نظرية التفرد

في الرياضيات ، تدرس نظرية التفرد الفضاءات التي تكاد تكون متعددة الشعب ، ولكنها ليست كذلك تمامًا. يمكن اعتبار الخيط مثالًا على متعدد شعب أحادي البعد، إذا أهملنا سمكه. يمكن إحداث تفرد بتكوير الخيط، ثم إسقاطه على الأرض، ثم فرده. في بعض المواضع، يتقاطع الخيط المسطح مع نفسه على شكل حرف "X" تقريبًا. تُعدّ النقاط على الأرض التي يحدث فيها هذا التقاطع نوعًا من التفرد ، وهي النقطة المزدوجة: حيث يقابل جزء واحد من الأرض أكثر من جزء واحد من الخيط. ربما يلامس الخيط نفسه أيضًا دون أن يتقاطع، مثل حرف " U " مسطر. هذا نوع آخر من التفرد. على عكس النقطة المزدوجة، فهو غير مستقر ، بمعنى أن دفعة صغيرة سترفع الجزء السفلي من حرف "U" بعيدًا عن الخط السفلي.

يُعرّف فلاديمير أرنولد الهدف الرئيسي لنظرية التفرد بأنه وصف كيفية اعتماد الكائنات على المعاملات، لا سيما في الحالات التي تشهد فيها الخصائص تغيرًا مفاجئًا نتيجة لتغير طفيف في هذه المعاملات. تُسمى هذه الحالات "بيريسترويكا" ( بالروسية : перестройка )، أو "التشعبات" ، أو "الكوارث". ويُعدّ تصنيف أنواع التغيرات وتوصيف مجموعات المعاملات التي تُؤدي إلى هذه التغيرات من أهم الأهداف الرياضية. يمكن أن تحدث حالات التفرد في نطاق واسع من الكائنات الرياضية، بدءًا من المصفوفات التي تعتمد على المعاملات وصولًا إلى الجبهات الموجية. ^{[ 1 ]}

في نظرية التفرد، تُدرس الظاهرة العامة لنقاط ومجموعات التفرد، كجزء من مفهوم أن الفضاءات متعددة الشعب (الفضاءات الخالية من التفرد) قد تكتسب نقاطًا خاصة متفردة عبر عدة مسارات. يُعد الإسقاط أحد هذه المسارات، وهو واضح جدًا بصريًا عند إسقاط الأجسام ثلاثية الأبعاد على بعدين (كما في إحدى أعيننا مثلاً ) ؛ فعند النظر إلى التماثيل الكلاسيكية، تُعد طيات الأقمشة من أبرز سماتها. تشمل التفردات من هذا النوع الانعكاسات الضوئية ، المألوفة جدًا كأنماط الضوء في قاع حوض السباحة.

من الطرق الأخرى التي تحدث بها التفردات انحلال بنية المتشعب. ويمكن أن يكون وجود التناظر سببًا وجيهًا للنظر في المتشعبات المدارية ، وهي متشعبات اكتسبت "زوايا" في عملية طي، تشبه تجعيد منديل المائدة.

في نفس الفترة الزمنية تقريبًا التي ظهر فيها عمل هيروناكا، حظيت نظرية الكوارث لرينيه ثوم باهتمام كبير. تُعد هذه النظرية فرعًا آخر من نظرية التفرد، وهي مبنية على أعمال سابقة لهاسلر ويتني حول النقاط الحرجة . باختصار، النقطة الحرجة لدالة سلسة هي النقطة التي تُصبح عندها مجموعة المستويات نقطةً متفردةً بالمعنى الهندسي. تتناول هذه النظرية الدوال القابلة للتفاضل بشكل عام، وليس فقط كثيرات الحدود. وللتعويض عن ذلك، لا تُؤخذ في الاعتبار إلا الظواهر المستقرة . يمكن القول إنه في الطبيعة، أي شيء يتلف بتغيرات طفيفة لن يُلاحظ؛ فالظاهر هو المستقر. كان ويتني قد بيّن أنه في عدد قليل من المتغيرات، يكون الهيكل المستقر للنقاط الحرجة محدودًا للغاية، على المستوى المحلي. استند ثوم إلى هذا، وإلى أعماله السابقة، ليُنشئ نظرية الكوارث التي يُفترض أنها تُفسر التغير غير المتصل في الطبيعة.

لا ترتبط النظرية المذكورة أعلاه ارتباطًا مباشرًا بمفهوم التفرد الرياضي كقيمة لا تُعرَّف عندها الدالة. وللاطلاع على ذلك، انظر على سبيل المثال التفرد المعزول ، والتفرد الجوهري ، والتفرد القابل للإزالة . مع ذلك، ترتبط نظرية المونودرومي للمعادلات التفاضلية ، في المجال المركب، حول التفردات، بالنظرية الهندسية. وبشكل عام، تدرس المونودرومي كيفية انحلال الخريطة الغطائية ، بينما تدرس نظرية التفرد كيفية انحلال المتشعب ؛ وهذان المجالان مترابطان.