شرط حدود نيومان

على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة التفاضلية العادية،

${\displaystyle y''+y=0,}$

تأخذ شروط نيومان الحدية على الفترة [ a , b ] الشكل التالي

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

حيث α و β أرقام معطاة.

على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة التفاضلية الجزئية،

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

حيث يرمز ∇² إلى مؤثر لابلاس ، تأخذ شروط نيومان الحدية على المجال Ω ⊂ Rⁿ الشكل ^{التالي :}

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

حيث يشير n إلى العمودي (الخارجي عادةً ) على الحدود ∂Ω ، و f هي دالة قياسية معطاة .

يُعرَّف المشتق الطبيعي ، الذي يظهر على الجانب الأيسر، على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

حيث يمثل ∇ y ( x ) متجه التدرج لـ y ( x ) ، و n̂ هو المتجه العمودي للوحدة ، و ⋅ يمثل عامل الضرب الداخلي .

يتضح أن الحدود يجب أن تكون ناعمة بما يكفي بحيث يمكن أن يكون المشتق العمودي موجودًا، لأنه على سبيل المثال، عند نقاط الزاوية على الحدود، يكون المتجه العمودي غير محدد جيدًا.

تتضمن التطبيقات التالية استخدام شروط حدود نيومان:

• في الديناميكا الحرارية ، يُعتبر تدفق حراري محدد من سطح ما بمثابة شرط حدودي. على سبيل المثال، لا يوجد تدفق حراري في العازل المثالي، بينما قد يبدد عنصر كهربائي طاقةً معلومة.
• في علم المغناطيسية الساكنة ، يمكن تحديد شدة المجال المغناطيسي كشرط حدودي لإيجاد توزيع كثافة التدفق المغناطيسي في مصفوفة مغناطيسية في الفضاء، كما هو الحال في محرك مغناطيسي دائم. ولأن مسائل المغناطيسية الساكنة تتضمن حل معادلة لابلاس أو معادلة بواسون للجهد المغناطيسي القياسي ، فإن الشرط الحدودي هو شرط نيومان.
• في علم البيئة المكانية ، يمكن تفسير شرط حدود نيومان على نظام التفاعل والانتشار ، مثل معادلة فيشر ، على أنه حد عاكس، بحيث تنعكس جميع الأفراد التي تواجه ∂Ω مرة أخرى على Ω . ^{[ 2 ]}