تطور

في الهندسة التفاضلية للمنحنيات ، يُعرف المنحنى التطوري بأنه المحل الهندسي لجميع مراكز انحنائه . بمعنى آخر، عند رسم مركز انحناء كل نقطة على المنحنى، يكون الشكل الناتج هو المنحنى التطوري لذلك المنحنى. وبالتالي، فإن المنحنى التطوري للدائرة هو نقطة واحدة في مركزها. [ ^{1 ] وبالمثل} ، فإن المنحنى التطوري هو غلاف المتجهات العمودية على المنحنى.

المنحنى التطوري لمنحنى أو سطح أو، بشكل أعم، ^فضاء جزئي ، هو الكاوستيك للخريطة العادية. ليكن M فضاءً جزئيًا أملسًا ومنتظمًا في Rⁿ . لكل نقطة p في M ولكل متجه v ، انطلاقًا من p وعموديًا على M ، نُقرن النقطة p + v . يُعرّف هذا خريطة لاغرانجية تُسمى الخريطة العادية. الكاوستيك للخريطة العادية هو المنحنى التطوري لـ M. ^{[ 2 ]}

ترتبط المنحنيات التطورية ارتباطًا وثيقًا بالمنحنيات الملتوية : المنحنى هو المنحنى التطوري لأي من منحنياته الملتوية.

ناقش أبولونيوس ( حوالي 200 قبل الميلاد) المنحنيات التطورية في الكتاب الخامس من كتابه "المخروطيات" . ومع ذلك، يُنسب الفضل أحيانًا إلى هيغنز في كونه أول من درسها (1673). صاغ هيغنز نظريته حول المنحنيات التطورية حوالي عام 1659 للمساعدة في حل مشكلة إيجاد منحنى التزامن ، مما ساعده بدوره في بناء بندول متزامن. ويعود ذلك إلى أن منحنى التزامن هو منحنى دائري ، ويتميز المنحنى الدائري بخاصية فريدة، وهي أن منحنى تطوره هو أيضًا منحنى دائري. في الواقع، سمحت نظرية المنحنيات التطورية لهيغنز بتحقيق العديد من النتائج التي تم التوصل إليها لاحقًا باستخدام حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 3 ]} 

لو${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$هو التمثيل البارامتري لمنحنى منتظم في المستوى حيث لا يساوي انحناؤه صفرًا في أي مكان و${\displaystyle \rho (t)}$نصف قطر انحنائه و${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ثم يكون متجه الوحدة العمودي مشيرًا إلى مركز الانحناء، $${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$$ يصف المنحنى التطوري للمنحنى المعطى.

ل${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$و${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$يحصل المرء $${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$و $${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

للمنحنى${\displaystyle \Gamma }$معبر عنه ضمنيًا بالشكل${\displaystyle f(x,y)=0}$يمكن تحديد منحنى التطور من خلال نظام من المعادلات التي تربط المنحنى الأصلي بخطوطه العمودية. عند كل نقطة على المنحنى${\displaystyle \Gamma }$، ويُعطى اتجاه متجه العمودي بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \left(-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\,{\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}}\right)}$$

أين${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$و${\displaystyle f_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}}$. تصف هذه المكونات اتجاه المتجه العمودي عند كل نقطة على المنحنى.

يمكن الحصول على منحنى التطور عن طريق حل النظام التالي (انظر ^{[ 4 ]} لمزيد من التفاصيل):

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f(x,y),\\u&=-{\frac {f_{y}}{f_{x}}},\\v&={\frac {xf_{y}-yf_{x}}{f_{x}}},\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$تمثل هذه القيم مكونات المتجه العمودي. يتم حذف المتغيرات.${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ينتج عن هذا النظام معادلة جبرية واحدة بدلالة${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$، وهو ما يحدد منحنى التطور.

من أجل استخلاص خصائص منحنى منتظم، من المفيد استخدام طول القوس${\displaystyle s}$بسبب استخدام المنحنى المعطى كمعامل له، وذلك بسبب${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$و${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$(انظر صيغ فرينيه-سيريه ). ومن ثمّ فإن متجه المماس للمنحنى التطوري${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$يكون: $${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$ من هذه المعادلة نحصل على الخصائص التالية للمنحنى التطوري:

• في نقاط مع${\displaystyle \rho '=0}$المنحنى التطوري ليس منتظماً . وهذا يعني: عند النقاط ذات الانحناء الأقصى أو الأدنى ( رؤوس المنحنى المعطى) يكون للمنحنى التطوري نقاط حادة . (انظر إلى مخططات المنحنيات التطورية للقطع المكافئ، والقطع الناقص، والمنحنى الدائري، والمنحنى الكلوي).
• بالنسبة لأي قوس من المنحنى التطوري لا يحتوي على نقطة انحناء، فإن طول القوس يساوي الفرق بين نصفي قطري الانحناء عند طرفيه. هذه الحقيقة تُسهّل إثبات نظرية تايت-كنيسر حول تداخل الدوائر المتماسّة . ^{[ 5 ]}
• تكون المتجهات العمودية للمنحنى المعطى عند نقاط الانحناء غير الصفري مماسات للمنحنى التطوري، وتكون المتجهات العمودية للمنحنى عند نقاط الانحناء الصفري خطوط تقارب للمنحنى التطوري. ومن ثم: فإن المنحنى التطوري هو غلاف المتجهات العمودية للمنحنى المعطى.
• في أجزاء من المنحنى مع${\displaystyle \rho '>0}$أو${\displaystyle \rho '<0}$المنحنى هو منحنى ملتف لمنحنى تطوره. (في الرسم التوضيحي: القطع المكافئ الأزرق هو منحنى ملتف للقطع المكافئ شبه المكعب الأحمر، والذي هو في الواقع منحنى تطور القطع المكافئ الأزرق.)

إثبات الخاصية الأخيرة: ليكن${\displaystyle \rho '>0}$في قسم الاعتبار. يمكن وصف منحنى التطور (المنحنى الالتفافي) للمنحنى التطوري (المنحنى التطوري) على النحو التالي:$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ أين${\displaystyle l_{0}}$هو امتداد ثابت للسلسلة (انظر منحنى الالتفاف لمنحنى مُعامل ). مع${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$و${\displaystyle \rho '>0}$يحصل المرء $${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$ وهذا يعني: بالنسبة لامتداد السلسلة${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$يتم إعادة إنتاج المنحنى المعطى.

• المنحنيات المتوازية لها نفس الشكل التطوري.

البرهان: منحنى متوازٍ بمسافة${\displaystyle d}$للمنحنى المعطى تمثيل بارامتري${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ونصف قطر الانحناء${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$(انظر المنحنى الموازي ). ومن ثم فإن منحنى تطور المنحنى الموازي هو$${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$$

التطور

• أحد أشكال القطع المكافئ هو قطع مكافئ نصف مكعب (انظر أعلاه)،
• شكل القطع الناقص هو شكل نجمي غير متناظر (انظر أعلاه)،
• نقطة مثالية على الخط ،
• حجم الكلية هو نصف حجم الكلية (انظر الرسم التوضيحي)،
• حجم الكويكب هو حجم الكويكب (ضعف الحجم)،
• حجم القلبية هو حجم القلبية (ثلث حجم القلبية)،
• مركز الدائرة هو ،
• عضلة الدالية هي عضلة دالية (أكبر بثلاث مرات)،
• المنحنى الدائري هو منحنى دائري متطابق،
• اللولب اللوغاريتمي هو نفسه اللولب اللوغاريتمي،
• من خصائص المنحنى الجراري منحنى سلسلي.

المنحنى الذي يحمل تعريفًا مشابهًا هو شعاع منحنى معين. لكل نقطة على المنحنى، نأخذ المتجه من تلك النقطة إلى مركز الانحناء وننقله بحيث يبدأ من نقطة الأصل. عندئذٍ، يُسمى المحل الهندسي للنقاط الواقعة عند نهايات هذه المتجهات شعاع المنحنى. تُستنتج معادلة الشعاع بحذف حدي x و y من معادلة المنحنى التطوري. ينتج عن ذلك $${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

• وايسستين، إريك دبليو. “متطور” . عالم الرياضيات .
• سوكولوف، د.د. (2001) [1994]، "التطور" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• ييتس، آر سي: دليل عن المنحنيات وخصائصها ، جي دبليو إدواردز (1952)، "المنحنيات التطورية". ص  86 وما بعدها
• التطور على منحنيات ثنائية الأبعاد.
• بيني، راجني، رينر، كورديان، شابيرو، بوريس. "عودة الطائرة تتطور" ، حوليات معهد فورييه*، 75(4)، 2025.