عادي (هندسة)

في الهندسة ، يُعرف العمودي بأنه جسم (مثل خط أو شعاع أو متجه ) يكون عموديًا على جسم معين. على سبيل المثال، الخط العمودي على منحنى مستوٍ عند نقطة معينة هو الخط المستقيم اللانهائي العمودي على المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

المتجه العمودي هو متجه عمودي على جسم معين عند نقطة محددة. يُسمى المتجه العمودي الذي طوله واحد متجهًا عموديًا أحاديًا أو اتجاهًا عموديًا . متجه الانحناء هو متجه عمودي طوله يساوي انحناء الجسم. ضرب المتجه العمودي فيينتج عن -1 متجه معاكس ، والذي يمكن استخدامه للإشارة إلى الجوانب (مثل الداخل أو الخارج) أو الاتجاه (مثل اتجاه عقارب الساعة مقابل عكس اتجاه عقارب الساعة، واليمين مقابل اليسار ).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يُعرف المتجه العمودي على سطح عند النقطة P بأنه متجه عمودي على المستوى المماس للسطح عند تلك النقطة . ويُعرف حقل المتجهات للاتجاهات العمودية على سطح ما باسم خريطة غاوس . كما تُستخدم كلمة "عمودي" كصفة، مثل: خط عمودي على مستوى ، أو المركبة العمودية لقوة ، وما إلى ذلك. ويعمم مفهوم العمودية ليشمل التعامد ( الزوايا القائمة ).

تم تعميم المفهوم ليشمل المشعبات القابلة للتفاضل ذات الأبعاد العشوائية والمضمنة في فضاء إقليدي . الفضاء المتجهي العمودي أو الفضاء العمودي لمشعب عند نقطة${\displaystyle P}$هي مجموعة المتجهات المتعامدة مع الفضاء المماسي عند${\displaystyle P.}$ تكتسب المتجهات العمودية أهمية خاصة في حالة المنحنيات الملساء والأسطح الملساء .

يُستخدم المتجه العمودي غالبًا في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد (لاحظ المفرد، حيث سيتم تعريف متجه عمودي واحد فقط) لتحديد اتجاه السطح نحو مصدر الضوء للتظليل المسطح ، أو اتجاه كل زاوية من زوايا السطح ( الرؤوس ) لمحاكاة سطح منحني باستخدام تظليل فونغ .

يمكن تعريف نقطة ارتكاز المتجه العمودي عند نقطة معينة Q (على غرار نقطة ارتكاز المتجه العمودي ) عند النقطة P على السطح حيث يمر المتجه العمودي بالنقطة Q. والمسافة العمودية من النقطة Q إلى منحنى أو سطح هي المسافة الإقليدية بين Q ونقطة ارتكازها P.

الاتجاه العمودي لمنحنى فضائي هو:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

أين${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$هو نصف قطر الانحناء ( الانحناء المتبادل )؛ ${\displaystyle \mathbf {T} }$يمثل متجه المماس ، بدلالة موضع المنحنى${\displaystyle \mathbf {r} }$وطول القوس${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

بالنسبة للمضلع المحدب (مثل المثلث )، يمكن حساب العمودي على السطح كحاصل ضرب متجهي لحافتين (غير متوازيتين) من المضلع.

بالنسبة لمستوى معطى بالصيغة العامة لمعادلة المستوى${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$المتجه${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$هذا أمر طبيعي.

بالنسبة لمستوى معادلته معطاة في شكل وسيطي $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$هي نقطة على المستوى و${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$إذا كانت المتجهات غير متوازية وتشير على طول المستوى، فإن المتجه العمودي على المستوى هو متجه عمودي على كليهما.${\displaystyle \mathbf {p} }$و${\displaystyle \mathbf {q} ,}$والذي يمكن إيجاده كحاصل ضرب اتجاهي${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

إذا كان السطح (ربما غير مستوٍ)${\displaystyle S}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتم تحديدها بواسطة نظام من الإحداثيات المنحنية${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$مع${\displaystyle s}$و${\displaystyle t}$إذا كانت المتغيرات حقيقية ، فإن العمودي على S هو بحكم التعريف العمودي على المستوى المماسي، والذي يُعطى بالضرب الاتجاهي للمشتقات الجزئية.$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

إذا كان السطح${\displaystyle S}$يتم تحديدها ضمنيًا كمجموعة من النقاط${\displaystyle (x,y,z)}$مُرضٍ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ثم يصبح الوضع طبيعياً عند نقطة معينة${\displaystyle (x,y,z)}$يُعطى السطح بواسطة التدرج$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ بما أن التدرج عند أي نقطة يكون عموديًا على مجموعة المستوى لـ${\displaystyle S.}$

لسطح${\displaystyle S}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$معطاة كرسم بياني لدالة${\displaystyle z=f(x,y),}$يمكن إيجاد متجه عمودي متجه للأعلى إما من خلال المعايرة.${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$أعطِ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ أو ببساطة من شكلها الضمني${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$أعطِ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$ بما أن السطح لا يمتلك مستوى مماسًا عند نقطة شاذة ، فإنه لا يمتلك متجهًا عموديًا محددًا عند تلك النقطة: على سبيل المثال، رأس المخروط . عمومًا، من الممكن تعريف متجه عمودي في كل مكان تقريبًا لسطح متصل وفقًا لشرط ليبشيتز .

توجيه

عادةً ما يُقاس العمودي على سطح (فائق) بحيث يكون طوله وحدة واحدة ، ولكنه لا يمتلك اتجاهًا واحدًا، لأن معاكسه هو أيضًا عمودي وحدة. بالنسبة لسطح يُمثل الحد الطوبولوجي لمجموعة في ثلاثة أبعاد، يمكن التمييز بين اتجاهين للعمودي : العمودي المُتجه نحو الداخل والعمودي المُتجه نحو الخارج . أما بالنسبة للسطح المُوجه ، فيُحدد العمودي عادةً باستخدام قاعدة اليد اليمنى أو ما يُماثلها في الأبعاد الأعلى.

إذا تم إنشاء العمودي كحاصل ضرب اتجاهي لمتجهات مماسية (كما هو موضح في النص أعلاه)، فإنه متجه زائف .

لـ${\displaystyle (n-1)}$المستوى الفائق ذو الأبعاد n في${\displaystyle n}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$معطى من خلال تمثيله البارامتري $${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {v} _{n-1},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$هي نقطة على المستوى الفائق و${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$المتجهات المستقلة خطيًا والتي تشير على طول المستوى الفائق، والمتجه العمودي على المستوى الفائق هو أي متجه${\displaystyle \mathbf {n} }$في الفضاء الصفري للمصفوفة${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}},}$المعنى​${\displaystyle V\mathbf {n} =\mathbf {0} }$أي أن أي متجه متعامد مع جميع المتجهات الموجودة في المستوى هو، بحكم التعريف، متجه عمودي على السطح. أو بدلاً من ذلك، إذا عُرِّف المستوى الفائق بأنه مجموعة حلول معادلة خطية واحدة .${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$ثم المتجه${\displaystyle \mathbf {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$هذا أمر طبيعي.

يمكن توسيع تعريف العمودي على سطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد ليشمل${\displaystyle (n-1)}$الأسطح الفائقة ذات الأبعاد n في ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. يمكن تعريف السطح الفائق محليًا ضمنيًا على أنه مجموعة النقاط${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$تحقيق معادلة${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$، حيث${\displaystyle F}$هي دالة قياسية معطاة . إذا${\displaystyle F}$إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل باستمرار، فإن السطح الفائق يكون متعدد الشعب قابلاً للتفاضل في جوار النقاط التي لا يساوي فيها التدرج صفرًا. عند هذه النقاط، يُعطى متجه عمودي بواسطة التدرج: $${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

الخط العمودي هو الفضاء الجزئي أحادي البعد ذو الأساس${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

المتجه العمودي على الفضاء الممتد بواسطة المتجهات المستقلة خطيًا v₁ _, ..., vᵣ₋₁ _، والواقع ضمن الفضاء ذي البعد r الممتد بواسطة هذه المتجهات، _يُعطى بالعمود r _من المصفوفة Λ = V ( VᵀV ) ^⁻¹ ، حيث V = ( _{v₁ ,} ..., vᵣ₋₁ ) _هي تراكب أعمدة المصفوفة r . (البرهان: Λ هي V مضروبة في مصفوفة ^، لذا فإن كل عمود من Λ هو تراكب خطي لأعمدة V. علاوة على ذلك، VᵀΛ = I ، لذا فإن كل عمود من V، باستثناء الأخير، يكون عموديًا على العمود الأخير من ^Λ ) . هذه الصيغة صالحة حتى عندما يكون r أقل من بُعد الفضاء الإقليدي n . وتُبسط الصيغة إلى Λ = ( Vᵀ ^{) ⁻¹} عندما r = n .

مجموعة تفاضلية محددة بواسطة معادلات ضمنية في${\displaystyle n}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي مجموعة الأصفار المشتركة لمجموعة منتهية من الدوال القابلة للتفاضل في${\displaystyle n}$المتغيرات $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$ مصفوفة جاكوبيان لهذا النوع هي${\displaystyle k\times n}$المصفوفة التي${\displaystyle i}$الصف رقم - هو تدرج${\displaystyle f_{i}.}$بحسب نظرية الدالة الضمنية ، فإن التنوع هو متعدد الشعب في جوار نقطة يكون فيها رتبة مصفوفة جاكوبي${\displaystyle k.}$عند هذه النقطة${\displaystyle P,}$الفضاء المتجهي الطبيعي هو الفضاء المتجهي الناتج عن القيم عند${\displaystyle P}$من متجهات التدرج لـ${\displaystyle f_{i}.}$

بمعنى آخر، يُعرَّف التنوع بأنه تقاطع${\displaystyle k}$الأسطح الفائقة، والفضاء المتجهي العمودي عند نقطة ما هو الفضاء المتجهي الناتج عن المتجهات العمودية للأسطح الفائقة عند تلك النقطة.

الفضاء الطبيعي (الخطي) عند نقطة${\displaystyle P}$من بين هذه الأنواع الفضاء الفرعي الأفيني الذي يمر عبر${\displaystyle P}$ويتم توليدها بواسطة فضاء المتجهات العمودية عند${\displaystyle P.}$

يمكن توسيع هذه التعريفات حرفياً لتشمل النقاط التي لا يكون فيها التنوع متعدد الأوجه.

• تعتبر المتجهات العمودية على السطح مفيدة في تعريف التكاملات السطحية لحقول المتجهات .
• تُستخدم المتجهات العمودية للسطح بشكل شائع في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد لحسابات الإضاءة (انظر قانون جيب التمام لامبرت )، وغالبًا ما يتم تعديلها عن طريق رسم الخرائط العادية .
• يمكن استخدام طبقات العرض التي تحتوي على معلومات عن سطحها الطبيعي في التركيب الرقمي لتغيير الإضاءة الظاهرية للعناصر المعروضة.
• في مجال رؤية الحاسوب ، يتم تقدير أشكال الأجسام ثلاثية الأبعاد من خلال المتجهات العمودية على السطح باستخدام التصوير المجسم الضوئي . ^{[ 1 ]}
• يمكن الحصول على المتجه العمودي كتدرج لدالة المسافة الموقعة .

الالشعاع العمودي هو الشعاع المتجه للخارج والعموديعلىسطحالوسط البصريعند نقطة معينة. ^{[ 2 ]} فيانعكاس الضوء،زاوية السقوطوزاويةالانعكاسهما على التوالي الزاوية بين العمودي والشعاعالساقط(علىمستوى السقوط) والزاوية بين العمودي والشعاعالمنعكس.

• الفضاء الثنائي - في الرياضيات، هو فضاء متجهي للأشكال الخطية 
• متجه عمودي على سطح القطع الناقص
• الحزمة العادية - مفهوم في الرياضيات 
• متجه زائف – كمية فيزيائية تغير إشارتها مع الدوران غير الصحيح 
• المكونات المماسية والعمودية – المكونات الرياضية للمتجه 
• متجه عمودي على الرأس – متجه اتجاهي مرتبط برأس 
• متوسط ​​الانحناء – مقياس في الهندسة التفاضلية ، وهو متوسط ​​الانحناء الموجه على جميع الزوايا 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتجه العمودي" . عالم الرياضيات .
• شرح للمتجهات العمودية من موقع MSDN التابع لشركة مايكروسوفت
• شفرة زائفة واضحة لحساب متجه عمودي على السطح. مؤرشفة بتاريخ 2016-08-18 في Wayback Machine من مثلث أو مضلع.