مصفوفة ثلاثية الأقطار

يمكن حساب محدد المصفوفة ثلاثية الأقطار A من الرتبة n من علاقة تكرارية ثلاثية الحدود _. [ ^{4 ] اكتب} f1 = | a1 | ₌ a1 ( _أي أن f1 هو محدد المصفوفة 1×1 التي تتكون فقط _من a1 ) _، ولتكن    

${\displaystyle f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}.}$

تُسمى المتتالية ( f _i ) بالمتتالية المستمرة ، وهي تحقق علاقة التكرار.

${\displaystyle f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}}$

بقيم ابتدائية f ₀  =  1 و f ₋₁  =  0. تكلفة حساب محدد المصفوفة ثلاثية الأقطار باستخدام هذه الصيغة خطية في n ، بينما التكلفة تكعيبية بالنسبة للمصفوفة العامة.

معكوس مصفوفة ثلاثية الأقطار غير منفردة T

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}}$

يُعطى بواسطة

${\displaystyle (T^{-1})_{ij}={\begin{cases}(-1)^{i+j}b_{i}\cdots b_{j-1}\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i<j\\\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i=j\\(-1)^{i+j}c_{j}\cdots c_{i-1}\theta _{j-1}\phi _{i+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i>j\\\end{cases}}}$

حيث تحقق θ _i علاقة التكرار

${\displaystyle \theta _{i}=a_{i}\theta _{i-1}-b_{i-1}c_{i-1}\theta _{i-2}\qquad i=2,3,\ldots ,n}$

مع _الشروط الابتدائية θ₀ = 1 ، θ₁ = _{a₁ ،} و ϕᵢ _تحقق    

${\displaystyle \phi _{i}=a_{i}\phi _{i+1}-b_{i}c_{i}\phi _{i+2}\qquad i=n-1,\ldots ,1}$

مع الشروط الأولية ϕ _{n +1}  =  1 و ϕ _n  = a _n . ^{[ 5 ] [ 6 ]} 

يمكن حساب الحلول المغلقة لحالات خاصة مثل المصفوفات المتناظرة التي تتساوى فيها جميع العناصر القطرية وغير القطرية ^{[ 7 ]} أو مصفوفات توبليتز ^{[ 8 ]} ، وكذلك للحالة العامة. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

بشكل عام، معكوس المصفوفة ثلاثية الأقطار هو مصفوفة شبه قابلة للفصل ، والعكس صحيح. ^{[ 11 ]} يمكن كتابة معكوس المصفوفة ثلاثية الأقطار المتناظرة كمصفوفة أحادية الزوج (تُعرف أيضًا باسم المصفوفة شبه القابلة للفصل والممثلة بالمولد ) على الصورة ^{[ 12 ] [ 13 ].}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}&-\beta _{1}\\-\beta _{1}&\alpha _{2}&-\beta _{2}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&\ddots &\ddots &-\beta _{n-1}\\&&&-\beta _{n-1}&\alpha _{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{n}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1}b_{n}&a_{2}b_{n}&\cdots &a_{n}b_{n}\end{pmatrix}}=\left(a_{\min(i,j)}b_{\max(i,j)}\right)}$

أين${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle a_{i}={\frac {\beta _{i}\cdots \beta _{n-1}}{\delta _{i}\cdots \delta _{n}\,b_{n}}}\\\displaystyle b_{i}={\frac {\beta _{1}\cdots \beta _{i-1}}{d_{1}\cdots d_{i}}}\end{cases}}}$ مع${\displaystyle {\begin{cases}d_{n}=\alpha _{n},\quad d_{i-1}=\alpha _{i-1}-{\frac {\beta _{i-1}^{2}}{d_{i}}},&i=n,n-1,\cdots ,2,\\\delta _{1}=\alpha _{1},\quad \delta _{i+1}=\alpha _{i+1}-{\frac {\beta _{i}^{2}}{\delta _{i}}},&i=1,2,\cdots ,n-1.\end{cases}}}$

نظام المعادلات Ax  = b لـ  ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$يمكن حلها بواسطة شكل فعال من أشكال الحذف الغاوسي عندما تكون المصفوفة A ثلاثية الأقطار تسمى خوارزمية المصفوفة ثلاثية الأقطار ، وتتطلب O ( n ) عملية. ^{[ 14 ]}

عندما تكون المصفوفة ثلاثية الأقطار أيضًا من نوع Toeplitz ، يوجد حل بسيط مغلق الشكل لقيمها الذاتية، وهو: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle a-2{\sqrt {bc}}\cos \left({\frac {k\pi }{n+1}}\right),\qquad k=1,\ldots ,n.}$

المصفوفة الثلاثية الأقطار المتناظرة الحقيقية لها قيم ذاتية حقيقية، وتكون جميع القيم الذاتية متميزة (بسيطة) إذا كانت جميع العناصر غير القطرية غير صفرية. ^{[ 17 ]} توجد طرق عديدة للحساب العددي للقيم الذاتية لمصفوفة ثلاثية الأقطار متناظرة حقيقية بدقة محدودة اختيارية، وعادةً ما تتطلب${\displaystyle O(n^{2})}$عمليات لمصفوفة بحجم${\displaystyle n\times n}$على الرغم من وجود خوارزميات سريعة لا تتطلب سوى (بدون حساب متوازٍ)${\displaystyle O(n\log n)}$[ ^{18 ]​}

على سبيل الملاحظة الجانبية، فإن المصفوفة المتناظرة ثلاثية الأقطار غير المختزلة هي مصفوفة تحتوي على عناصر غير صفرية خارج القطر الرئيسي، حيث تكون القيم الذاتية متميزة بينما تكون المتجهات الذاتية فريدة حتى عامل قياس وتكون متعامدة فيما بينها. ^{[ 19 ]}

بالنسبة للمصفوفات ثلاثية الأقطار غير المتناظرة ، يمكن حساب تحليل القيم الذاتية باستخدام تحويل التشابه. بالنظر إلى مصفوفة ثلاثية الأقطار حقيقية غير متناظرة

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle b_{i}\neq c_{i}}$افترض أن كل حاصل ضرب للعناصر غير القطرية موجب تمامًا${\displaystyle b_{i}c_{i}>0}$وحدد مصفوفة التحويل${\displaystyle D}$بواسطة ^{[ 20 ]}

${\displaystyle D:=\operatorname {diag} (\delta _{1},\dots ,\delta _{n})\quad {\text{for}}\quad \delta _{i}:={\begin{cases}1&,\,i=1\\{\sqrt {\frac {c_{i-1}\dots c_{1}}{b_{i-1}\dots b_{1}}}}&,\,i=2,\dots ,n\,.\end{cases}}}$

تحويل التشابه${\displaystyle D^{-1}TD}$ينتج عنه مصفوفة ثلاثية الأقطار متناظرة${\displaystyle J}$بواسطة: ^{[ 21 ] [ 20 ]}

${\displaystyle J:=D^{-1}TD={\begin{pmatrix}a_{1}&\operatorname {sgn} b_{1}\,{\sqrt {b_{1}c_{1}}}\\\operatorname {sgn} b_{1}\,{\sqrt {b_{1}c_{1}}}&a_{2}&\operatorname {sgn} b_{2}\,{\sqrt {b_{2}c_{2}}}\\&\operatorname {sgn} b_{2}\,{\sqrt {b_{2}c_{2}}}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &\operatorname {sgn} b_{n-1}\,{\sqrt {b_{n-1}c_{n-1}}}\\&&&\operatorname {sgn} b_{n-1}\,{\sqrt {b_{n-1}c_{n-1}}}&a_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

لاحظ أن${\displaystyle T}$و${\displaystyle J}$لها نفس القيم الذاتية.