الهندسة الثنائية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة
الدائرة مكافئة ثنائياً للخط . إحدى الخرائط الثنائية بينهما هي الإسقاط المجسم ، كما هو موضح هنا.

في الرياضيات ، تُعدّ الهندسة الثنائية النسبية فرعًا من فروع الهندسة الجبرية ، يهدف إلى تحديد متى يكون نوعان جبريان متماثلين خارج المجموعات الجزئية ذات الأبعاد المنخفضة. ويتمثل هذا في دراسة التطبيقات المعطاة بدوال كسرية بدلًا من كثيرات الحدود ؛ وقد لا يكون التطبيق مُعرّفًا في المواضع التي تحتوي فيها الدوال الكسرية على أقطاب.

الخرائط الثنائية

الخرائط العقلانية

خريطة منطقية من نوع واحد (يُفهم أنها غير قابلة للاختزال )X{\displaystyle X}إلى نوع آخرY{\displaystyle Y}يُعرَّف الرمز X ⇢ Y ، المكتوب على شكل سهم متقطع، بأنه تشاكل من مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغةيو⊂X{\displaystyle U\subset X}لY{\displaystyle Y}بحسب تعريف طوبولوجيا زاريسكي المستخدمة في الهندسة الجبرية، فإن المجموعة المفتوحة غير الفارغة هي مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة .يو{\displaystyle U}كثيفة دائماً فيX{\displaystyle X}في الواقع، هي مكمل مجموعة فرعية ذات أبعاد أقل. وبشكل ملموس، يمكن كتابة دالة كسرية في إحداثيات باستخدام الدوال الكسرية.

الخرائط الثنائية

الدالة الثنائية النسبية من X إلى Y هي دالة نسبية f  : X ⇢ Y بحيث توجد دالة نسبية Y ⇢ X معكوسة لـ f . تُنشئ الدالة الثنائية النسبية تماثلاً من مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من X إلى مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من Y ، والعكس صحيح: أي أن التماثل بين مجموعتين جزئيتين مفتوحتين غير فارغتين من X و Y يُعطي، بحسب التعريف، دالة ثنائية نسبية f  : X ⇢ Y. في هذه الحالة، يُقال إن X و Y ثنائيتان نسبيتان ، أو متكافئتان ثنائياً نسبياً . جبرياً، يكون صنفان على حقل k ثنائيين نسبيين إذا وفقط إذا كانت حقول دوالهما متماثلة كحقول امتداد لـ k .

تُعدّ حالة خاصة هي التشكل الثنائي النسبي f  : X → Y ، أي التشكل الذي يكون ثنائيًا نسبيًا. بمعنى آخر، f مُعرّف في كل مكان، لكن معكوسه قد لا يكون كذلك. يحدث هذا عادةً لأن التشكل الثنائي النسبي يُختزل بعض الأصناف الفرعية من X إلى نقاط في Y.

التكافؤ العقلاني الثنائي والعقلانية

يُقال عن مجموعة X أنها عقلانية إذا كانت ثنائية العقلانية بالنسبة للفضاء الأفيني (أو ما يُكافئه، بالنسبة للفضاء الإسقاطي ) ذي بُعدٍ ما. العقلانية خاصية طبيعية جدًا: فهي تعني أن X ناقص مجموعة جزئية ذات بُعد أقل يُمكن تعريفه بالفضاء الأفيني ناقص مجموعة جزئية ذات بُعد أقل.

التكافؤ الثنائي النسبي لقطع مخروطي مستوٍ

على سبيل المثال، الدائرةX{\displaystyle X}مع المعادلةx2+y2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}في المستوى الأفيني يوجد منحنى كسري، لأنه يوجد تطبيق كسري f  :أ1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}⇢ X معطى بواسطة

و(ت)=(2ت1+ت2،1-ت21+ت2)،{\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}

والتي لها دالة عكسية نسبية g : X ⇢أ1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}مقدم من

ز(x،y)=1-yx.{\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}

إن تطبيق الدالة f مع t عدد نسبي يعطي بناءً منهجياً للثلاثيات الفيثاغورية .

الخريطة العقلانيةو{\displaystyle f}غير مُعرَّف في الموضع حيث1+ت2=0{\displaystyle 1+t^{2}=0}إذن، على الخط الأفيني المعقدأج1{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}،و{\displaystyle f}هو تشاكل على المجموعة المفتوحةيو=أج1-{أنا،-أنا}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}،و:يو→X{\displaystyle f:U\to X}وبالمثل، فإن الدالة الكسرية g  : X ⇢أ1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}غير مُعرَّف عند النقطة (0، -1) فيX{\displaystyle X}.

التكافؤ الثنائي النسبي للأسطح التربيعية الملساء و P n

بشكل أعم، يكون السطح التربيعي الأملس X ذو أي بُعد n سطحًا نسبيًا، وذلك بحسب الإسقاط المجسم . (إذا كان X سطحًا تربيعيًا على حقل k ، فيجب افتراض أن X يحتوي على نقطة نسبية من الرتبة k ؛ وهذا يحدث تلقائيًا إذا كان k حقلًا مغلقًا جبريًا). لتعريف الإسقاط المجسم، ليكن p نقطة في X. عندئذٍ، يكون هناك تطبيق ثنائي نسبي من X إلى الفضاء الإسقاطي.Pن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}يُعطى تمثيل الخطوط المارة بالنقطة p عن طريق إرسال نقطة q في X إلى الخط المار بالنقطة p و q . هذا تكافؤ ثنائي نسبي ولكنه ليس تماثلًا بين المتنوعات، لأنه لا يُعرَّف حيث q = p (كما أن الدالة العكسية لا تُعرَّف عند تلك الخطوط المارة بالنقطة p والموجودة في X ).

التكافؤ الثنائي النسبي للسطح التربيعي

يُعطي تضمين سيغري تضمينًاP1×P1→P3{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}مقدم من

([x،y]،[z،w])↦[xz،xw،yz،yw].{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}

الصورة هي السطح التربيعيx0x3=x1x2{\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}وهذا يُعطي دليلاً آخر على أن هذا السطح التربيعي سطح كسري، لأنP1×P1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}من الواضح أنه عقلاني، وله مجموعة فرعية مفتوحة متماثلة معأ2{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}.

النماذج الدنيا وحل التفردات

كل صنف جبري ثنائي النسب بالنسبة لصنف إسقاطي ( مبدأ تشاو ). لذا، لأغراض التصنيف ثنائي النسب، يكفي العمل فقط مع الأصناف الإسقاطية، وهذا عادةً ما يكون الإعداد الأنسب.

أما نظرية هيروناكا لعام 1964 حول حلّ المفردات فهي أعمق بكثير : ففي حقل ذي خاصية صفرية (مثل الأعداد المركبة)، يكون كل صنف ثنائي النسب بالنسبة لصنف إسقاطي أملس . وبناءً على ذلك، يكفي تصنيف الأصناف الإسقاطية الملساء حتى التكافؤ ثنائي النسب.

في البُعد 1، إذا كان منحنيان إسقاطيان أملسان ثنائيي النسب، فإنهما متماثلان. لكن هذا لا ينطبق في البُعد 2 على الأقل، وذلك بسبب خاصية التضخيم . فبفضل هذه الخاصية، يصبح كل صنف إسقاطي أملس ذي بُعد 2 على الأقل ثنائي النسب لعدد لا نهائي من الأصناف "الأكبر"، على سبيل المثال تلك التي لها أعداد بيتي أكبر .

يقودنا هذا إلى فكرة النماذج الدنيا : هل يوجد تنوع بسيط فريد في كل فئة تكافؤ ثنائية نسبية؟ التعريف الحديث هو أن التنوع الإسقاطي X يكون أدنى إذا كانت حزمة الخطوط الأساسية KX ذات درجة غير سالبة على كل منحنى في X ؛ بعبارة أخرى، KX هي nef . من السهل التحقق من أن التنوعات المتضخمة لا تكون أبدًا أدنى.

ينطبق هذا المفهوم تمامًا على الأسطح الجبرية (أنواع ذات بُعد 2). وبتعبير أدق، فإن إحدى النتائج الرئيسية للمدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية (1890-1910)، والتي تُعد جزءًا من تصنيف الأسطح ، هي أن كل سطح X يكون ثنائيًا نسبيًا إما بالنسبة إلى حاصل ضربP1×ج{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}بالنسبة لمنحنى ما C أو لسطح أدنى Y. [ 1 ] الحالتان متنافيتان، ويكون Y وحيدًا إذا وُجد. عندما يكون Y موجودًا ، يُسمى النموذج الأدنى لـ X. 

الثوابت الثنائية

في البداية، ليس من الواضح كيفية إثبات وجود أي أصناف جبرية غير نسبية. ولإثبات ذلك، نحتاج إلى بعض الثوابت الثنائية النسبية للأصناف الجبرية. الثابت الثنائي النسبي هو أي نوع من الأعداد أو الحلقات، وما إلى ذلك، يكون متماثلاً أو متماثلاً لجميع الأصناف المتكافئة ثنائياً نسبياً.

Plurigenera

تُعدّ المجموعات المتعددة الأجناس إحدى المجموعات المفيدة للثوابت الثنائية النسبية . الحزمة القانونية لمتنوعة ملساء X ذات بُعد n تعني حزمة الخطوط للأشكال n- ية KX = Ωn ، وهي القوة الخارجية n لحزمة الظل المشترك لـ X. بالنسبة لعدد صحيح d ، فإن القوة الموترية d لـ KX هي أيضًا حزمة خطوط. بالنسبة لـ d ≥ 0 ، يتمتع فضاء المتجهات للمقاطع العامة H0 ( X , KXd ) بالخاصية المميزة المتمثلة في أن الخريطة الثنائية النسبية f : X ⇢ Y بين المتنوعات الإسقاطية الملساء تُنتج تماثلًا H0 ( X , KXd ) ≅ H0 ( Y , KYd ) . [ 2 ] 

لأي قيمة d ≥ 0 ، نُعرّف المجموعة المتعددة P <sub> d</sub> من الرتبة d على أنها بُعد الفضاء المتجهي H <sub>0</sub> ( X , K<sub> X </sub>d ) ؛ عندئذٍ تكون المجموعات المتعددة ثوابت ثنائية نسبية للأصناف الإسقاطية الملساء. على وجه الخصوص، إذا كانت أي مجموعة متعددة P <sub>d</sub> حيث d > 0 لا تساوي صفرًا، فإن X ليست عددًا نسبيًا.

أبعاد كودايرا

يُعد بُعد كودايرا أحد الثوابت الثنائية النسبية الأساسية ، وهو يقيس نمو الأجناس المتعددة P <sub>d </sub> عندما يؤول d إلى اللانهاية. يقسم بُعد كودايرا جميع الأصناف ذات البُعد n إلى n + 2 نوعًا، حيث يكون بُعد كودايرا −∞، أو 0، أو 1، أو ...، أو n . يُعد هذا البُعد مقياسًا لتعقيد الصنف، حيث يكون بُعد كودايرا للفضاء الإسقاطي −∞. أما الأصناف الأكثر تعقيدًا فهي تلك التي يساوي بُعد كودايرا فيها بُعدها n ، وتُسمى أصنافًا من النوع العام .

مجموع ⊗ k Ω 1 وبعض أعداد هودج

وبشكل أعم، بالنسبة لأي مجموع طبيعي

هـ(Ω1)=⨂كΩ1{\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}

بالنسبة للقوة الموترية من الرتبة r للحزمة المماسية Ω 1 حيث r ≥ 0 ، فإن الفضاء المتجهي للمقاطع العامة H 0 ( X , E (Ω 1 )) هو ثابت ثنائي نسبي للأصناف الإسقاطية الملساء. على وجه الخصوص، أعداد هودج

حص،0=ح0(X،Ωص){\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}

هي ثوابت ثنائية نسبية لـ X. (معظم أعداد هودج الأخرى h و p و q ليست ثوابت ثنائية نسبية، كما يتضح من خلال التفجير.)

مجموعة أساسية من الأصناف الإسقاطية الملساء

المجموعة الأساسية π 1 ( X ) هي ثابت ثنائي نسبي للأصناف الإسقاطية المعقدة الملساء.

تنص "نظرية التحليل الضعيف"، التي أثبتها أبراموفيتش وكارو وماتسوكي ووودارتشيك (2002) ، على أن أي دالة ثنائية نسبية بين صنفين إسقاطيين عقديين أملسين يمكن تحليلها إلى عدد محدود من عمليات التضخيم أو التفكيك لأصناف فرعية ملساء. من المهم معرفة ذلك، لكن قد يظل من الصعب تحديد ما إذا كان صنفان إسقاطيان أملسان ثنائيي النسب.

النماذج الدنيا في الأبعاد الأعلى

يُطلق على التنوع الإسقاطي X اسم التنوع الأدنى إذا كانت الحزمة الأساسية KX من نوع nef . بالنسبة لـ X ذي البعد 2، يكفي في هذا التعريف النظر في التنوعات الملساء. أما في الأبعاد 3 على الأقل، فيجب السماح للتنوعات الأدنى بوجود بعض النقاط الشاذة البسيطة، والتي تظل فيها KX ذات سلوك جيد؛ وتُسمى هذه النقاط الشاذة بالنقاط الشاذة النهائية .

مع ذلك، فإن فرضية النموذج الأدنى تعني أن كل تنوع X إما مغطى بمنحنيات عقلانية أو ثنائي العقلانية بالنسبة لتنوع أدنى Y. وعندما يوجد، يُطلق على Y اسم نموذج أدنى لـ X.

لا تُعدّ النماذج الدنيا فريدةً في الأبعاد التي لا تقل عن 3، ولكن أي نوعين أدنى ثنائيي النسب يكونان متقاربين جدًا. على سبيل المثال، هما متماثلان خارج المجموعات الجزئية ذات البعد المشترك الذي لا يقل عن 2، وبشكل أدق، يرتبطان بتسلسل من عمليات الإزاحة . لذا، فإن فرضية النموذج الأدنى تُقدّم معلومات قيّمة حول التصنيف ثنائي النسبي للأنواع الجبرية.

أثبت موري هذه الفرضية في البعد الثالث. [ 3 ] وقد تحقق تقدم كبير في الأبعاد الأعلى، على الرغم من أن المسألة العامة لا تزال مفتوحة. وعلى وجه الخصوص، أثبت بيركار، وكاسكيني، وهاكون، وماكيرنان (2010) [ 4 ] أن لكل صنف من النوع العام على حقل ذي خاصية صفرية نموذجًا أدنى.

أصناف غير مُقيدة

يُطلق على التنوع اسم " متنوع أحادي المسار" إذا كان مغطى بمنحنيات عقلانية. لا يمتلك التنوع أحادي المسار نموذجًا أدنى، ولكن يوجد بديل جيد: فقد أثبت بيركار، وكاسكيني، وهاكون، وماكيرنان أن كل تنوع أحادي المسار على حقل ذي خاصية صفرية يكون ثنائي العقلانية بالنسبة لفضاء ألياف فانو . [ أ ] يؤدي هذا إلى مشكلة التصنيف ثنائي العقلانية لفضاءات ألياف فانو، و(كحالة خاصة مثيرة للاهتمام) تنوعات فانو . بحسب التعريف، يكون التنوع الإسقاطي X من نوع فانو إذا كانت الحزمة المضادة للكانونيةكX*{\displaystyle K_{X}^{*}}واسع . يمكن اعتبار أصناف فانو الأصناف الجبرية الأكثر تشابهاً مع الفضاء الإسقاطي.

في البُعد الثاني، كل تنوع فانو (المعروف بسطح ديل بيزو ) فوق حقل مغلق جبريًا هو تنوع منطقي. وكان من أهم الاكتشافات في سبعينيات القرن الماضي أنه بدءًا من البُعد الثالث، توجد العديد من تنوعات فانو غير المنطقية . على وجه الخصوص، فإن الأشكال المكعبة الملساء ثلاثية الأبعاد ليست منطقية وفقًا لكليمنس-غريفيث (1972) ، والأشكال الرباعية الملساء ثلاثية الأبعاد ليست منطقية وفقًا لإسكوفسكيخ-مانين (1971) . ومع ذلك، فإن مشكلة تحديد أي تنوعات فانو منطقية بالضبط لا تزال بعيدة عن الحل. على سبيل المثال، ليس من المعروف ما إذا كان هناك أي سطح فائق مكعب أملس فيPن+1{\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}حيث n ≥ 4 وهو ليس عددًا نسبيًا.

مجموعات التماثل الثنائي

تختلف المتنوعات الجبرية اختلافًا كبيرًا في عدد التشاكلات الثنائية النسبية التي تمتلكها. كل تنوع من النوع العام يكون شديد الصلابة، بمعنى أن مجموعة التشاكلات الثنائية النسبية الخاصة به منتهية. وعلى النقيض من ذلك، فإن مجموعة التشاكلات الثنائية النسبية للفضاء الإسقاطيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}تكون المجموعة المركبة Cr n ( k )، على حقل k ، كبيرة (بمعنى أنها لا نهائية الأبعاد) عندما يكون n ≥ 2. أما عندما يكون n = 2 ، فإن المجموعة المركبة Cr n ( k )،جر2(ج){\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}يتم توليدها بواسطة "التحويل التربيعي"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

مع المجموعةPجيل(3،ج){\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}من التشاكلات الذاتية لـP2،{\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}بواسطة ماكس نوثر وكاستلنوفو . على النقيض من ذلك، فإن مجموعة كريمونا في الأبعاد n ≥ 3 هي لغز كبير: لا توجد مجموعة صريحة من المولدات معروفة.

أظهر إسكوفسكيخ-مانين (1971) أن زمرة التشاكل الثنائي النسبي لمتعددة رباعية ناعمة ثلاثية الأبعاد تساوي زمرة التشاكل الذاتي الخاصة بها، وهي زمرة منتهية. وبهذا المعنى، فإن متعددات رباعية الأبعاد ثلاثية الأبعاد بعيدة كل البعد عن كونها نسبية، لأن زمرة التشاكل الثنائي النسبي لمتعددة نسبية هائلة. وقد اكتُشفت هذه الظاهرة، المعروفة باسم "الصلابة الثنائية النسبية"، منذ ذلك الحين في العديد من فضاءات ألياف فانو الأخرى.

التطبيقات

وجدت الهندسة الثنائية تطبيقات في مجالات أخرى من الهندسة، ولكن بشكل خاص في المشكلات التقليدية في الهندسة الجبرية.

اشتهر برنامج النموذج الأدنى باستخدامه لإنشاء فضاءات المعاملات لأصناف من النوع العام بواسطة يانوس كولار ونيكولاس شيبرد بارون ، والمعروفة الآن باسم فضاءات معاملات KSB. [ 5 ]

وجدت الهندسة الثنائية النسبية مؤخرًا تطبيقات مهمة في دراسة استقرار K لمتنوعات فانو من خلال نتائج وجود عامة لمقاييس كاهلر-أينشتاين ، وفي تطوير ثوابت صريحة لمتنوعات فانو لاختبار استقرار K عن طريق الحساب على النماذج الثنائية النسبية، وفي بناء فضاءات المعاملات لمتنوعات فانو. [ 6 ] وقد استُخدمت نتائج مهمة في الهندسة الثنائية النسبية، مثل برهان بيركار على محدودية متنوعات فانو، لإثبات نتائج وجود فضاءات المعاملات.

انظر أيضاً

الاقتباسات

ملحوظات

  1. يشير بيركار وآخرون (2010 ، النتيجة 1.3.3) إلى أن كل صنف أحادي المسار في خاصية الصفر يكون ثنائي النسب بالنسبة لفضاء ألياف فانو، وذلك باستخدام النتيجة الأسهل التي تنص على أن الصنف أحادي المسار X مغطى بمجموعة من المنحنيات التي يكون فيها K X ذا درجة سالبة. ويمكن الرجوع إلى ديبار (2001 ، النتيجة 4.11) والمثال 4.7(1)للتحقق من هذه الحقيقة

مراجع