منحنى

في الرياضيات ، المنحنى (يُسمى أيضًا الخط المنحني في النصوص القديمة) هو كائن مشابه للخط ، ولكن ليس من الضروري أن يكون مستقيمًا .

من الناحية البديهية، يمكن تصور المنحنى باعتباره الأثر الذي تتركه نقطة متحركة . هذا هو التعريف الذي ظهر منذ أكثر من 2000 عام في كتاب عناصر إقليدس : "الخط [المنحني] ^[أ] هو [...] النوع الأول من الكمية، الذي له بعد واحد فقط، وهو الطول، بدون أي عرض أو عمق، ولا يعدو كونه تدفق أو مسار النقطة التي [...] ستترك من حركتها الخيالية بعض الآثار في الطول، معفاة من أي عرض." ^[1]

تم صياغة هذا التعريف للمنحنى في الرياضيات الحديثة على النحو التالي: المنحنى هو صورة فاصلة إلى فضاء طوبولوجي بواسطة دالة متصلة . في بعض السياقات، تسمى الدالة التي تحدد المنحنى معلمة ، والمنحنى هو منحنى معلمي . في هذه المقالة، تسمى هذه المنحنيات أحيانًا بالمنحنيات الطوبولوجية لتمييزها عن المنحنيات الأكثر تقييدًا مثل المنحنيات القابلة للاشتقاق . يشمل هذا التعريف معظم المنحنيات التي تتم دراستها في الرياضيات؛ والاستثناءات البارزة هي المنحنيات المستوية (وهي اتحادات من المنحنيات والنقط المعزولة)، والمنحنيات الجبرية (انظر أدناه). تسمى المنحنيات المستوية والمنحنيات الجبرية أحيانًا بالمنحنيات الضمنية ، لأنها تُعرف عمومًا بالمعادلات الضمنية .

ومع ذلك، فإن فئة المنحنيات الطوبولوجية واسعة جدًا، وتحتوي على بعض المنحنيات التي لا تبدو كما قد يتوقع المرء لمنحنى، أو حتى لا يمكن رسمها. هذه هي حالة المنحنيات التي تملأ الفراغ والمنحنيات الكسورية . ولضمان المزيد من الانتظام، غالبًا ما يُفترض أن الدالة التي تحدد المنحنى قابلة للاشتقاق ، ومن ثم يُقال عن المنحنى إنه منحنى قابل للاشتقاق .

المنحنى الجبري المستوي هو المجموعة الصفرية لكثيرة حدود في غير محددين . وبشكل عام، المنحنى الجبري هو المجموعة الصفرية لمجموعة منتهية من كثيرات الحدود، والتي تلبي الشرط الإضافي لكونها متنوعة جبرية من البعد الأول. إذا كانت معاملات كثيرات الحدود تنتمي إلى حقل k ، يقال إن المنحنى محدد على k . في الحالة الشائعة لمنحنى جبري حقيقي ، حيث k هو حقل الأعداد الحقيقية ، يكون المنحنى الجبري اتحادًا منتهيًا للمنحنيات الطوبولوجية. عند النظر إلى الأصفار المركبة ، يكون لدينا منحنى جبري معقد ، والذي من وجهة نظر طوبولوجية ، ليس منحنى، بل سطح ، وغالبًا ما يُطلق عليه سطح ريمان . على الرغم من أنها ليست منحنيات بالمعنى الشائع، فقد تمت دراسة المنحنيات الجبرية المحددة على حقول أخرى على نطاق واسع. على وجه الخصوص، تُستخدم المنحنيات الجبرية على حقل منتهٍ على نطاق واسع في التشفير الحديث .

بدأ الاهتمام بالمنحنيات قبل فترة طويلة من أن تصبح موضوعًا للدراسة الرياضية. ويمكن ملاحظة ذلك في العديد من الأمثلة على استخدامها الزخرفي في الفن وعلى الأشياء اليومية التي يعود تاريخها إلى عصور ما قبل التاريخ. ^[2] المنحنيات، أو على الأقل تمثيلاتها الرسومية، من السهل إنشاؤها، على سبيل المثال باستخدام عصا على الرمال على الشاطئ.

تاريخيًا، استُخدم مصطلح الخط بدلًا من المصطلح الأكثر حداثة وهو المنحنى . ومن ثم استُخدم مصطلحا الخط المستقيم والخط القائم للتمييز بين ما يُسمى اليوم بالخطوط والخطوط المنحنية. على سبيل المثال، في الكتاب الأول من كتاب العناصر لإقليدس ، يُعرَّف الخط بأنه "طول بلا عرض" (التعريف 2)، بينما يُعرَّف الخط المستقيم بأنه "خط يقع بالتساوي مع النقاط على نفسه" (التعريف 4). ربما تتضح فكرة إقليدس عن الخط من خلال العبارة "أطراف الخط هي نقاط" (التعريف 3). ^[3] صنف المعلقون اللاحقون الخطوط وفقًا لمخططات مختلفة. على سبيل المثال: ^[4]

• الخطوط المركبة (الخطوط التي تشكل زاوية)
• خطوط غير مركبة
  • محدد (الخطوط التي لا تمتد إلى ما لا نهاية، مثل الدائرة)
  • غير محدد (الخطوط الممتدة إلى ما لا نهاية، مثل الخط المستقيم والقطع المكافئ)

لقد درس علماء الهندسة اليونانيون العديد من الأنواع الأخرى من المنحنيات. وكان أحد الأسباب وراء ذلك هو اهتمامهم بحل المشكلات الهندسية التي لا يمكن حلها باستخدام البوصلة القياسية وبناء المسطرة. وتشمل هذه المنحنيات:

• المقاطع المخروطية، التي درسها أبولونيوس البيرجي بعمق
• مكعب ديوكليس ، درسه ديوكليس واستخدمه كطريقة لمضاعفة المكعب . ^[5]
• محارة نيكوميدس ، درسها نيكوميدس كطريقة لمضاعفة المكعب وتثليث الزاوية . ^[6]
• الحلزون الأرخميدي ، الذي درسه أرخميدس كطريقة لتقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء وتربيع الدائرة . ^[7]
• لقد درس بيرسيوس المقاطع الحلزونية ، وهي مقاطع من الطاقات ، كما درس أبولونيوس مقاطع المخاريط.

كان التقدم الأساسي في نظرية المنحنيات هو إدخال الهندسة التحليلية بواسطة رينيه ديكارت في القرن السابع عشر. وقد مكّن هذا من وصف المنحنى باستخدام معادلة بدلاً من بناء هندسي متقن. لم يسمح هذا فقط بتعريف ودراسة منحنيات جديدة، بل مكّن أيضًا من التمييز رسميًا بين المنحنيات الجبرية التي يمكن تعريفها باستخدام معادلات متعددة الحدود ، والمنحنيات المتعالية التي لا يمكن تعريفها. في السابق، كانت المنحنيات توصف بأنها "هندسية" أو "ميكانيكية" وفقًا لكيفية إنشائها، أو من المفترض أنه يمكن إنشاؤها. ^[2]

تم تطبيق المقاطع المخروطية في علم الفلك بواسطة كبلر . كما عمل نيوتن أيضًا على مثال مبكر في حساب المتغيرات . قدمت حلول المشكلات المتغيرة، مثل أسئلة الزمن الأقصر والزمن المتماثل ، خصائص المنحنيات بطرق جديدة (في هذه الحالة، الدوامة ). حصل الخيط على اسمه كحل لمشكلة السلسلة المعلقة، وهو نوع من الأسئلة التي أصبحت متاحة بشكل روتيني عن طريق حساب التفاضل .

في القرن الثامن عشر، ظهرت نظرية المنحنيات الجبرية المستوية بشكل عام. درس نيوتن المنحنيات المكعبة ، في الوصف العام للنقاط الحقيقية في "الأشكال البيضاوية". أظهر بيان نظرية بيزوت عددًا من الجوانب التي لم تكن في متناول الهندسة في ذلك الوقت بشكل مباشر، فيما يتعلق بالنقاط المفردة والحلول المعقدة.

منذ القرن التاسع عشر، يُنظر إلى نظرية المنحنيات باعتبارها الحالة الخاصة للبعد الأول من نظرية المتشعبات والمتغيرات الجبرية . ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة خاصة بالمنحنيات، مثل المنحنيات التي تملأ الفراغات ، ونظرية منحنى جوردان ، ومشكلة هيلبرت السادسة عشرة .

يمكن تحديد المنحنى الطوبولوجي بواسطة دالة متصلة من فاصل I للأعداد الحقيقية إلى فضاء طوبولوجي X. بالمعنى الصحيح، المنحنى هو صورة ومع ذلك ، في بعض السياقات، يُطلق على المنحنى نفسه اسم منحنى، خاصةً عندما لا تبدو الصورة مثل ما يسمى عمومًا بالمنحنى ولا تميز بشكل كافٍ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma .}$

على سبيل المثال، صورة منحنى بيانو أو بشكل عام منحنى ملء الفراغ تملأ المربع بالكامل، وبالتالي لا تقدم أي معلومات حول كيفية تعريفها. ${\displaystyle \gamma }$

المنحنى يكون مغلقًا ^[b] أو حلقة إذا و . وبالتالي فإن المنحنى المغلق هو صورة لرسم مستمر لدائرة . يمكن أيضًا تسمية المنحنى غير المغلق بالمنحنى المفتوح . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

إذا كان مجال المنحنى الطوبولوجي عبارة عن فاصل مغلق ومحدود ، فإن المنحنى يسمى مسارًا ، ويعرف أيضًا باسم القوس الطوبولوجي (أو ببساطة${\displaystyle I=[a,b]}$القوس ).

يكون المنحنى بسيطًا إذا كان صورة لفاصل أو دائرة بواسطة دالة متصلة حقنية . بعبارة أخرى، إذا تم تعريف منحنى بواسطة دالة متصلة مع فاصل كمجال، يكون المنحنى بسيطًا إذا وفقط إذا كان لأي نقطتين مختلفتين من الفاصل صورتان مختلفتان، باستثناء، ربما، إذا كانت النقاط هي نقاط نهاية الفاصل. بديهيًا، المنحنى البسيط هو منحنى "لا يتقاطع مع نفسه ولا يحتوي على نقاط مفقودة" (منحنى متصل غير متقاطع ذاتيًا). ^[8]${\displaystyle \gamma }$

المنحنى المستوي هو منحنى يكون فيه المستوى الإقليدي -هذه هي الأمثلة التي تمت مواجهتها أولاً- أو في بعض الحالات المستوى الإسقاطي .${\displaystyle X}$منحنى الفضاء هو منحنى يكون ثلاثي الأبعاد على الأقل؛ منحنى مائل${\displaystyle X}$ هو منحنى فضائي لا يقع في أي مستوى. تنطبق هذه التعريفات للمنحنيات المستوية والفضاءية والمائلة أيضًا على المنحنيات الجبرية الحقيقية ، على الرغم من أن التعريف أعلاه للمنحنى لا ينطبق (قد يكون المنحنى الجبري الحقيقي غير متصل ).

يُطلق على المنحنى المغلق البسيط المستوي أيضًا اسم منحنى جوردان . ويُعرف أيضًا بأنه حلقة مستمرة غير متقاطعة ذاتيًا في المستوى. ^[9] تنص نظرية منحنى جوردان على أن المجموعة المكملة في مستوى منحنى جوردان تتكون من مكونين متصلين (أي أن المنحنى يقسم المستوى إلى منطقتين غير متقاطعتين متصلتين ). تُعرف المنطقة المحدودة داخل منحنى جوردان باسم مجال جوردان .

يتضمن تعريف المنحنى أشكالاً يصعب تسميتها بمنحنيات في الاستخدام الشائع. على سبيل المثال، يمكن أن تغطي صورة المنحنى مربعًا في المستوى ( منحنى ملء الفراغ )، وقد يكون للمنحنى البسيط مساحة موجبة. ^{[10] يمكن أن تحتوي} المنحنيات الكسورية على خصائص غريبة بالنسبة للفطرة السليمة. على سبيل المثال، يمكن أن يكون للمنحنى الكسورية بُعد هاوسدورف أكبر من واحد (انظر ندفة الثلج لكوش ) وحتى مساحة موجبة. ومن الأمثلة على ذلك منحنى التنين ، الذي يحتوي على العديد من الخصائص غير العادية الأخرى.

بالتحدث تقريبًا، المنحنى القابل للاشتقاق هو منحنى يتم تعريفه على أنه صورة محلية لدالة قابلة للاشتقاق من الفاصل I للأعداد الحقيقية إلى متعدد الشعب القابل للاشتقاق X ، وغالبًا ما يكون${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

بتعبير أدق، المنحنى القابل للاشتقاق هو مجموعة فرعية C من X حيث أن كل نقطة من C لها جوار U بحيث يكون تفاضليًا لفاصل الأعداد الحقيقية. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} بعبارة أخرى، المنحنى القابل للاشتقاق هو متعدد شعب قابل للاشتقاق من البعد الأول. ${\displaystyle C\cap U}$

في الهندسة الإقليدية ، القوس (الرمز: ⌒ ) هو مجموعة فرعية متصلة من منحنى قابل للاشتقاق .

تُسمى أقواس الخطوط بالقطع أو الأشعة أو الخطوط ، وذلك اعتمادًا على كيفية تحديدها.

ومن الأمثلة الشائعة على المنحنيات قوس الدائرة ، والذي يسمى القوس الدائري .

في الكرة (أو الشكل الكروي )، يسمى قوس الدائرة العظمى (أو القطع الناقص العظيم ) قوسًا عظيمًا .

إذا كانت هي الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد، وإذا كانت دالة قابلة للحقن والاشتقاق بشكل مستمر، فإن طولها يُعرَّف بأنه الكمية ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {الطول} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

طول المنحنى لا يعتمد على المعلمة . ${\displaystyle \gamma }$

على وجه الخصوص، طول الرسم البياني للدالة القابلة للاشتقاق المستمر والمحددة على فاصل مغلق هو ${\displaystyle s}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle [أ،ب]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},}$

والتي يمكن اعتبارها بديهيًا بمثابة استخدام نظرية فيثاغورس على مقياس لانهائي في الصغر بشكل مستمر على طول المنحنى بالكامل. ^[11]

بشكل عام، إذا كانت مساحة مترية ذات متري ، فيمكننا تعريف طول المنحنى بواسطة ${\displaystyle X}$${\displaystyle د}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {الطول} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}}\t_{1}}<t_{n}=b\right\},}$

حيث يتم الاستيلاء على السلطة العليا على جميع أقسام . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{0}\t_{1}\ldots <t_{n}}$${\displaystyle [أ،ب]}$

المنحنى القابل للتقويم هو منحنى بطول محدود. يُطلق على المنحنى اسم المنحنى الطبيعي (أو المنحنى بسرعة الوحدة أو الذي يتم تحديد معلماته بطول القوس) إذا كان لأي منحنى مثل ، لدينا ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {الطول} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

إذا كانت دالة مستمرة وفقًا لـ Lipschitz ، فإنها قابلة للتصحيح تلقائيًا. علاوة على ذلك، في هذه الحالة، يمكن للمرء تعريف السرعة (أو المشتق المتري ) لـ at على أنها ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\in[a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {السرعة} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s)،\gamma (t))}{|st|}}}$

ومن ثم أظهر ذلك

${\displaystyle \operatorname {الطول} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {السرعة} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

في حين أن الأمثلة الأولى للمنحنيات التي تم العثور عليها هي في الغالب منحنيات مستوية (أي، بكلمات يومية، خطوط منحنية في فضاء ثنائي الأبعاد )، فهناك أمثلة واضحة مثل الحلزون الذي يوجد بشكل طبيعي في ثلاثة أبعاد. إن احتياجات الهندسة، وكذلك على سبيل المثال الميكانيكا الكلاسيكية، هي أن يكون لديها فكرة عن المنحنى في الفضاء لأي عدد من الأبعاد. في النسبية العامة ، خط العالم هو منحنى في الزمكان .

إذا كان متعدد شعب قابل للاشتقاق ، فيمكننا تعريف مفهوم المنحنى القابل للاشتقاق في . هذه الفكرة العامة كافية لتغطية العديد من تطبيقات المنحنيات في الرياضيات. من وجهة نظر محلية، يمكننا اعتبارها فضاء إقليدي. من ناحية أخرى، من المفيد أن نكون أكثر عمومية، حيث (على سبيل المثال) من الممكن تعريف متجهات الظل إلى عن طريق مفهوم المنحنى هذا. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

إذا كان متعدد الشعب سلسًا ، فإن المنحنى السلس في هو خريطة سلسة${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

هذا مفهوم أساسي. هناك أيضًا أفكار أقل وأكثر تقييدًا. إذا كان متعدد الشعب (أي متعدد الشعب الذي تكون مخططاته قابلة للاشتقاق باستمرار مرات )، فإن المنحنى في هو منحنى يُفترض فقط أنه (أي قابل للاشتقاق باستمرار مرات). إذا كان متعدد الشعب تحليلي (أي قابل للاشتقاق بلا حدود ويمكن التعبير عن المخططات البيانية كمتسلسلات قوى )، وكان خريطة تحليلية، فيقال إنه منحنى تحليلي . ${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

يقال أن المنحنى القابل للتفاضل هومنتظم إذامشتقهأبدًا. (بمعنى آخر، لا يتباطأ المنحنى المنتظم أبدًا حتى يتوقف أو يتراجع عن نفسه.)منحنيان قابلان للتفاضل ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$و

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

يقال أنهما متكافئان إذا كانت هناك خريطة ثنائية الاتجاه ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

بحيث تكون الخريطة العكسية

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

هو أيضا ، و ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

بالنسبة لجميع . تسمى الخريطة إعادة معامل لـ ؛ وهذا يجعل علاقة تكافؤ على مجموعة جميع المنحنيات القابلة للاشتقاق في . القوس هو فئة تكافؤ للمنحنيات تحت علاقة إعادة المعامل. ${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

المنحنيات الجبرية هي المنحنيات التي يتم أخذها في الاعتبار في الهندسة الجبرية . المنحنى الجبري المستوي هو مجموعة نقاط إحداثيات x و y بحيث تكون f ( x و y ) = 0 ، حيث f هي حدود متعددة في متغيرين محددين على بعض الحقول F. يقال إن المنحنى محدد على F. عادة ما تأخذ الهندسة الجبرية في الاعتبار ليس فقط النقاط ذات الإحداثيات في F ولكن جميع النقاط ذات الإحداثيات في حقل مغلق جبريًا K.

إذا كان C منحنى محدد بواسطة كثيرة حدود f مع معاملات في F ، يقال أن المنحنى محدد على F.

في حالة وجود منحنى محدد على الأعداد الحقيقية ، عادة ما نأخذ في الاعتبار النقاط ذات الإحداثيات المعقدة . في هذه الحالة، تكون النقطة ذات الإحداثيات الحقيقية نقطة حقيقية ، وتكون مجموعة جميع النقاط الحقيقية هي الجزء الحقيقي من المنحنى. وبالتالي، فإن الجزء الحقيقي فقط من المنحنى الجبري يمكن أن يكون منحنى طوبولوجيًا (هذه ليست الحال دائمًا، حيث قد يكون الجزء الحقيقي من المنحنى الجبري منفصلًا ويحتوي على نقاط معزولة). المنحنى بأكمله، أي مجموعة نقاطه المعقدة، هو، من وجهة نظر طوبولوجي، سطح. وعلى وجه الخصوص، تسمى المنحنيات الجبرية الإسقاطية المعقدة غير المفردة سطوح ريمان .

يقال إن نقاط المنحنى C ذات الإحداثيات في الحقل G هي نقاط نسبية على G ويمكن الإشارة إليها بـ C ( G ) . عندما يكون G هو حقل الأعداد النسبية ، يمكننا ببساطة التحدث عن النقاط النسبية . على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة نظرية فيرما الأخيرة على النحو التالي: بالنسبة إلى n > 2 ، فإن كل نقطة نسبية لمنحنى فيرما من الدرجة n لها إحداثيات صفرية .

يمكن أن تكون المنحنيات الجبرية أيضًا منحنيات فضاء، أو منحنيات في فضاء ذي أبعاد أعلى، مثل n . يتم تعريفها على أنها أصناف جبرية من البعد الأول. يمكن الحصول عليها كحلول مشتركة لما لا يقل عن n -1 معادلة حدودية في n متغير. إذا كانت n -1 معادلة حدودية كافية لتحديد منحنى في فضاء ذي بعد n ، يقال إن المنحنى تقاطع كامل . من خلال إزالة المتغيرات (باستخدام أي أداة من أدوات نظرية الإزالة )، يمكن إسقاط منحنى جبري على منحنى جبري مستو ، والذي قد يقدم مع ذلك تفردات جديدة مثل القمم أو النقاط المزدوجة .

يمكن أيضًا إكمال منحنى مستوٍ إلى منحنى في المستوى الإسقاطي : إذا تم تعريف المنحنى بواسطة كثيرة حدود f من الدرجة الكلية d ، فإن w ^d f ( u / w ، v / w ) تبسط إلى كثيرة حدود متجانسة g ( u ، v ، w ) من الدرجة d . قيم u ، v ، w بحيث g ( u ، v ، w ) = 0 هي الإحداثيات المتجانسة لنقاط إكمال المنحنى في المستوى الإسقاطي ونقاط المنحنى الأولي هي تلك التي لا تساوي w صفرًا. ومن الأمثلة على ذلك منحنى فيرما u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ ، والذي له شكل تآلفي x ⁿ + y ⁿ = 1. يمكن تعريف عملية مماثلة للتجانس للمنحنيات في المساحات ذات الأبعاد الأعلى.

باستثناء الخطوط ، فإن أبسط أمثلة المنحنيات الجبرية هي المنحنيات المخروطية ، وهي منحنيات غير مفردة من الدرجة الثانية والجنس صفر . المنحنيات الإهليلجية ، وهي منحنيات غير مفردة من الجنس الأول، تُدرس في نظرية الأعداد ، ولها تطبيقات مهمة في التشفير .

• AS Parkhomenko (2001) [1994]، "الخط (المنحنى)"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994]، "منحنى قابل للتصحيح"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• إقليدس ، تعليق وترجمة بقلم تي إل هيث، عناصر المجلد 1 (كامبريدج 1908) كتب جوجل
• إي إتش لوكوود كتاب المنحنيات (كامبريدج 1961)

• مؤشر المنحنيات الشهيرة، كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز، اسكتلندا
• المنحنيات الرياضية مجموعة من 874 منحنيات رياضية ثنائية الأبعاد
• معرض منحنيات الفضاء المصنوعة من الدوائر، يتضمن رسومًا متحركة من تأليف بيتر موزس
• معرض منحنيات الأسقف والمنحنيات الكروية الأخرى، يتضمن رسومًا متحركة من تصميم بيتر موزس
• موسوعة الرياضيات مقالة عن الخطوط.
• صفحة أطلس متعدد الأشكال حول متعددات الشكل 1.