حزمة المتجهات

في الرياضيات ، الحزمة المتجهة هي بناء طوبولوجي يحدد بدقة فكرة عائلة من الفضاءات المتجهة المُعَلمة بواسطة فضاء آخر${\displaystyle X}$(على سبيل المثال${\displaystyle X}$(قد يكون فضاءً طوبولوجيًا ، أو متعدد الشعب ، أو متعدد الشعب الجبري ): لكل نقطة${\displaystyle x}$من الفضاء${\displaystyle X}$نقوم بربط (أو "إلحاق") فضاء متجهي${\displaystyle V(x)}$بطريقة تجعل هذه الفضاءات المتجهة تتلاءم معًا لتشكيل فضاء آخر من نفس النوع${\displaystyle X}$(على سبيل المثال، فضاء طوبولوجي، أو متعدد الشعب، أو تنوع جبري)، والذي يُطلق عليه حينها حزمة متجهة فوق${\displaystyle X}$.

أبسط مثال على ذلك هو حالة كون عائلة الفضاءات المتجهة ثابتة، أي أن هناك فضاءً متجهيًا ثابتًا${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle V(x)=V}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$في هذه الحالة توجد نسخة من${\displaystyle V}$لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$وتتلاءم هذه النسخ معًا لتشكيل حزمة المتجهات${\displaystyle X\times V}$زيادة${\displaystyle X}$تُسمى هذه الحزم المتجهة بالحزم التافهة . ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا (والنموذجية) حزم المماس للمشعبات الملساء (أو القابلة للتفاضل) : حيث نُلحق بكل نقطة من نقاط هذا المشعب الفضاء المماسي عند تلك النقطة. وبشكل عام، لا تُعد حزم المماس حزمًا تافهة. فعلى سبيل المثال، حزمة المماس للكرة غير تافهة وفقًا لنظرية الكرة المشعرة . وبشكل عام، يُقال إن المشعب قابل للتوازي إذا، وفقط إذا، كانت حزمة المماس الخاصة به تافهة.

يشترط عادةً أن تكون حزم المتجهات تافهة محليًا ، مما يعني أنها أمثلة على حزم الألياف . كما يشترط عادةً أن تكون فضاءات المتجهات على الأعداد الحقيقية أو المركبة ، وفي هذه الحالة تُسمى حزمة المتجهات حزمة متجهات حقيقية أو مركبة (على التوالي). ويمكن اعتبار حزم المتجهات المركبة حزم متجهات حقيقية ذات بنية إضافية. وسنركز فيما يلي على حزم المتجهات الحقيقية ضمن فئة الفضاءات الطوبولوجية .

تتكون حزمة المتجهات الحقيقية من:

1. الفضاءات الطوبولوجية${\displaystyle X}$( الفضاء الأساسي ) و${\displaystyle E}$( المساحة الكلية )
2. امتداد متصل​${\displaystyle \pi :E\to X}$( إسقاط الحزمة )
3. لكل${\displaystyle x}$ في${\displaystyle X}$، بنية فضاء متجهي حقيقي محدود الأبعاد على الألياف${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

حيث يتحقق شرط التوافق التالي: لكل نقطة${\displaystyle p}$في${\displaystyle X}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle U\subseteq X}$ل${\displaystyle p}$عدد طبيعي${\displaystyle k}$، وتماثل متماثل

$${\displaystyle \varphi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$$

بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle U}$،

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$لجميع المتجهات${\displaystyle v}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$، و
• الخريطة${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ هو تماثل خطي بين الفضاءات المتجهة${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$و${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$.

الحي المفتوح${\displaystyle U}$بالإضافة إلى التماثل المتماثل${\displaystyle \varphi }$يُطلق عليه اسم التبسيط المحلي لحزمة المتجهات. يُظهر التبسيط المحلي أن الخريطة${\displaystyle \pi }$"يبدو" إسقاطًا لـ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$على${\displaystyle U}$.

كل خيط${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$هو فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد محدودة، وبالتالي له بُعد${\displaystyle k_{x}}$تُظهر عمليات التبسيط المحلية أن الدالة${\displaystyle x\to k_{x}}$ثابت محليًا ، وبالتالي فهو ثابت على كل مكون متصل من${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle k_{x}}$يساوي ثابتًا${\displaystyle k}$في جميع أنحاء${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle k}$يُطلق عليه رتبة حزمة المتجهات، و${\displaystyle E}$يقال إنها حزمة متجهة من الرتبة${\displaystyle k}$غالباً ما يتضمن تعريف حزمة المتجهات أن الرتبة محددة جيداً، بحيث${\displaystyle k_{x}}$ثابت. تسمى حزم المتجهات من الرتبة 1 حزم خطية ، بينما تسمى حزم المتجهات من الرتبة 2 بشكل أقل شيوعًا حزم مستوية.

المنتج الديكارتي${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$، مزودة بجهاز العرض${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$، ويُطلق عليه اسم الحزمة التافهة من الرتبة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle X}$.

دوال الانتقال

بالنظر إلى حزمة متجهة${\displaystyle E\to X}$من الرتبة${\displaystyle k}$وحيان${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$والتي تصبح الحزمة عليها تافهة عبر

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{محاذاة}}}$

الدالة المركبة

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

محدد جيدًا عند منطقة التداخل، ويلبي الشروط التالية:

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$دالة ذات قيم -

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

وتسمى هذه الدوال دوال الانتقال (أو تحويلات الإحداثيات ) لحزمة المتجهات.

تشكل مجموعة دوال الانتقال دورة تشيك المشتركة بالمعنى التالي:

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

للجميع${\displaystyle U,V,W}$والتي تُصبح الحزمة فوقها تافهة بما يُرضي${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$وبالتالي فإن البيانات${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$يُعرّف حزمة الألياف ؛ البيانات الإضافية لـ${\displaystyle g_{UV}}$يحدد أ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$مجموعة هيكلية يكون فيها التأثير على الألياف هو التأثير القياسي لـ${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$.

وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى حزمة من الألياف${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$مع${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$يعمل نظام الدورة المشتركة بالطريقة القياسية على الألياف${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$يرتبط بذلك حزمة متجهة. هذا مثال على نظرية بناء الحزمة الليفية للحزم المتجهة، ويمكن اعتباره تعريفًا بديلًا للحزمة المتجهة.

الحزم الفرعية

إحدى الطرق البسيطة لإنشاء حزم متجهة هي أخذ حزم فرعية من حزم متجهة أخرى. بالنظر إلى حزمة متجهة${\displaystyle \pi :E\to X}$في الفضاء الطوبولوجي، تكون الحزمة الفرعية ببساطة فضاءً فرعيًا طوبولوجيًا${\displaystyle F\subset E}$والتي يفرض عليها هذا القيد${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$ل${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle F}$أعطِ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$وكذلك بنية حزمة المتجهات. في هذه الحالة، الألياف${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$هو فضاء متجهي جزئي لكل${\displaystyle x\in X}$.

لا يشترط أن تكون الحزمة الفرعية لحزمة تافهة تافهة، بل يمكن اعتبار كل حزمة متجهات حقيقية فوق فضاء متراص حزمة فرعية لحزمة تافهة ذات رتبة عالية كافية. على سبيل المثال، يمكن اعتبار شريط موبيوس ، وهو حزمة خطية غير تافهة فوق الدائرة، حزمة فرعية لحزمة تافهة من الرتبة 2 فوق الدائرة.

تشاكل من حزمة المتجهات${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$إلى حزمة المتجهات${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$يتم تحديدها بواسطة زوج من الخرائط المتصلة${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$و${\displaystyle g:X_{1}\rightarrow X_{2}}$بحيث $${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$$

لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X_{1}}$الخريطة${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\rightarrow \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$ناتج عن${\displaystyle f}$هي دالة خطية بين فضاءات متجهة.

لاحظ أن${\displaystyle g}$يتم تحديده بواسطة${\displaystyle f}$(لأن${\displaystyle \pi _{1}}$(شاملة)، و${\displaystyle f}$ثم يقال إنها تغطي g .

تشكل فئة جميع الحزم المتجهة مع تشاكلات الحزم فئةً . وبتقييدها على الحزم المتجهة التي تكون فضاءاتها متعددة الشعب (وتكون إسقاطات الحزم فيها دوالًا ملساء) وتشاكلات الحزم الملساء، نحصل على فئة الحزم المتجهة الملساء. تُعد تشاكلات الحزم المتجهة حالةً خاصةً من مفهوم دالة الحزمة بين الحزم الليفية ، وتُسمى أحيانًا بتشاكلات الحزم (المتجهة) .

تماثل الحزمة من${\displaystyle E_{1}}$ل${\displaystyle E_{2}}$مع معكوس هو أيضًا تشاكل حزمي (من${\displaystyle E_{2}}$ل${\displaystyle E_{1}}$يُطلق على هذا اسم تماثل الحزمة (المتجهية) ، ثم${\displaystyle E_{1}}$و${\displaystyle E_{2}}$يُقال إنها حزم متجهة متماثلة . تماثل من (رتبة${\displaystyle k}$حزمة متجهات )${\displaystyle E}$زيادة${\displaystyle X}$مع الحزمة التافهة (من الرتبة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle X}$) يُطلق عليه تبسيط مفرط لـ${\displaystyle E}$، و${\displaystyle E}$يُقال حينها إنها تافهة (أو قابلة للتبسيط ). يُظهر تعريف حزمة المتجهات أن أي حزمة متجهات تكون تافهة محليًا .

يمكننا أيضًا النظر في فئة جميع حزم المتجهات على فضاء أساسي ثابت${\displaystyle X}$نأخذ في هذه الفئة، كتشاكلات، تلك التشاكلات لحزم المتجهات التي يكون تطبيقها على الفضاء الأساسي هو تطبيق التطابق على${\displaystyle X}$أي أن التشكلات الحزمية التي يكون المخطط التالي تبادليًا بالنسبة لها :

(لاحظ أن هذه الفئة ليست تبديلية ؛ نواة تشاكل حزم المتجهات ليست بشكل عام حزمة متجهات بأي طريقة طبيعية.)

تشاكل حزمة متجهة بين حزم متجهة${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$و${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$تغطية خريطة${\displaystyle g}$من${\displaystyle X_{1}}$ل${\displaystyle X_{2}}$يمكن أيضًا اعتبارها تشاكل حزمة متجهة على${\displaystyle X_{1}}$من${\displaystyle E_{1}}$إلى حزمة السحب${\displaystyle g^{*}E_{2}}$.

بفرض وجود حزمة متجهة π : E → X ومجموعة جزئية مفتوحة U من X ، يمكننا اعتبار مقاطع π على U ، أي الدوال المتصلة s : U → E حيث يكون المركب π ∘ s بحيث يكون ( π ∘ s )( u ) = u لكل u في U. المقطع على U هو إسناد متجه من ألياف الفضاء المتجه فوق p إلى كل نقطة p من U ، بطريقة متصلة . على سبيل المثال، مقطع الحزمة المماسية لمتشعب تفاضلي هو نفسه حقل متجه على ذلك المتشعب.  

ليكن F ( U ) مجموعة جميع المقاطع على U. تحتوي F ( U ) دائمًا على عنصر واحد على الأقل، وهو المقطع الصفري : الدالة s التي تربط كل عنصر x من U بالعنصر الصفري للفضاء المتجهي π⁻¹ ({ x ^} ). وبجمع المقاطع نقطيًا وضربها في عدد قياسي ، تصبح F ( U ) فضاءً متجهيًا حقيقيًا. وتُشكل مجموعة هذه الفضاءات المتجهة حزمة من الفضاءات المتجهة على X.

إذا كان s عنصرًا من F ( U ) وكانت f  : U → R دالة متصلة، فإن حاصل ضربهما f s (الضرب القياسي النقطي) ينتمي إلى F ( U ). هذا يُبين أن F ( U ) وحدة نمطية على حلقة الدوال الحقيقية المتصلة على U. علاوة على ذلك، إذا رمزنا لحزمة البنية للدوال الحقيقية المتصلة على X بـ OX _، فإن F تصبح حزمة من وحدات _OX النمطية .

لا تنشأ كل حزمة من وحدات O _X بهذه الطريقة من حزمة متجهة: فقط الحزم الحرة محليًا هي التي تنشأ بهذه الطريقة. (والسبب هو أننا نبحث محليًا عن مقاطع إسقاط U × R ^k → U ؛ وهذه المقاطع هي تحديدًا الدوال المتصلة U → R ^k ، ومثل هذه الدالة هي مجموعة من k دوال متصلة U → R. )

بل وأكثر من ذلك: فئة حزم المتجهات الحقيقية على X تعادل فئة الحزم الحرة محليًا والمولدة بشكل محدود من O _X -modules.

لذا يمكننا أن نفكر في فئة حزم المتجهات الحقيقية على X على أنها تقع داخل فئة حزم O _X -modules ؛ هذه الفئة الأخيرة هي أبيلية ، لذلك هذا هو المكان الذي يمكننا فيه حساب النوى والنوى المشتركة لتشكلات حزم المتجهات.

تكون حزمة المتجهات من الرتبة n تافهة إذا وفقط إذا كان لها n مقطعًا عالميًا مستقلًا خطيًا .

يمكن توسيع معظم العمليات على فضاءات المتجهات لتشمل حزم المتجهات عن طريق إجراء عملية فضاء المتجهات على مستوى الألياف .

على سبيل المثال، إذا كانت E حزمة متجهة فوق X ، فإنه توجد حزمة E* فوق X ، تُسمى الحزمة الثنائية ، وأليافها عند x ∈ X هي الفضاء المتجهي الثنائي ( E _x )*. ويمكن تعريف E* رسميًا على أنها مجموعة الأزواج ( x , φ)، حيث x ∈ X و φ ∈ ( E _x )*. الحزمة الثنائية تافهة محليًا لأن الفضاء الثنائي لمعكوس التافهة المحلية لـ E هو تافهة محلية لـ E* : والنقطة الأساسية هنا هي أن عملية أخذ الفضاء المتجهي الثنائي هي عملية دالية .

توجد العديد من العمليات الدالية التي يمكن إجراؤها على أزواج من الفضاءات المتجهة (على نفس الحقل)، ويمكن تعميم هذه العمليات بسهولة على أزواج من الحزم المتجهة E و F على X (على الحقل المعطى). فيما يلي بعض الأمثلة.

• مجموع ويتني (سمي على اسم هاسلر ويتني ) أو حزمة المجموع المباشر لـ E و F هي حزمة متجهة E ⊕ F على X التي يكون ليفها على x هو المجموع المباشر E _x ⊕ F _x للفضاءات المتجهة E _x و F _x .
• يتم تعريف حزمة الضرب الموتري E ⊗ F بطريقة مماثلة، باستخدام الضرب الموتري الليفي للفضاءات المتجهة.
• الحزمة المتجانسة Hom( E , F ) هي حزمة متجهة يكون ليفها عند x هو فضاء التطبيقات الخطية من E _x إلى F _x (ويُشار إليها غالبًا بـ Hom( E _x , F _x ) أو L ( E _x , F _x )). سُميت الحزمة المتجانسة بهذا الاسم (وهي مفيدة) لوجود تقابل بين تشاكلات الحزم المتجهة من E إلى F على X ومقاطع Hom( E , F ) على X.
• بالاستناد إلى المثال السابق، إذا كان لدينا مقطع s من حزمة التشكلات الداخلية Hom( E , E ) ودالة f : X → R ، فيمكننا إنشاء حزمة ذاتية (بأخذ الليف فوق نقطة x ∈ X) لتكون الفضاء الذاتي للدالة f ( x ) للتحويل الخطي s ( x ): E _x → E _x . على الرغم من أن هذا الإنشاء طبيعي، إلا أنه ما لم يُتخذ الحذر، فلن يحتوي الكائن الناتج على تبسيطات محلية. لنفترض أن s هو المقطع الصفري وأن f لها أصفار معزولة. سيكون الليف فوق هذه الأصفار في "الحزمة الذاتية" الناتجة متماثلًا مع الليف فوقها في E ، بينما يكون الليف في أي مكان آخر هو الفضاء المتجهي الصفري الأبعاد التافه.
• الحزمة المتجهة الثنائية E* هي حزمة Hom( E , R × X ) لتشاكلات الحزم بين E والحزمة التافهة R × X. يوجد تشاكل حزم متجهة قانوني Hom( E , F ) = E* ⊗ F.

كل عملية من هذه العمليات هي مثال خاص على سمة عامة للحزم: وهي أن العديد من العمليات التي يمكن إجراؤها على فئة الفضاءات المتجهة يمكن إجراؤها أيضًا على فئة الحزم المتجهة بطريقة دالية . ويتضح هذا جليًا في لغة الدوال الملساء . ومن العمليات ذات الطبيعة المختلفة بناء حزمة السحب العكسي . فبالنظر إلى حزمة متجهة E → Y ودالة متصلة f : X → Y ، يمكن "سحب" E إلى حزمة متجهة f*E فوق X. والليف فوق نقطة x ∈ X هو في الأساس الليف فوق f ( x ) ∈ Y. وبالتالي، يمكن تعريف جمع ويتني E ⊕ F على أنه حزمة السحب العكسي للدالة القطرية من X إلى X × X حيث الحزمة فوق X × X هي E  × F. 

ملاحظة : ليكن X فضاءً متراصًا . أي حزمة متجهة E على X هي مجموع مباشر لحزمة تافهة؛ أي، توجد حزمة E ' بحيث تكون E ⊕ E ' تافهة. لا ينطبق هذا إذا لم يكن X متراصًا: على سبيل المثال، حزمة الخط التكرارية على الفضاء الإسقاطي الحقيقي اللانهائي لا تمتلك هذه الخاصية. ^{[ 1 ]}

غالبًا ما تُمنح الحزم المتجهة بنيةً أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، قد تُزود الحزم المتجهة بمقياس حزمة متجهة . عادةً ما يُشترط أن يكون هذا المقياس موجبًا تمامًا ، وفي هذه الحالة، يصبح كل ليف من E فضاءً إقليديًا . تتوافق الحزمة المتجهة ذات البنية المركبة مع حزمة متجهة مركبة ، والتي يمكن الحصول عليها أيضًا باستبدال الفضاءات المتجهة الحقيقية في التعريف بفضاءات مركبة، مع اشتراط أن تكون جميع التطبيقات خطية مركبة في الألياف. بشكل عام، يمكن فهم البنية الإضافية المفروضة على الحزمة المتجهة من خلال اختزال مجموعة البنية الناتجة للحزمة . كما يمكن استخدام الحزم المتجهة على حقول طوبولوجية أكثر عمومية.

إذا تم اعتبار الليف F فضاءً باناخياً بدلاً من فضاء متجهي محدود الأبعاد، فسيتم الحصول على حزمة باناخ . ^{[ 2 ]} تحديداً، يجب اشتراط أن تكون عمليات التبسيط المحلية متماثلات فضاء باناخ (بدلاً من مجرد متماثلات خطية) على كل ليف، وأن تكون الانتقالات كذلك .

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

هي تطبيقات متصلة على مشعبات باناخ . في النظرية المقابلة لحزم C ^p ، يُشترط أن تكون جميع التطبيقات من نوع C ^p .

تُعدّ الحزم المتجهة حزمًا ليفية خاصة ، وهي تلك التي تكون أليافها فضاءات متجهة، ويحافظ دورها المشترك على بنية الفضاء المتجه. ويمكن إنشاء حزم ليفية أكثر عمومية، حيث قد يكون للألياف بنى أخرى؛ فعلى سبيل المثال، تتكون الحزم الكروية من ألياف كروية.

تُسمى الحزمة المتجهة ( E , p , M ) ملساء إذا كانت E و M متعددات شعب ملساء ، وp: E → M دالة ملساء، وكانت التبسيطات المحلية عبارة عن تماثلات تباينية . وبحسب درجة السلاسة المطلوبة ، توجد مفاهيم مختلفة لحزم ^Cp ، وحزم C∞ القابلة للتفاضل بلا حدود، وحزم Cω التحليلية ^{الحقيقية} . سنركز في هذا القسم على حزم _C∞ ^{. أهم} مثال على حزمة ^{متجهة C∞} هو الحزمة المماسية ( TM , πTM , M ) لمتعدد شعب C∞ ، M.

يمكن وصف حزمة المتجهات الملساء بأنها تقبل دوال انتقال كما هو موضح أعلاه، وهي دوال ملساء على تداخلات المخططات التافهة U و V. أي أن حزمة المتجهات E تكون ملساء إذا كانت تقبل تغطية بمجموعات مفتوحة تافهة بحيث يكون لأي مجموعتين من هذا القبيل U و V ، دالة الانتقال

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

هي دالة سلسة في مجموعة المصفوفات GL(k, R )، وهي مجموعة لي .

وبالمثل، إذا كانت دوال الانتقال هي:

• إذا كان C ^r، فإن حزمة المتجهات هي حزمة متجهات C ^r .
• إذا كانت الحزمة المتجهة تحليلية حقيقية ، فإنها تكون حزمة متجهة تحليلية حقيقية (وهذا يتطلب أن يكون لمجموعة المصفوفات بنية تحليلية حقيقية).
• إذا كانت الحزمة المتجهة هولومورفية، فإنها تكون حزمة متجهة هولومورفية (وهذا يتطلب أن تكون مجموعة المصفوفات مجموعة لي معقدة ).
• إذا كانت الدوال الجبرية هي حزمة متجهات جبرية (وهذا يتطلب أن تكون مجموعة المصفوفات مجموعة جبرية ).

تتمتع حزم المتجهات من النوع C∞ ( E , p , M ) بخاصية بالغة الأهمية لا تشترك فيها حزم الألياف من النوع C∞ الأكثر عمومية . وهي أن الفضاء المماسي T  v ( E x ) عند أي v ∈ E x يمكن تحديده بشكل طبيعي مع الليف E x نفسه. ويتحقق هذا التحديد من خلال الرفع الرأسي vl v : E x → T v ( E  x )، المعرّف على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

يمكن أيضًا اعتبار الرفع الرأسي بمثابة تماثل حزمة متجهات طبيعية من النوع C ^∞ p*E → VE ، حيث ( p*E , p*p , E ) هي حزمة السحب الخلفي لـ ( E , p , M ) على E من خلال p : E → M ، و VE  := Ker( p _* ) ⊂ TE هي حزمة المماس الرأسية ، _وهي حزمة فرعية متجهة طبيعية لحزمة المماس ( TE , πTE , E ) للفضاء الكلي E.

يحمل الفضاء الكلي E لأي حزمة متجهات ملساء حقل متجهات طبيعي V _v  := vl _v v ، يُعرف بحقل المتجهات القانوني . وبشكل أكثر دقة، فإن V هو مقطع أملس من ( TE , π _TE , E )، ويمكن تعريفه أيضًا على أنه المولد المتناهي الصغر لفعل زمرة لي${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$يُعطى بواسطة الضرب القياسي الليفي. يُحدد حقل المتجهات الكنسي V بنية حزمة المتجهات الملساء بشكل كامل على النحو التالي. كتمهيد، لاحظ أنه عندما يكون X حقل متجهات أملس على مشعب أملس M و x ∈ M بحيث X _x = 0، فإن التطبيق الخطي

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

لا يعتمد ذلك على اختيار المشتقة الخطية المتغيرة ∇ على M. يحقق حقل المتجهات الكنسي V على E البديهيات

1. يتم تعريف التدفق ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) لـ V بشكل عالمي.
2. لكل v ∈ V يوجد حد وحيد lim _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V .
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) عندما يكون V _v = 0.
4. مجموعة الصفر لـ V هي مجموعة فرعية ملساء من E يكون بُعدها المشترك مساويًا لرتبة C _v ( V ).

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت E أي مشعب أملس و V حقل متجه أملس على E يحقق 1-4، فإن هناك بنية حزمة متجهة فريدة على E يكون حقلها المتجه المتعارف عليه هو V.

لأي حزمة متجهات ملساء ( E , p , M )، _فإن الفضاء الكلي TE لحزمة المماس الخاصة بها ( TE , πTE , E ) له بنية حزمة متجهات ثانوية طبيعية ( TE , p _* , TM )، حيث p _* هو الدفع الأمامي للإسقاط الكنسي p : E → M. عمليات حزمة المتجهات في هذه البنية الثانوية هي الدفع الأمامي + _* : T ( E × E ) → TE وλ _* : TE → TE للجمع الأصلي +: E × E → E والضرب القياسي λ : E → E.

تُعرَّف مجموعة نظرية K، K ( X ) ، لفضاء طوبولوجي هاوسدورف مضغوط بأنها المجموعة الأبيلية المولدة بواسطة فئات التشاكل [ E ] لحزم المتجهات المركبة تحت عملية مجموعة مجموع ويتني ، بتردد العلاقة التي تنص على أنه كلما كان لدينا متتالية تامة$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$ ثم $${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$في نظرية K الطوبولوجية . تُعدّ نظرية KO نسخةً من هذا البناء الذي يأخذ في الاعتبار حزم المتجهات الحقيقية. كما يمكن تعريف نظرية K ذات الدعامات المدمجة ، بالإضافة إلى مجموعات نظرية K العليا.

تؤكد نظرية الدورية الشهيرة لراؤول بوت أن نظرية K لأي فضاء X متماثلة مع نظرية S ² X ، التعليق المزدوج لـ X.

في الهندسة الجبرية ، تُدرس مجموعات نظرية K المكونة من حزم متماسكة على مخطط X ، بالإضافة إلى مجموعات نظرية K لحزم المتجهات على المخطط مع علاقة التكافؤ المذكورة أعلاه . يتماثل هذان التركيبان بشكل طبيعي بشرط أن يكون المخطط الأساسي أملسًا .

• "حزمة المتجهات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• لماذا من المفيد دراسة حزم المتجهات  ؟ (على موقع MathOverflow)
• لماذا من المفيد تصنيف حزم المتجهات في الفضاء  ؟