نمط القلب

يمكن إثبات ذلك باستخدام الأعداد المركبة ووصفها الشائع بالمستوى المركب . يمكن تقسيم حركة دوران الدائرة السوداء على الدائرة الزرقاء إلى دورتين. في المستوى المركب، تكون الدورة حول النقطة${\displaystyle 0}$(الأصل) بزاوية${\displaystyle \varphi }$يمكن تنفيذ ذلك عن طريق ضرب نقطة${\displaystyle z}$( عدد مركب ) بواسطة${\displaystyle e^{i\varphi }}$. لذلك

الدوران${\displaystyle \Phi _{+}}$حول النقطة${\displaystyle a}$يكون${\displaystyle :z\mapsto a+(za)e^{i\varphi }}$،

الدوران${\displaystyle \Phi _{-}}$حول النقطة${\displaystyle -a}$يكون:${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$.

نقطة${\displaystyle p(\varphi )}$يتم توليد شكل القلب عن طريق تدوير نقطة الأصل حول نقطة${\displaystyle a}$ثم الدوران حول${\displaystyle -a}$بنفس الزاوية${\displaystyle \varphi }$: $${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi}+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi}-1\right).}$$ ومن هنا نحصل على التمثيل البارامتري أعلاه: $${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$$ ( المتطابقات المثلثية)${\displaystyle e^{i\varphi}=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}$${\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}$و${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }$(تم استخدامها.)

ج1

الأوتار التي تمر عبر قمة القلب لها نفس الطول${\displaystyle 4a}$.

C2

تقع نقاط منتصف الأوتار التي تمر عبر نقطة التقاء النغمات على محيط دائرة المولد الثابتة (انظر الصورة).

المنحنى القلبي هو المنحنى العكسي للقطع المكافئ مع بؤرته في مركز الانعكاس (انظر الرسم البياني).

في المثال الموضح في الرسم البياني، يبلغ نصف قطر دوائر المولد${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$وبالتالي، فإن شكل القلب له تمثيل قطبي $${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$$ ومنحنىها العكسي $${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}$$ وهو قطع مكافئ ( القطع المكافئ في الإحداثيات القطبية ) بمعادلته${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}$في الإحداثيات الديكارتية.

ملاحظة: ليس كل منحنى معكوس للقطع المكافئ يكون منحنى قلبي الشكل. على سبيل المثال، إذا تم قلب قطع مكافئ حول دائرة مركزها يقع عند رأس القطع المكافئ، فإن النتيجة تكون منحنى سيسويد ديوكليس .

في القسم السابق، إذا قمنا بعكس مماسات القطع المكافئ، نحصل على حزمة من الدوائر تمر بمركز الانعكاس (نقطة الأصل). ويُبين تحليلٌ مُفصّل أن: منتصفات هذه الدوائر تقع على محيط دائرة المولد الثابتة. (دائرة المولد هي المنحنى العكسي لدليل القطع المكافئ).

تُتيح هذه الخاصية الطريقة البسيطة التالية لرسم شكل القلب:

1. اختر دائرة${\displaystyle c}$ونقطة${\displaystyle O}$على محيطها،
2. ارسم دوائر تحتوي على${\displaystyle O}$مع مراكز على${\displaystyle c}$، و
3. ارسم غلاف هذه الدوائر.

توجد طريقة مماثلة وبسيطة لرسم شكل القلب باستخدام قلم رصاص وخطوط . وهي تعود إلى ل. كريمونا .

1. ارسم دائرة، ثم قسّم محيطها إلى أجزاء متساوية المسافة باستخدام${\displaystyle 2N}$قم بتحديد النقاط (انظر الصورة) وقم بترقيمها بالتسلسل.
2. ارسم الأوتار:${\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }$(أي أن النقطة الثانية تتحرك بسرعة مضاعفة.)
3. غلاف هذه الأوتار هو شكل قلبي .

دليل

يستخدم التحليل التالي الصيغ المثلثية لـ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }$،${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }$،${\displaystyle 1+\cos 2\alpha }$،${\displaystyle \cos 2\alpha }$، و${\displaystyle \sin 2\alpha }$ولتبسيط الحسابات، يُقدَّم البرهان للشكل القلبي ذي التمثيل القطبي ${\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}$( § القلبيات في أوضاع مختلفة ).

معادلة ظل الزاوية القلبية مع التمثيل القطبي r = 2(1 + cos 𝜑 )

من التمثيل البارامتري $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

يحصل المرء على متجه العمودي${\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}$معادلة المماس ${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$يكون: $${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}$$

بمساعدة الصيغ المثلثية والقسمة اللاحقة على${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }$، ويمكن إعادة كتابة معادلة المماس على النحو التالي: $${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$$

معادلة وتر الدائرة التي منتصفها ( 1، 0 ) ونصف قطرها 3

معادلة الخط القاطع المار بالنقطتين${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$يحصل المرء على: $${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}$$

بمساعدة الصيغ المثلثية والقسمة اللاحقة على${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$يمكن إعادة كتابة معادلة الخط القاطع على النحو التالي: $${\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$$

خاتمة

على الرغم من الزاويتين${\displaystyle \varphi ,\theta }$لها معانٍ مختلفة (انظر الصورة) يحصل عليها المرء من${\displaystyle \varphi =\theta }$نفس الخط. وبالتالي، فإن أي خط قاطع للدائرة، كما هو مُعرَّف أعلاه، هو أيضًا مماس للشكل القلبي:

الشكل القلبي هو غلاف أوتار الدائرة.

ملاحظة: يمكن إجراء البرهان بمساعدة شروط الغلاف (انظر القسم السابق) لمجموعة من المنحنيات الضمنية: $${\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}$$

هو قلم من الخطوط القاطعة لدائرة (انظر أعلاه) و $${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}$$

بالنسبة لقيمة ثابتة للمعامل t، تمثل المعادلتان خطين مستقيمين. نقطة تقاطعهما هي $${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}$$

وهي نقطة من منحنى القلب ذي المعادلة القطبية${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

إن الاعتبارات الواردة في القسم السابق تقدم دليلاً على أن الكاوستيك لدائرة مع مصدر ضوء على محيط الدائرة هو شكل قلبي.

إذا كان هناك مصدر ضوء في نقطة ما داخل الطائرة${\displaystyle Z}$إذا كان هناك شعاع على محيط دائرة يعكس أي شعاع، فإن الأشعة المنعكسة داخل الدائرة تكون مماسات لشكل قلبي.

ملاحظة: في مثل هذه الاعتبارات، عادةً ما يتم إهمال الانعكاسات المتعددة عند الدائرة.

يجب عدم الخلط بين جيل كريمونا من القلبيات والجيل التالي:

يترك${\displaystyle k}$كن دائرة و${\displaystyle O}$نقطة على محيط هذه الدائرة. ما يلي صحيح:

مواضع الأعمدة من النقطة${\displaystyle O}$على مماسات الدائرة${\displaystyle k}$هي نقاط شكل القلب.

وبالتالي فإن شكل القلب هو منحنى خاص لدائرة.

بالنسبة للنمط القلبي ذي التمثيل البارامتري $${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}$$$${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$$ الوحدة العمودية هي $${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$$ ونصف قطر الانحناء $${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}$$ وبالتالي فإن المعادلات البارامترية للدالة التطورية هي $${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$$${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}$$ تصف هذه المعادلات شكلاً قلبياً بحجم ثلث حجمه الأصلي، مُداراً بزاوية 180 درجة ومُزاحاً على طول المحور السيني بمقدار${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$.

(تم استخدام الصيغ المثلثية:${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}$)

بالنسبة لمنحنى معطى في الإحداثيات القطبية بواسطة دالة${\displaystyle r(\varphi )}$ينطبق ما يلي على الإحداثيات الديكارتية: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

وبالنسبة للمشتقات $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}$$

بقسمة المعادلة الثانية على الأولى نحصل على ميل الخط المماس للمنحنى عند النقطة (النقطة) في الإحداثيات الديكارتية.${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

بالنسبة للقلبيات ذات المعادلات${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$و${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$وبالتالي يحصل المرء على: $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}$$و$${\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}$$

(يعتمد ميل أي منحنى على${\displaystyle \varphi }$فقط، وليس على المعايير${\displaystyle a}$أو${\displaystyle b}$!)

لذلك $${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$ وهذا يعني: أن أي منحنى من القلم الأول يتقاطع مع أي منحنى من القلم الثاني بشكل متعامد.