حزمة ظل الزاوية

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 52 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصةً في الهندسة التفاضلية ، تُعرَّف حزمة المماس المشترك لمتشعب أملس بأنها حزمة المتجهات لجميع فضاءات المماس المشترك عند كل نقطة في المتشعب. ويمكن وصفها أيضًا بأنها الحزمة الثنائية لحزمة المماس . ويمكن تعميم هذا التعريف ليشمل فئات ذات بنية أكثر تعقيدًا من المتشعبات الملساء، مثل المتشعبات المركبة ، أو (في صورة حزمة المماس المشترك) الأصناف الجبرية أو المخططات . في حالة المتشعبات الملساء، يُعطي أي مقياس ريماني أو شكل تماثلي تماثلًا بين حزمة المماس المشترك وحزمة المماس، لكنهما ليسا متماثلين بشكل عام في الفئات الأخرى.

التعريف الرسمي عبر التشكل القطري

توجد عدة طرق متكافئة لتعريف حزمة الظل التمام. إحدى هذه الطرق هي من خلال تطبيق قطري.Δ{\displaystyle \Delta }والجراثيم .​

يتركم{\displaystyle M}كن مشعبًا سلسًا ودعم×م{\displaystyle M\times M}ليكن حاصل الضرب الديكارتي لـم{\displaystyle M}مع نفسه. التعيين القطريΔ{\displaystyle \Delta }يرسل نقطةص{\displaystyle p}فيم{\displaystyle M}مباشرة إلى النقطة(ص،ص){\displaystyle (p,p)}لم×م{\displaystyle M\times M}صورةΔ{\displaystyle \Delta }يُسمى هذا القطر. ليكنأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}كن حزمة من جراثيم الوظائف السلسة علىم×م{\displaystyle M\times M}والتي تتلاشى على القطر. ثم حزمة القسمةأنا/أنا2{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}تتكون من فئات تكافؤ للدوال التي تتلاشى على القطر الرئيسي بتردد الحدود ذات الرتبة الأعلى. تُعرَّف حزمة الظل التمام بأنها سحب هذه الحزمة إلىم{\displaystyle M}:

Γتي*م=Δ*(أنا/أنا2).{\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).}

بحسب نظرية تايلور ، فإن هذه حزمة وحدات حرة محليًا بالنسبة لحزمة جراثيم الدوال الملساء لـم{\displaystyle M}وبالتالي، فإنه يُعرّف حزمة متجهة علىم{\displaystyle M}حزمة الظل التمام .

تُسمى المقاطع الملساء لحزمة الظل التمام (التفاضلية) من الدرجة الأولى .

خصائص التباين العكسي

تشاكل سلسϕ:م→شمال{\displaystyle \phi \colon M\to N}يؤدي وجود العديد من المشعبات إلى ظهور حزمة سحب للخلفϕ*تي*شمال{\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}على M. توجد خريطة مستحثة لحزم المتجهاتϕ*(تي*شمال)→تي*م{\displaystyle \phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M}.

أمثلة

الحزمة المماسية للفضاء المتجهيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يكونتيRن=Rن×Rن{\displaystyle T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}وحزمة الظل التمام هيتي*Rن=Rن×(Rن)*{\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}}، أين(Rن)*{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}يشير إلى الفضاء الثنائي للمتجهات المرافقة والدوال الخطيةv*:Rن→R{\displaystyle v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }.

بافتراض وجود مشعب أملسم⊂Rن{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}مضمنة كسطح فائق ممثل بموضع تلاشي دالةو∈ج∞(Rن)،{\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),}بشرط أن∇و≠0،{\displaystyle \nabla f\neq 0,}الحزمة المماسية هي

تيم={(x،v)∈تيRن : و(x)=0، دوx(v)=0}،{\displaystyle TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},}

أيندوx∈تيx*م{\displaystyle df_{x}\in T_{x}^{*}M}المشتق الاتجاهيدوx(v)=∇و(x)⋅v{\displaystyle df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v}بحسب التعريف، فإن حزمة الظل التمام في هذه الحالة هي

تي*م={(x،v*)∈تي*Rن : و(x)=0، v*∈تيx*م}،{\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},}

أينتيx*م={v∈تيxRن : دوx(v)=0}*.{\displaystyle T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.} بما أن كل متجه مشتركv*∈تيx*م{\displaystyle v^{*}\in T_{x}^{*}M}يتوافق مع متجه فريدv∈تيxم{\displaystyle v\in T_{x}M}والتيv*(u)=v⋅u،{\displaystyle v^{*}(u)=v\cdot u,}لـu∈تيxم،{\displaystyle u\in T_{x}M,}

تي*م={(x،v*)∈تي*Rن : و(x)=0، v∈تيxRن، دوx(v)=0}.{\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.}

حزمة الظل التمام كمساحة طور

بما أن حزمة الظل التمامX=تي*م{\displaystyle X=T^{*}M}إذا كانت حزمة متجهة ، فيمكن اعتبارها متشعبًا بحد ذاتها. لأن اتجاهات المماس عند كل نقطةم{\displaystyle M}يمكن إقرانها مع ناقلاتها المزدوجة في الألياف،X{\displaystyle X}يمتلك شكلاً واحداً متعارفاً عليهθ{\displaystyle \theta }يُطلق عليه الشكل الأحادي التكراري ، والذي سيتم مناقشته أدناه. المشتق الخارجي لـθ{\displaystyle \theta }هو شكل تماثلي ثنائي ، يمكن من خلاله بناء شكل حجمي غير منحل لـX{\displaystyle X}على سبيل المثال، نتيجة لذلكX{\displaystyle X}هي دائماً متعددة شعب قابلة للتوجيه (حزمة المماس)تيX{\displaystyle TX}(حزمة متجهات قابلة للتوجيه). يمكن تعريف مجموعة خاصة من الإحداثيات على حزمة الظل التمام؛ تُسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات الكنسية . ولأن حزم الظل التمام يمكن اعتبارها مشعبات تماثلية ، فإن أي دالة حقيقية على حزمة الظل التمام يمكن تفسيرها على أنها دالة هاميلتونية ؛ وبالتالي، يمكن فهم حزمة الظل التمام على أنها فضاء طور تُطبق عليه ميكانيكا هاميلتونية .

الشكل الأحادي التكراري

تحمل حزمة الظل التمام شكلًا قانونيًا أحاديًاθ{\displaystyle \theta }يُعرف أيضًا باسم الجهد التبادلي ، أو شكل بوانكاريه 1 ، أو شكل ليوفيل 1. وهذا يعني أنه إذا اعتبرناتي*م{\displaystyle T^{*}M}باعتبارها متعددة الشعب في حد ذاتها، يوجد مقطع قانوني لحزمة المتجهاتتي*(تي*م){\displaystyle T^{*}(T^{*}M)}زيادةتي*م{\displaystyle T^{*}M}.

يمكن إنشاء هذا القسم بعدة طرق. أبسطها استخدام الإحداثيات المحلية. لنفترض أنxأنا{\displaystyle x^{i}}هي إحداثيات محلية على مشعب القاعدةم{\displaystyle M}. فيما يتعلق بهذه الإحداثيات الأساسية، توجد إحداثيات الألياف.صأنا{\displaystyle p_{i}}: شكل واحد عند نقطة معينة منتي*م{\displaystyle T^{*}M}له الشكلصأنادxأنا{\displaystyle p_{i}{\text{d}}x^{i}}( يُستدل على ذلك من اصطلاح الجمع لأينشتاين ). إذن، المتشعبتي*م{\displaystyle T^{*}M}يحمل نفسه إحداثيات محلية(xأنا،صأنا){\displaystyle (x^{i},p_{i})}حيثx{\displaystyle x}تمثل هذه الإحداثيات على القاعدة وص{\displaystyle p}تمثل 's إحداثيات في الليف. ويُعطى الشكل التناظري الأحادي المتعارف عليه في هذه الإحداثيات بواسطة θ(x،ص)=∑أنا=1نصأنادxأنا.{\displaystyle \theta _{(x,p)}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.}

جوهريًا، قيمة الشكل التفاضلي الأحادي المتعارف عليه في كل نقطة ثابتة منتي*م{\displaystyle T^{*}M}يُعطى كعملية سحب للخلف . تحديدًا، لنفترض أنπ:تي*م→م{\displaystyle \pi :T^{*}M\rightarrow M}هو إسقاط الحزمة. أخذ نقطة فيتيx*م{\displaystyle T_{x}^{*}M}هو نفسه اختيار نقطةx{\displaystyle x}فيم{\displaystyle M}ونموذج واحدω{\displaystyle \omega }فيx{\displaystyle x}والصيغة الأحادية التكراريةθ{\displaystyle \theta }يُسند إلى النقطة(x،ω){\displaystyle (x,\omega )}القيمة θ(x،ω)=π*ω.{\displaystyle \theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .}

أي بالنسبة للمتجهv{\displaystyle v}في حزمة المماس لحزمة الظل التمام، تطبيق الشكل الأحادي التكراريθ{\displaystyle \theta }لv{\displaystyle v}في(x،ω){\displaystyle (x,\omega )}يتم حسابها عن طريق الإسقاطv{\displaystyle v}في حزمة المماس عندx{\displaystyle x}استخدامدπ:تي(تي*م)→تيم{\displaystyle {\text{d}}\pi :T(T^{*}M)\rightarrow TM}وتطبيقω{\displaystyle \omega }إلى هذا الإسقاط. لاحظ أن الشكل الأحادي التكراري ليس سحبًا عكسيًا لشكل أحادي على القاعدةم{\displaystyle M}.

الشكل التبسيطي

تحتوي حزمة الظل المشترك على شكل تماثلي ثنائي متعارف عليه، كمشتق خارجي للشكل الأحادي التكراري ، وهو الكمون التماثلي . يمكن إثبات أن هذا الشكل تماثلي بالفعل من خلال ملاحظة أن التماثلية خاصية محلية: بما أن حزمة الظل المشترك تافهة محليًا، فإن هذا التعريف يحتاج فقط إلى التحقق منه علىRن×Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}لكن الشكل الوحيد المحدد هناك هو مجموعyأنادxأنا{\displaystyle y_{i}\,dx_{i}}والمشتق هو الشكل التبسيطي المتعارف عليه، وهو مجموعدyأنا∧دxأنا{\displaystyle dy_{i}\land dx_{i}}.

فضاء الطور

إذا كان المشعبم{\displaystyle M}يمثل مجموعة المواضع الممكنة في نظام ديناميكي ، ثم حزمة الظل المرافق تي*م{\displaystyle T^{*}\!M}يمكن اعتبارها مجموعة المواضع والزخم الممكنة . على سبيل المثال، هذه طريقة لوصف فضاء الطور للبندول. تُحدد حالة البندول بموضعه (زاوية) وزخمه (أو ما يعادله، سرعته، نظرًا لثبات كتلته). يبدو فضاء الحالة بأكمله كأنه أسطوانة، وهي حزمة الظل التمام للدائرة. يوفر البناء التبسيطي المذكور أعلاه، إلى جانب دالة طاقة مناسبة ، تحديدًا كاملًا لفيزياء النظام. راجع ميكانيكا هاميلتون ومقال التدفق الجيوديسي للاطلاع على بناء صريح لمعادلات هاميلتون للحركة.

انظر أيضاً

مراجع