الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية

في مجال التحليل العددي ، يُعدّ الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية نوعًا من الاستيفاء حيث تكون الدالة المستوفاة نوعًا خاصًا من الدوال متعددة الحدود القطعية يُسمى الدالة التكعيبية . أي أنه بدلًا من تركيب دالة متعددة الحدود عالية الدرجة على جميع القيم دفعة واحدة، يقوم الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية بتركيب دوال متعددة الحدود منخفضة الدرجة على مجموعات فرعية صغيرة من القيم، على سبيل المثال، تركيب تسع دوال تكعيبية بين كل زوج من النقاط العشر، بدلًا من تركيب دالة متعددة الحدود من الدرجة التاسعة على جميعها. غالبًا ما يُفضّل الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية على الاستيفاء باستخدام الدوال متعددة الحدود لأن خطأ الاستيفاء يمكن تقليله حتى عند استخدام دوال متعددة الحدود منخفضة الدرجة للدالة التكعيبية. ^{[ 1 ]} كما يتجنب الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية مشكلة ظاهرة رونج ، حيث يمكن أن يحدث تذبذب بين النقاط عند الاستيفاء باستخدام دوال متعددة الحدود عالية الدرجة.

في الأصل، كان مصطلح "spline" يشير إلى المسطرة المرنة التي يتم ثنيها لتمر عبر عدد من النقاط أو العقد المحددة مسبقًا . وقد استُخدمت هذه المسطرة لرسم الرسومات الفنية لبناء السفن والتشييد يدويًا، كما هو موضح في الشكل.

نرغب في نمذجة أنواع مماثلة من المنحنيات باستخدام مجموعة من المعادلات الرياضية. لنفترض أن لدينا سلسلة من${\displaystyle n+1}$عقد،${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$خلال${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$سيكون هناك كثير حدود من الدرجة الثالثة${\displaystyle q_{i}(x)=y}$بين كل زوج متتالي من العقد${\displaystyle (x_{i-1},y_{i-1})}$و${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$الاتصال بكليهما، حيث${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$لذلك سيكون هناك${\displaystyle n}$كثيرات الحدود، حيث تبدأ أول كثيرة حدود عند${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$، وآخر متعددة حدود تنتهي عند${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$.

انحناء أي منحنى${\displaystyle y=y(x)}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \kappa ={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}},}$

أين${\displaystyle y'}$و${\displaystyle y''}$هما المشتقان الأول والثاني لـ${\displaystyle y(x)}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$لجعل المنحنى يأخذ شكلاً يقلل الانحناء إلى أدنى حد (مع مراعاة شرط المرور عبر جميع العقد)، سنحدد كلا${\displaystyle y'}$و${\displaystyle y''}$أن تكون متصلة في كل مكان، بما في ذلك عند نقاط الوصل. يجب أن يكون لكل متعددة حدود متتالية قيم متساوية (تساوي قيمة y لنقطة البيانات المقابلة)، ومشتقات، ومشتقات ثانية عند نقاط الوصل الخاصة بها، أي أن

${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}(x_{i})=q_{i+1}(x_{i})=y_{i}\\q'_{i}(x_{i})=q'_{i+1}(x_{i})\\q''_{i}(x_{i})=q''_{i+1}(x_{i})\end{cases}}\qquad 1\leq i\leq n-1.}$

لا يمكن تحقيق ذلك إلا باستخدام كثيرات حدود من الدرجة الثالثة (كثيرات حدود تكعيبية) أو أعلى. والنهج التقليدي هو استخدام كثيرات حدود من الدرجة الثالثة تحديدًا - أي الدوال التكعيبية المنحنية .

بالإضافة إلى الشروط الثلاثة المذكورة أعلاه، فإنّ الدالة التكعيبية الطبيعية لها الشرط التالي:${\displaystyle q''_{1}(x_{0})=q''_{n}(x_{n})=0}$.

بالإضافة إلى الشروط الرئيسية الثلاثة المذكورة أعلاه، فإنّ منحنى التكعيب المثبت له الشروط التالية:${\displaystyle q'_{1}(x_{0})=f'(x_{0})}$و${\displaystyle q'_{n}(x_{n})=f'(x_{n})}$أين${\displaystyle f'(x)}$هي مشتقة الدالة المستكمَلة.

بالإضافة إلى الشروط الرئيسية الثلاثة المذكورة أعلاه، فإنّ المنحنى غير العقدي له الشروط التالية:${\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})}$و${\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})}$[ ^{2 ]​}

نريد إيجاد كل متعددة حدود${\displaystyle q_{i}(x)}$بالنظر إلى النقاط${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$خلال${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$وللقيام بذلك، سننظر فقط في جزء واحد من المنحنى.${\displaystyle q(x)}$، والتي سيتم استكمالها من${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ل${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ستحتوي هذه القطعة على منحدرات.${\displaystyle k_{1}}$و${\displaystyle k_{2}}$عند طرفيها. أو بتعبير أدق،

${\displaystyle q(x_{1})=y_{1},}$

${\displaystyle q(x_{2})=y_{2},}$

${\displaystyle q'(x_{1})=k_{1},}$

${\displaystyle q'(x_{2})=k_{2}.}$

المعادلة الكاملة${\displaystyle q(x)}$يمكن كتابتها بالشكل المتناظر

${\displaystyle q(x)={\big (}1-t(x){\big )}\,y_{1}+t(x)\,y_{2}+t(x){\big (}1-t(x){\big )}{\Big (}{\big (}1-t(x){\big )}\,a+t(x)\,b{\Big )},}$

1

أين

${\displaystyle t(x)={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}},}$

2

${\displaystyle a=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1}),}$

3

${\displaystyle b=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1}).}$

4

لكن ما هي${\displaystyle k_{1}}$و${\displaystyle k_{2}}$لاستخلاص هذه القيم الحرجة، يجب أن نأخذ في الاعتبار ما يلي:

${\displaystyle q'={\frac {dq}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle q'={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+(1-2t){\frac {a(1-t)+bt}{x_{2}-x_{1}}}+t(1-t){\frac {ba}{x_{2}-x_{1}}},}$

5

${\displaystyle q''=2{\frac {b-2a+(ab)3t}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}$

6

بوضع t = 0 و t = 1 على التوالي في المعادلتين ( 5 ) و ( 6 )، نحصل من ( 2 ) على أن المشتقات الأولى q′ ( x ₁ ) = k ₁ و q′ ( x ₂ ) = k ₂ ، وكذلك المشتقات الثانية.

${\displaystyle q''(x_{1})=2{\frac {b-2a}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}},}$

7

${\displaystyle q''(x_{2})=2{\frac {a-2b}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}$

8

إذا كانت الآن ( xᵢ _, yᵢ ₎ ، حيث i = 0، 1، ...، n ، تمثل n + 1 نقطة، و

${\displaystyle q_{i}=(1-t)\,y_{i-1}+t\,y_{i}+t(1-t){\big (}(1-t)\,a_{i}+t\,b_{i}{\big )},}$

9

حيث i = 1، 2، ...، n ، و${\displaystyle t={\tfrac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}}$_إذا كانت n _من كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة تُجري استيفاءً لـ y _في الفترة xᵢ₋₁ _≤ xᵢ ≤ xᵢ لـ _i = 1, ..., n بحيث q′ᵢ ( xᵢ ) = q′ᵢ₊₁ ( _xᵢ ) لـ i = ₁ , ..., n − 1، فإن كثيرات الحدود n تُعرّف معًا _دالة قابلة للتفاضل في الفترة x₀ _≤ xᵢ ≤ xᵢₙ ، _و  

${\displaystyle a_{i}=k_{i-1}(x_{i}-x_{i-1})-(y_{i}-y_{i-1}),}$

10

${\displaystyle b_{i}=-k_{i}(x_{i}-x_{i-1})+(y_{i}-y_{i-1})}$

11

لـ i = 1، ...، n ، حيث

${\displaystyle k_{0}=q_{1}'(x_{0}),}$

12

${\displaystyle k_{i}=q_{i}'(x_{i})=q_{i+1}'(x_{i}),\qquad i=1,\dots ,n-1,}$

13

${\displaystyle k_{n}=q_{n}'(x_{n}).}$

14

إذا كانت المتتالية k ₀ ، k ₁ ، ... ، k _n بحيث، بالإضافة إلى ذلك، q′′ _i ( x _i ) = q′′ _{i +1} ( x _i ) صحيحة لـ i = 1 ، ... ، n  −  1 ، فإن الدالة الناتجة سيكون لها مشتقة ثانية مستمرة.

يتبين من ( 7 ) و( 8 ) و( 10 ) و( 11 ) أن هذا صحيح إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\frac {k_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}+\left({\frac {1}{x_{i}-x_{i-1}}}+{\frac {1}{x_{i+1}-x_{i}}}\right)2k_{i}+{\frac {k_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}=3\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{{(x_{i}-x_{i-1})}^{2}}}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{{(x_{i+1}-x_{i})}^{2}}}\right)}$

15

بالنسبة لـ i = 1، ...، n  −  1. العلاقات ( 15 ) هي n − 1 معادلات خطية لقيم n + 1 k ₀ ، k ₁ ، ...، k _n .

بالنسبة للمساطر المرنة التي تُمثل نموذجًا للاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية، فإنه إلى يسار "العقدة" اليسرى وإلى يمين "العقدة" اليمنى، يمكن للمسطرة أن تتحرك بحرية، وبالتالي ستتخذ شكل خط مستقيم حيث q′′ = 0. وبما أن q′′ يجب أن تكون دالة متصلة لـ x ، فإن "الدوال التكعيبية الطبيعية" بالإضافة إلى المعادلات الخطية n − 1 ( 15 ) يجب أن تمتلك

${\displaystyle q''_{1}(x_{0})=2{\frac {3(y_{1}-y_{0})-(k_{1}+2k_{0})(x_{1}-x_{0})}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}=0,}$

$$$

أي أن

${\displaystyle {\frac {2}{x_{1}-x_{0}}}k_{0}+{\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}k_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}$

16

${\displaystyle {\frac {1}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n-1}+{\frac {2}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n}=3{\frac {y_{n}-y_{n-1}}{(x_{n}-x_{n-1})^{2}}}.}$

17

في النهاية، تشكل ( 15 ) مع ( 16 ) و( 17 ) n + 1 معادلة خطية تحدد بشكل فريد المعلمات n + 1 k ₀ , k ₁ , ..., k _n .

_{توجد شروط طرفية أخرى، منها} "المنحنى المقيد"، الذي يحدد ميل المنحنى عند طرفيه، و"المنحنى غير العقدي" الشائع، الذي يشترط أن تكون المشتقة الثالثة متصلة عند النقطتين x1 و xn _{-1 .} بالنسبة للمنحنى غير العقدي، ستكون المعادلات الإضافية كما يلي:

${\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}k_{0}+\left({\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}\right)k_{1}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}k_{2}=2\left({\frac {\Delta y_{1}}{\Delta x_{1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{2}}{\Delta x_{2}^{3}}}\right),}$

${\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}k_{n-2}+\left({\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}\right)k_{n-1}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}k_{n}=2\left({\frac {\Delta y_{n-1}}{\Delta x_{n-1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{n}}{\Delta x_{n}^{3}}}\right),}$

أين${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\ \Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}}$.

في حالة النقاط الثلاث، تكون القيم لـ${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2}}$يتم إيجادها عن طريق حل نظام المعادلات الخطية ثلاثية الأقطار

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{0}\\k_{1}\\k_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{bmatrix}}}$

مع

${\displaystyle a_{11}={\frac {2}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{12}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{21}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{22}=2\left({\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}\right),}$

${\displaystyle a_{23}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle a_{32}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle a_{33}={\frac {2}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle b_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}$

${\displaystyle b_{2}=3\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle b_{3}=3{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}.}$

النقاط الثلاث

${\displaystyle (-1,0.5),\ (0,0),\ (3,3),}$

يفهم المرء ذلك

${\displaystyle k_{0}=-0.6875,\ k_{1}=-0.1250,\ k_{2}=1.5625,}$

ومن ( 10 ) و( 11 ) أن

${\displaystyle a_{1}=k_{0}(x_{1}-x_{0})-(y_{1}-y_{0})=-0.1875,}$

${\displaystyle b_{1}=-k_{1}(x_{1}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})=-0.3750,}$

${\displaystyle a_{2}=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})=-3.3750,}$

${\displaystyle b_{2}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1})=-1.6875.}$

في الشكل، دالة التجزئة المكونة من كثيرتي حدود تكعيبيتين${\displaystyle q_{1}(x)}$و${\displaystyle q_{2}(x)}$يتم عرض ما تم الحصول عليه من ( 9 ).

• منحنى أكيما
• الاستيفاء الدائري
• منحنى هيرميت المكعب
• منحنى كاتمول-روم المركزي
• الاستيفاء المنفصل للخطوط التكعيبية
• الاستيفاء التكعيبي أحادي النغمة
• B-spline غير منتظم وعقلاني
• الاستيفاء متعدد المتغيرات
• الاستيفاء متعدد الحدود
• تنعيم المنحنى
• موجة سبلاين
• شريحة رقيقة
• الانحناء متعدد التوافقيات

• شونبيرغ، إسحاق ج. (1946). "مساهمات في مسألة تقريب البيانات المتساوية البعد بواسطة الدوال التحليلية: الجزء أ - حول مسألة التنعيم أو التدرج. فئة أولى من صيغ التقريب التحليلي" . مجلة الرياضيات التطبيقية الفصلية . 4 (2): 45-99 . doi : 10.1090/qam/15914 .
• شونبيرغ، إسحاق ج. (1946). "مساهمات في مسألة تقريب البيانات المتساوية البعد بواسطة الدوال التحليلية: الجزء ب - حول مسألة الاستيفاء التماسي. فئة ثانية من صيغ التقريب التحليلي" . مجلة الرياضيات التطبيقية الفصلية . 4 (2): 112-141 . doi : 10.1090/qam/16705 .

• أداة حساب وتصور الاستيفاء التكعيبي عبر الإنترنت (مع شفرة مصدر جافا سكريبت)
• "الاستيفاء بالخطوط المنحنية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• المنحنيات التكعيبية الديناميكية باستخدام JSXGraph
• محاضرات حول نظرية وتطبيق الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية
• ورقة بحثية تشرح خطوة بخطوة كيفية إجراء عملية الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية، ولكن فقط للعقد متساوية البعد.
• للحصول على وصفات عددية بلغة C، انتقل إلى الفصل 3، القسم 3-3
• ملاحظة حول الدوال التكعيبية
• معلومات حول استيفاء الدوال التكعيبية (بما في ذلك الكود بلغة فورتران 77)
• TinySpline: مكتبة C مفتوحة المصدر للرسومات المنحنية التي تُنفذ عملية الاستيفاء المنحني التكعيبي
• SciPy Spline Interpolation: حزمة بايثون تُنفذ عملية الاستيفاء
• الاستيفاء التكعيبي: مكتبة مفتوحة المصدر بلغة C# للاستيفاء التكعيبي باستخدام الدوال التكعيبية