرعية رقم i من [ a , b ] ، يتم تعريف S بواسطة P _i ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t),&&t_{0}\leq t<t_{1},\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t),&&t_{1}\leq t<t_{2},\\&\vdots \\S(t)&=P_{k-1}(t),&&t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.\end{aligned}}}$$

تُسمى النقاط المعطاة k + 1، tᵢ _، بالعُقد . ويُسمى المتجه t = ( t₀ _, …, tₖ ) متجه العُقد للدالة التكعيبية. إذا كانت العُقد موزعة بمسافات متساوية في الفترة [ a , b ]، _نقول إن الدالة التكعيبية منتظمة ، وإلا نقول إنها غير منتظمة .

إذا كانت كل قطعة من القطع متعددة الحدود P _i لها درجة على الأكثر n ، فإن الدالة spline يقال إنها من الدرجة ≤ n (أو من الرتبة n + 1 ).

لو${\displaystyle S\in C^{r_{i}}}$في جوار t _i ، يقال إن المنحنى التكعيبي يتمتع بالنعومة (على الأقل).${\displaystyle C^{r_{i}}}$عند t _i . أي، عند t _i، تشترك قطعتي كثير الحدود P _{i –1} و P _i في قيم مشتقة مشتركة من المشتقة من الرتبة 0 (قيمة الدالة) حتى المشتقة من الرتبة r _i (بمعنى آخر، تتصل قطعتي كثير الحدود المتجاورتين بفقدان في السلاسة لا يتجاوز n – r _i ).

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i-1}^{(0)}(t_{i})&=P_{i}^{(0)}(t_{i}),\\[2pt]P_{i-1}^{(1)}(t_{i})&=P_{i}^{(1)}(t_{i}),\\\vdots &\\P_{i-1}^{(r_{i})}(t_{i})&=P_{i}^{(r_{i})}(t_{i}).\end{aligned}}}$$

متجه r = ( r1 _, …, rk _{- 1} ) بحيث يكون للدالة التكعيبية نعومة${\displaystyle C^{r_{i}}}$عند t _i لـ i = 1، …، k – 1 يسمى متجه النعومة للدالة التكعيبية.

بفرض وجود متجه عقدة t ، ودرجة n ، ومتجه نعومة r لـ t ، يمكننا اعتبار مجموعة جميع الدوال التجميعية من الدرجة ≤ n التي لها متجه عقدة t ومتجه نعومة r . وبإضافة عملية جمع دالتين (الجمع النقطي) وأخذ مضاعفات حقيقية للدوال، تصبح هذه المجموعة فضاءً متجهيًا حقيقيًا. يُرمز إلى فضاء الدوال التجميعية هذا عادةً بـ${\displaystyle S_{n}^{\mathbf {r} }(\mathbf {t} ).}$

_{في الدراسة الرياضية للدوال التجميعية متعددة الحدود ،} فإن السؤال عما يحدث عندما تقترب عقدتان، ولتكن tᵢ و tᵢ _{+ 1 ، من} بعضهما البعض وتتطابقان ، له إجابة سهلة. يختفي الجزء متعدد الحدود Pᵢ ( t ) _، ويتحد الجزآن _Pᵢ⁻¹ ( t ) و Pᵢ _{+ ¹} ( t ) مع مجموع خسائر النعومة لـ tᵢ و tᵢ _{+ ¹} . أي _،$${\displaystyle S(t)\in C^{n-j_{i}-j_{i+1}}[t_{i}=t_{i+1}],}$$حيث jᵢ = n – rᵢ _. يؤدي هذا إلى فهم أعمّ لمتجه العقدة. يمكن اعتبار فقدان الاستمرارية عند أي نقطة نتيجةً لوجود عدة عقد عند تلك النقطة، ويمكن وصف نوع الانحناء بشكل كامل من خلال درجته n ومتجه عقدته الممتد _.

$${\displaystyle (t_{0},t_{1},\cdots ,t_{1},t_{2},\cdots ,t_{2},t_{3},\cdots ,t_{k-2},t_{k-1},\cdots ,t_{k-1},t_{k})}$$

حيث يتم تكرار t _i j _i مرات لـ i = 1، ...، k – 1 .

منحنى بارامتري على الفترة [ أ ، ب ]$${\displaystyle G(t)={\bigl (}X(t),Y(t){\bigr )},\quad t\in [a,b]}$$ يكون منحنى التكعيب إذا كان كل من X و Y عبارة عن دوال تكعيبية من نفس الدرجة مع نفس متجهات العقد الممتدة على تلك الفترة.

لنفترض أن الفترة [ a , b ] هي [0, 3] وأن الفترات الجزئية هي [0, 1]، [1, 2]، [2, 3] . ولنفترض أن أجزاء متعددة الحدود من الدرجة 2، وأن الأجزاء على [0, 1] و [1, 2] يجب أن تتحد في القيمة والمشتقة الأولى (عند t = 1 )، بينما تتحد الأجزاء على [1, 2] و [2, 3] في القيمة فقط (عند t = 2 ). وهذا من شأنه أن يُعرّف نوعًا من الدوال التجميعية S ( t ) التي

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=2t,&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=2-t+t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}}$$

سيكون عضواً من هذا النوع، وأيضاً

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-2-2t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=1-6t+t^{2},&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}}$$

سيكون عضوًا في هذا النوع. (ملاحظة: على الرغم من أن الجزء متعدد الحدود 2t ليس تربيعيًا، إلا أن النتيجة لا تزال تُسمى دالة تكعيبية تربيعية. وهذا يُوضح أن درجة الدالة التكعيبية هي أعلى درجة لأجزائها متعددة الحدود.) سيكون متجه العقدة الممتد لهذا النوع من الدوال التكعيبية هو (0، 1، 2، 2، 3) .

أبسط أنواع المنحنيات التكعيبية هي المنحنى ذو الدرجة صفر، ويُسمى أيضًا دالة الخطوة . أما المنحنى التكعيبي التالي في البساطة فهو المنحنى ذو الدرجة واحد، ويُسمى أيضًا المنحنى التكعيبي الخطي . المنحنى التكعيبي الخطي المغلق (أي أن العقدة الأولى والأخيرة متطابقتان) في المستوى هو ببساطة مضلع .

من أشهر أنواع الدوال التكعيبية التكعيبية الطبيعية . تتميز هذه الدالة بدرجة 3 واستمرارية C2 ، أي أن قيمها ومشتقاتها الأولى والثانية متصلة. أما ^كلمة "طبيعية" فتعني أن المشتقات الثانية لكثيرات حدود الدالة التكعيبية تساوي صفرًا عند طرفي فترة الاستيفاء.

$${\displaystyle S''(a)\,=S''(b)=0.}$$

وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة التكعيبية هو خط مستقيم خارج الفترة، ولكنه لا يزال سلسًا.

قد يُطرح السؤال عن معنى وجود أكثر من n عقدة متعددة في متجه العقدة، لأن هذا سيؤدي إلى استمراريات مثل $${\displaystyle S(t)\in C^{-m},\quad m>0}$$ عند موضع هذه التعددية العالية. اصطلاحًا، تشير أي حالة من هذا القبيل إلى انقطاع بسيط بين جزئي كثير الحدود المتجاورين. هذا يعني أنه إذا ظهرت عقدة t_{_i} أكثر من n + 1 مرة في متجه عقد ممتد، فيمكن إزالة جميع حالاتها التي تتجاوز ( n + 1) مرة دون تغيير طبيعة المنحنى، لأن جميع التعدديات n + 1 ، n + 2 ، n + 3 ، إلخ، لها نفس المعنى. يُفترض عادةً أن أي متجه عقد يُعرّف أي نوع من المنحنيات قد تم حذفه بهذه الطريقة.

يتميز نوع الدوال التكعيبية الكلاسيكية من الدرجة n المستخدمة في التحليل العددي بالاستمرارية. $${\displaystyle S(t)\in \mathrm {C} ^{n-1}[a,b],}$$ وهذا يعني أن كل جزأين متجاورين من كثير الحدود يتطابقان في قيمتهما وفي أول n − 1 مشتقة عند كل عقدة. أما الدالة الرياضية التكعيبية التي تُحاكي الدالة التكعيبية المسطحة بدقة فهي دالة تكعيبية ( n = 3 )، قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر ( C ² )، وهي دالة تكعيبية من هذا النوع الكلاسيكي مع شروط إضافية مفروضة عند النقطتين a و b .

نوع آخر من المنحنيات الملساء يُستخدم بكثرة في الرسومات، على سبيل المثال في برامج الرسم مثل Adobe Illustrator من Adobe Systems ، يحتوي على أجزاء مكعبة ولكن لا يوجد استمرارية إلا في أقصى حد $${\displaystyle S(t)\in C^{1}[a,b].}$$ يُستخدم هذا النوع من الخطوط المنحنية أيضًا في لغة PostScript وكذلك في تعريف بعض خطوط الطباعة الحاسوبية.

تستخدم العديد من أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب، المصممة للرسومات المتحركة عالية الجودة، متجهات العقد الموسعة، على سبيل المثال برنامج Autodesk Maya . كما تستخدم هذه الأنظمة غالبًا مفهومًا موسعًا للخطوط المنحنية يُعرف باسم NURBS ( الخطوط المنحنية غير المنتظمة العقلانية ).

إذا كانت البيانات المأخوذة من دالة أو كائن مادي متاحة، فإن الاستيفاء الخطي هو أسلوب لإنشاء خط تقريبي لتلك البيانات.

^يمكن إيجاد الصيغة العامة للدالة التكعيبية التداخلية من الرتبة i من النوع C2 عند النقطة x مع الشرط الطبيعي باستخدام الصيغة

$${\displaystyle S_{i}(x)={\frac {z_{i}(x-t_{i-1})^{3}}{6h_{i}}}+{\frac {z_{i-1}(t_{i}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left[{\frac {f(t_{i})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i}h_{i}}{6}}\right](x-t_{i-1})+\left[{\frac {f(t_{i-1})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i-1}h_{i}}{6}}\right](t_{i}-x)}$$

أين

• ${\displaystyle z_{i}=S_{i}''(t_{i})}$هي قيم المشتقة الثانية عند العقدة رقم i .
• ${\displaystyle h_{i}=t_{i}-t_{i-1}}$
• ${\displaystyle f(t_{i}^{})}$هي قيم الدالة عند العقدة رقم i .

بالنسبة لفترة معينة [ a , b ] ومتجه عقد ممتد معين على تلك الفترة، تشكل الدوال التكعيبية من الدرجة n فضاءً متجهيًا . باختصار، هذا يعني أن جمع أي دالتين تكعيبيتين من نوع معين ينتج دالة تكعيبية من ذلك النوع، وضرب دالة تكعيبية من نوع معين بأي ثابت ينتج دالة تكعيبية من ذلك النوع. يمكن حساب بُعد الفضاء الذي يحتوي على جميع الدوال التكعيبية من نوع معين من متجه العقد الممتد.

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=t_{0}<\underbrace {t_{1}=\cdots =t_{1}} _{j_{1}}<\cdots <\underbrace {t_{k-2}=\cdots =t_{k-2}} _{j_{k-2}}<t_{k-1}=b\\[4pt]j_{i}&\leq n+1,\qquad i=1,\ldots ,k-2.\end{aligned}}}$$ البعد يساوي مجموع الدرجة بالإضافة إلى التعددية

${\displaystyle d=n+\sum _{i=1}^{k-2}j_{i}.}$

إذا فُرضت شروط خطية إضافية على نوع من أنواع الدوال التكعيبية، فإن الدالة الناتجة ستقع في فضاء جزئي. على سبيل المثال، فضاء جميع الدوال التكعيبية الطبيعية هو فضاء جزئي من فضاء جميع الدوال التكعيبية من ^الفئة C² .

تزخر أدبيات الدوال التكعيبية بأسماء لأنواع خاصة منها. وقد ارتبطت هذه الأسماء بما يلي:

• الخيارات التي تم اتخاذها لتمثيل المنحنى، على سبيل المثال:
  • باستخدام دوال الأساس للخط المنحني بأكمله (مما أعطانا اسم B-splines )
  • باستخدام كثيرات حدود برنشتاين كما استخدمها بيير بيزييه لتمثيل كل جزء من كثير الحدود (مما أعطانا اسم منحنيات بيزييه ).
• الخيارات التي تم اتخاذها في تشكيل متجه العقدة الممتد، على سبيل المثال:
  • باستخدام عقد مفردة من أجل استمرارية C ^{n –1} وتوزيع هذه العقد بالتساوي على [ a , b ] (مما يعطينا منحنيات موحدة )
  • استخدام العقد دون أي قيود على التباعد (مما يعطينا منحنيات غير منتظمة )
• أي شروط خاصة مفروضة على المنحنى، على سبيل المثال:
  • فرض عدم وجود مشتقات ثانية عند a و b (مما يعطينا منحنيات طبيعية )
  • يتطلب ذلك أن تكون قيم البيانات المعطاة على المنحنى (مما يعطينا منحنيات الاستيفاء )

غالبًا ما يُختار اسمٌ خاص لنوعٍ من الدوال التكعيبية التي تُحقق شرطين أو أكثر من الشروط الرئيسية المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، دالة هيرميت التكعيبية هي دالة تُعبَّر عنها باستخدام كثيرات حدود هيرميت لتمثيل كل جزء من أجزاء كثير الحدود. تُستخدم هذه الدوال غالبًا مع n = 3 ، أي كدوال هيرميت التكعيبية . في هذه الدرجة، يمكن اختيارها أيضًا لتكون متصلة مماسية فقط ( C1 )، مما يعني أن جميع العقد الداخلية مزدوجة. طُوِّرت عدة طرق لملاءمة هذه الدوال التكعيبية مع نقاط البيانات المُعطاة، أي لتحويلها إلى دوال تكعيبية استيفائية، وذلك بتقدير قيم مماسية معقولة عند التقاء كل جزأين من كثيرات الحدود (مما يُعطينا دوال ^{كاردينال} التكعيبية ، ودوال كاتمول-روم التكعيبية ، ودوال كوتشانيك-بارتلز التكعيبية ، وذلك حسب الطريقة المُستخدمة).

لكل تمثيل من هذه التمثيلات، يجب إيجاد وسيلة للتقييم بحيث يمكن إنتاج قيم الدالة التكعيبية عند الطلب. بالنسبة للتمثيلات التي تعبر عن كل جزء من أجزاء متعددة الحدود P _i ( t ) بدلالة أساس ما لمتعددات الحدود من الدرجة n ، فإن هذا الأمر واضح من الناحية المفاهيمية.

• بالنسبة لقيمة معينة للمتغير t ، أوجد الفترة التي تقع فيها هذه القيمة${\displaystyle t\in [t_{i},t_{i+1}]}$
• ابحث عن أساس كثير الحدود المختار لتلك الفترة${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k-2}}$
• أوجد قيمة كل متعددة حدود أساسية عند الزمن t :${\displaystyle P_{0}(t),\ldots ,P_{k-2}(t)}$
• ابحث عن معاملات التركيبة الخطية لكثيرات الحدود الأساسية التي تعطي الدالة التكعيبية على تلك الفترة c ₀ , ..., c _{k –2}
• اجمع تلك التركيبة الخطية لقيم كثيرات الحدود الأساسية للحصول على قيمة الانحناء عند الزمن t :

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{k-2}c_{j}P_{j}(t).}$$ مع ذلك، غالبًا ما تُدمج خطوتا التقييم والجمع بطرق مبتكرة. على سبيل المثال، تُعدّ كثيرات حدود برنشتاين أساسًا لكثيرات الحدود التي يمكن تقييمها بكفاءة في تركيبات خطية باستخدام علاقات تكرارية خاصة. هذا هو جوهر خوارزمية دي كاستيلجو ، التي تُستخدم في منحنيات بيزير وشرائح بيزير .

أما بالنسبة للتمثيل الذي يُعرّف الدالة التكعيبية على أنها توليفة خطية من دوال تكعيبية أساسية، فإن الأمر يتطلب شيئًا أكثر تعقيدًا. تُعد خوارزمية دي بور طريقة فعالة لتقييم دوال التكعيبية الأساسية .

• فيرغسون، جيمس سي، استيفاء المنحنى متعدد المتغيرات، مجلة ACM، المجلد 11، العدد 2، الصفحات  221-228، أبريل 1964.
• أهلبرغ، نيلسون، ووالش، نظرية الدوال التكعيبية وتطبيقاتها، 1967.
• بيركوف، ديناميكا الموائع، حسابات المفاعلات، وتمثيل السطح، في: ستيف ناش (محرر)، تاريخ الحوسبة العلمية ، 1990.
• بارتلز، بيتي، وبارسكي، مقدمة عن المنحنيات لاستخدامها في رسومات الحاسوب والنمذجة الهندسية، 1987.
• بيركوف ودي بور، الاستيفاء والتقريب متعدد الحدود القطعي، في: إتش إل غارابيديان (محرر)، وقائع ندوة جنرال موتورز لعام 1964، الصفحات  164-190. إلسيفير، نيويورك وأمستردام، 1965.
• تشارلز ك. تشوي، Multivariate Splines ، SIAM، ISBN 978-0-898712261 (1987).
• ديفيس، بي-سبلاينز والتصميم الهندسي ، أخبار SIAM، المجلد 29، العدد 5، 1996.
• إيبيرسون، تاريخ المنحنيات ، ملخص الجمعية الأمريكية لعلم النفس، المجلد 98، العدد 26، 1998.
• مينغ جون لاي، ولاري إل شوماكر، وظائف سبلاين على التثليثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-87592-9 (2007).
• ستور وبوليرش، مقدمة في التحليل العددي. سبرينغر-فيرلاغ . ص.  93-106. ردمك 0387904204
• Schoenberg, Contributions to the problem of approximation of equidistant data by alytic functions, Quart. Appl. Math., vol. 4, pp.  45–99 and 112–141, 1946.
• يونغ، غاريت بيركوف والرياضيات التطبيقية، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 44، العدد 11، الصفحات  1446-1449، 1997.
• شابرا، كانال، الطرق العددية للمهندسين، الطبعة الخامسة.
• Schumaker, Larry L., Spline Functions: Basic Theory, John Wiley, ISBN 0-47176475-2 (1981).
• Schumaker, Larry, Spline Functions: Computational Methods, SIAM, ISBN 978-1-61197-389-1 (2015).
• Schumaker, Larry, Spline Functions: More Computational Models, SIAM, ISBN 978-1-61197-817-9 (2024).

الخدمات الإلكترونية

• مقدمة تفاعلية إلى الدوال التكعيبية (HTML5) ، ibiblio.org
• منحنيات سبلاين متناظرة ، رسوم متحركة من إعداد ثيودور غراي ، مشروع عروض وولفرام ، 2007.

شفرة الحاسوب

• pspline، czspline، ezspline - الإصدار الحالي (2025) موجود في مستودع خاص ، وهذا الإصدار من عام 2019 لا يزال متاحًا دون طلب الوصول.
• Sisl: مكتبة C مفتوحة المصدر لـ NURBS ، SINTEF
• مكتبة C++ لدمج الدوال التكعيبية - مكتبة رأسية فقط تدعم الدوال التكعيبية ودوال هيرميت التكعيبية