المكونات المماسية والعمودية

بشكل أكثر رسمية، دع${\displaystyle S}$أن يكون سطحًا، و${\displaystyle x}$لتكن نقطة على السطح.${\displaystyle \mathbf {v} }$كن متجهًا عند${\displaystyle x}$ثم يمكن للمرء أن يكتب بشكل فريد${\displaystyle \mathbf {v} }$كمجموع $${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$ حيث يمثل المتجه الأول في المجموع المركبة المماسية، بينما يمثل المتجه الثاني المركبة العمودية. ويترتب على ذلك مباشرةً أن هذين المتجهين متعامدان.

لحساب المركبات المماسية والعمودية، اعتبر متجه وحدة عموديًا على السطح، أي متجه وحدة${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$عمودي على${\displaystyle S}$في${\displaystyle x}$. ثم، $${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$ وبالتالي $${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$ أين "${\displaystyle \cdot }$يرمز الرمز " إلى الضرب القياسي . وهناك صيغة أخرى للمكون المماسي وهي $${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

أين "${\displaystyle \times }$يشير الرمز " إلى الضرب الاتجاهي .

لا تعتمد هذه الصيغ على وحدة قياس متجه الوحدة العمودي المحددة${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$مستخدم (يوجد متجهان عموديان على أي سطح عند نقطة معينة، يشيران في اتجاهين متعاكسين، لذا فإن أحد المتجهات العمودية هو معكوس الآخر).

بشكل أعم، بالنظر إلى متشعب فرعي N من متشعب M ونقطة${\displaystyle p\in N}$، نحصل على متتالية تامة قصيرة تتضمن الفضاءات المماسية : $${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$$فضاء القسمة${\displaystyle T_{p}M/T_{p}N}$هو فضاء معمّم للمتجهات العمودية.

إذا كانت M متعددة شعب ريمانية ، فإن المتتالية المذكورة أعلاه تنقسم ، ويتحلل الفضاء المماسي لـ M عند p إلى مجموع مباشر للمكون المماسي لـ N والمكون العمودي على N : $${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$$ وبالتالي كل متجه مماس${\displaystyle v\in T_{p}M}$ينقسم عندما${\displaystyle v=v_{\parallel }+v_{\perp }}$، أين${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$و${\displaystyle v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$.