نقطة شاذة لمنحنى

في الهندسة ، النقطة الشاذة على منحنى هي النقطة التي لا يُعطى فيها المنحنى بتضمين سلس لمعامل . ويعتمد التعريف الدقيق للنقطة الشاذة على نوع المنحنى المدروس.

يمكن تعريف المنحنيات الجبرية في المستوى على أنها مجموعة النقاط ( س ، ص ) التي تحقق معادلة من الشكل التالي:${\displaystyle f(x,y)=0,}$حيث f دالة متعددة الحدود​${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$إذا تم توسيع f على النحو التالي$${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ إذا كانت نقطة الأصل (0, 0) تقع على المنحنى، فإن _a₀ = 0. وإذا كان _b₁ ≠ 0 ، فإن نظرية الدالة الضمنية تضمن وجود دالة سلسة h بحيث يكون للمنحنى الشكل y = h ( x ) بالقرب من نقطة الأصل. وبالمثل، إذا كان _b₀ ≠ 0، فإن هناك دالة سلسة k بحيث يكون للمنحنى الشكل x = k ( y ) بالقرب من نقطة الأصل. في كلتا الحالتين، توجد دالة سلسة من ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى المستوى الذي يحدد المنحنى في جوار نقطة الأصل. لاحظ أنه عند نقطة الأصل $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ إذن، يكون المنحنى غير شاذ أو منتظمًا عند نقطة الأصل إذا كانت إحدى المشتقات الجزئية للدالة f على الأقل غير صفرية. أما النقاط الشاذة فهي تلك النقاط على المنحنى التي تنعدم عندها كلتا المشتقتين الجزئيتين. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

نقاط مضاعفة

إذا كانت _b₀ و b₁ كلتاهما تساويان صفرًا في التوسع أعلاه، ولكن واحدة على الأقل من c₀ أو c₁ أو c₂ لا تساوي صفرًا _، فإن _{نقطة الأصل تُسمى} نقطة مزدوجة للمنحنى. وبوضع${\displaystyle y=mx,}$يمكن كتابة f$${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ يمكن تصنيف النقاط المزدوجة وفقًا لحلول${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

كرونودس

لو${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$للمعادلة حلان حقيقيان لـ m ، أي إذا${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$عندئذٍ تُسمى نقطة الأصل عقدة . يتقاطع المنحنى في هذه الحالة مع نفسه عند نقطة الأصل، وله مماسان مختلفان يُمثلان حلّي المعادلة التفاضلية.${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$للدالة f نقطة سرجية عند نقطة الأصل في هذه الحالة.

العقدة

لو${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ليس لها حلول حقيقية لـ m ، أي إذا${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$عندئذٍ تُسمى نقطة الأصل عقدة . في المستوى الحقيقي، تكون نقطة الأصل نقطة معزولة على المنحنى؛ ولكن عند اعتبارها منحنىً مركباً، لا تكون نقطة الأصل معزولة ولها مماسان تخيليان يُقابلان الحلين المركبين لـ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$للدالة f قيمة قصوى محلية عند نقطة الأصل في هذه الحالة.

الحدبات

لو${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$يوجد حل واحد من التعددية 2 لـ m ، أي إذا${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$عندئذٍ تُسمى نقطة الأصل " نقطة حادة" . في هذه الحالة، يتغير اتجاه المنحنى عند نقطة الأصل، مما يُشكّل نقطة حادة. يمتلك المنحنى مماسًا واحدًا عند نقطة الأصل، والذي يمكن اعتباره مماسين متطابقين.

تصنيف إضافي

يُستخدم مصطلح "العقدة" للإشارة إما إلى عقدة مزدوجة أو عقدة مزدوجة، أي نقطة مزدوجة ليست نقطة انعطاف. يُعد عدد العقد وعدد نقاط الانعطاف على المنحنى من الثوابت المستخدمة في صيغ بلوكر .

إذا كان أحد حلول${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$وهو أيضاً حل لـ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$عندئذٍ، يكون للفرع المقابل من المنحنى نقطة انعطاف عند نقطة الأصل. في هذه الحالة، تُسمى نقطة الأصل عقدة انعطاف . إذا كان كلا المماسين يتمتعان بهذه الخاصية، فإن${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$هو عامل من عوامل${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$ثم يُطلق على الأصل اسم العقدة المزدوجة . ^{[ 2 ]}

نقاط متعددة

بشكل عام، إذا كانت جميع الحدود ذات الدرجة الأقل من k تساوي صفرًا، وكان حد واحد على الأقل من الدرجة k لا يساوي صفرًا في الدالة f ، فإن المنحنى يُقال إنه يحتوي على نقطة متعددة من الرتبة k أو نقطة k-ple . وسيكون للمنحنى، بشكل عام، k مماسات عند نقطة الأصل، على الرغم من أن بعض هذه المماسات قد تكون تخيلية. ^{[ 3 ]}

منحنى ذو معلمات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يُعرَّف بأنه صورة دالة${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$⁠${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$النقاط الشاذة هي تلك النقاط التي $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

يمكن تعريف العديد من المنحنيات بأي من الطريقتين، لكن التعريفين قد لا يتفقان. على سبيل المثال، يمكن تعريف نقطة التقاء المنحنيات على منحنى جبري ،${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$أو على منحنى ذي معلمات،${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$كلا التعريفين يعطيان نقطةً شاذةً عند نقطة الأصل. ومع ذلك، فإن عقدةً مثل تلك الخاصة بـ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$تُعتبر نقطة الأصل نقطة تفرد للمنحنى عند اعتباره منحنى جبريًا، ولكن إذا قمنا بتحديد معلمات له على النحو التالي:${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ثم​${\displaystyle g'(t)}$لا يختفي أبدًا، وبالتالي فإن العقدة ليست نقطة تفرد للمنحنى ذي المعلمات كما هو محدد أعلاه.

يجب توخي الحذر عند اختيار طريقة تمثيل المعادلة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الخط المستقيم y = 0 باستخدام المعادلة التالية:${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$والتي لها نقطة تفرد عند الأصل. عند تحديدها بواسطة${\displaystyle g(t)=(t,0),}$إنها غير منفردة. لذا، من الناحية الفنية، من الأصح مناقشة النقاط المنفردة لتطبيق سلس هنا بدلاً من النقطة المنفردة لمنحنى.

يمكن توسيع التعريفات المذكورة أعلاه لتشمل المنحنيات الضمنية التي تُعرَّف بأنها مجموعة الأصفار .${\displaystyle f^{-1}(0)}$بالنسبة للدالة الملساء ، وليس من الضروري الاقتصار على دراسة الأصناف الجبرية فقط. يمكن توسيع التعريفات لتشمل المنحنيات في أبعاد أعلى.

تنص نظرية هاسلر ويتني ^{[ 4 ] [ 5 ]} على

يمكن تعريف أي منحنى ذي معلمات على أنه منحنى ضمني، ويمكن دراسة تصنيف النقاط الشاذة للمنحنيات على أنه تصنيف للنقاط الشاذة لمجموعة متنوعة جبرية .

بعض الحالات الشاذة المحتملة هي:

• نقطة معزولة:${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$عقدة​
• خطان متقاطعان:${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$كرونود​
• نقطة حرجة :${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ويسمى أيضًا بالورم الحلزوني
• عقدة تاك :${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• نتوء منقاري :${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

• نقطة شاذة من نوع جبري
• نظرية التفرد
• نظرية مورس

• هيلتون، هارولد (1920). "الفصل الثاني: النقاط الشاذة". المنحنيات الجبرية المستوية . أكسفورد.