مساحة التصنيف

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية التماثل ، يُعرَّف فضاء التصنيف BG لمجموعة طوبولوجية G بأنه خارج قسمة فضاء قابل للانكماش ضعيف EG (أي فضاء طوبولوجي جميع مجموعات التماثل فيه تافهة) على فعل حر مناسب لـ G. ويتميز هذا الفضاء بأن أي حزمة رئيسية لـ G فوق مشعب شبه متراص متماثل مع سحب عكسي للحزمة الرئيسية.هـجي→بجي{\displaystyle EG\to BG}[ 1 ] كما سيُشرح لاحقًا، يعني هذا أن الفضاءات المصنفة تُمثل دالة متعددة القيم على فئة التماثل للفضاءات الطوبولوجية. يُمكن أيضًا استخدام مصطلح "الفضاء المصنف" للفضاءات التي تُمثل دالة متعددة القيم على فئة الفضاءات الطوبولوجية ، مثل فضاء سيربينسكي . يُعمم هذا المفهوم بمفهوم " الطوبولوجيا المصنفة" . مع ذلك، يُناقش الجزء المتبقي من هذه المقالة المفهوم الأكثر شيوعًا للفضاء المصنف حتى التماثل.

بالنسبة لمجموعة منفصلة G ، فإن BG هو فضاء طوبولوجي متصل بالمسار X بحيث تكون المجموعة الأساسية لـ X متماثلة مع G وتكون مجموعات التماثل الأعلى لـ X تافهة ؛ أي أن BG هو فضاء Eilenberg–MacLane ، وتحديدًا K ( G , 1 ).

تحفيز

مثال على فضاء تصنيفي للمجموعة الدورية اللانهائية G هو الدائرة كـ X. عندما تكون G مجموعة منفصلة ، ​​فإن طريقة أخرى لتحديد الشرط على X هي أن الغطاء الشامل Y لـ X قابل للانكماش . في هذه الحالة، تكون خريطة الإسقاط

π:Y⟶X {\displaystyle \pi \colon Y\longrightarrow X\ }

يُصبح حزمة ليفية ذات زمرة هيكلية G ، بل حزمة رئيسية لـ G. ينبع الاهتمام بمفهوم الفضاء التصنيفي من حقيقة أن Y في هذه الحالة يتمتع بخاصية شاملة بالنسبة للحزم الرئيسية G ، في فئة التماثل . وهذا في الواقع أكثر أساسية من شرط تلاشي زمر التماثل العليا: فالفكرة الأساسية هي، بالنظر إلى G ، إيجاد فضاء قابل للانكماش Y تعمل عليه G بحرية . ( تربط فكرة التكافؤ الضعيف في نظرية التماثل بين النسختين). في حالة مثال الدائرة، ما يُقال هو أننا نلاحظ أن زمرة دورية لانهائية C تعمل بحرية على الخط الحقيقي R ، وهو قابل للانكماش. باعتبار X دائرة فضاء القسمة ، يمكننا اعتبار الإسقاط π من R = Y إلى X حلزونًا من الناحية الهندسية، يخضع للإسقاط من ثلاثة أبعاد إلى المستوى. ما يُدّعى هو أن π يتمتع بخاصية شاملة بين الحزم الرئيسية C. أن أي حزمة رئيسية من النوع C بطريقة محددة "تأتي من" π.

الشكلية

يأخذ بيان أكثر رسمية في الاعتبار أن G قد تكون زمرة طوبولوجية (وليست مجرد زمرة منفصلة )، وأن تأثيرات الزمرة على G تُعتبر متصلة؛ في غياب التأثيرات المتصلة، يمكن التعامل مع مفهوم فضاء التصنيف، من منظور التماثل، عبر بناء فضاء إيلنبرغ-ماكلين . في نظرية التماثل، يُعرَّف الفضاء الطوبولوجي BG ، وهو فضاء التصنيف للحزم الرئيسية على G ، إلى جانب الفضاء EG الذي يمثل الفضاء الكلي للحزمة الشاملة على BG . أي أن ما يُقدَّم هو في الواقع تطبيق متصل.

π:هـجي⟶بجي.{\displaystyle \pi \colon EG\longrightarrow BG.}

لنفترض من الآن فصاعدًا أن فئة التماثل لمجمعات CW هي الفئة الأساسية. ترتبط خاصية التصنيف المطلوبة لـ BG في الواقع بـ π. يجب أن نكون قادرين على القول أنه بالنظر إلى أي حزمة رئيسية G

γ:Y⟶Z {\displaystyle \gamma \colon Y\longrightarrow Z\ }

في الفضاء Z ، توجد خريطة تصنيف φ من Z إلى BG ، بحيثγ{\displaystyle \gamma } هو سحب π للخلف على طول φ. بعبارة أقل تجريدًا، بناءγ{\displaystyle \gamma }ينبغي أن يكون "الالتواء" قابلاً للاختزال عبر φ إلى الالتواء الذي تم التعبير عنه بالفعل من خلال بناء π.

لكي يكون هذا المفهوم مفيدًا، لا بد من وجود سبب يدعو للاعتقاد بوجود فضاءات BG . وقد قدمت الدراسات المبكرة في تصنيف الفضاءات بنىً (مثل بنية الشريط ) أعطت أوصافًا ملموسة لفضاءات BG باعتبارها مجمعًا تبسيطيًا لأي زمرة منفصلة. وتوضح هذه البنى الصلة بعلم تماثل الزمر .

على وجه التحديد، ليكن EG هو المركب التبسيطي الضعيف الذي تكون تبسيطاته من الرتبة n هي المجموعات المرتبة من الرتبة ( n + 1).[ز0،...،زن]{\displaystyle [g_{0},\ldots ,g_{n}]}من عناصر G. يرتبط هذا المُجَسَّم ذو n عنصرًا بالمُجَسَّمات (n-1).[ز0،...،ز^أنا،...،زن]{\displaystyle [g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]}بنفس الطريقة التي يتم بها تثبيت المجسم البسيط القياسي على أوجهه، حيثز^أنا{\displaystyle {\hat {g}}_{i}}هذا يعني حذف هذا الرأس. المركب EG قابل للانكماش. تؤثر المجموعة G على EG بالضرب من اليسار.

ز⋅[ز0،...،زن]=[زز0،...،ززن]،{\displaystyle g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}],}

والعنصر المحايد e فقط هو الذي يأخذ أي عنصر بسيط إلى نفسه. وبالتالي فإن تأثير G على EG هو تأثير فضاء تغطية وخريطة خارج القسمةهـجي→هـجي/جي{\displaystyle EG\to EG/G}هو الغطاء العالمي للفضاء المداريبجي=هـجي/جي{\displaystyle BG=EG/G}و BG هوك(جي،1){\displaystyle K(G,1)}[ 2 ]​

بصورة مجردة (وهي ليست تلك المستخدمة أصلاً حوالي عام 1950 عندما طُرحت الفكرة لأول مرة)، فإن هذا السؤال يدور حول ما إذا كان من الممكن تمثيل دالة معينة : الدالة المتغيرة عكسياً من فئة التماثل إلى فئة المجموعات ، المعرفة بواسطة

h ( Z ) = مجموعة فئات التشاكل للحزم الرئيسية G على Z.

إن معرفة الشروط المجردة لهذا ( نظرية براون للتمثيل ) تضمن أن النتيجة، كنظرية وجود ، إيجابية وليست صعبة للغاية.

أمثلة

  1. الدائرة​S1{\displaystyle S^{1}}هو فضاء تصنيفي للمجموعة الدورية اللانهائيةZ.{\displaystyle \mathbb {Z} .}المساحة الإجمالية هيهـZ=R.{\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}
  2. الحلقة n​تين{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}مساحة تصنيف لـZن{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}، وهي المجموعة الأبيلية الحرة من الرتبة n . الفضاء الكلي هوهـZن=Rن.{\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}
  3. يمثل إسفين الدوائر n فضاءً تصنيفياً للمجموعة الحرة ذات الرتبة n .
  4. السطح المتصل المغلق (أي المتراص وبدون حدود) S من جنس لا يقل عن 1 هو فضاء تصنيفي لمجموعته الأساسيةπ1(S).{\displaystyle \pi _{1}(S).}
  5. الفضاء الزائدي المتصل المغلق ( أي المتراص وبدون حدود) M هو فضاء تصنيفي لمجموعته الأساسيةπ1(م){\displaystyle \pi _{1}(M)}.
  6. إن المركب المكعب المحدود المتصل محليًا CAT(0) هو فضاء تصنيفي لمجموعته الأساسية .
  7. الفضاء الإسقاطي ذو الأبعاد اللانهائيةRP∞{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}(الحد المباشر للفضاءات الإسقاطية ذات الأبعاد المحدودة) هو فضاء تصنيفي للمجموعة الدوريةZ2=Z/2Z.{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}المساحة الإجمالية هيهـZ2=S∞{\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}(الحد المباشر للكرات)Sن.{\displaystyle S^{n}.}أو بدلاً من ذلك، يمكن استخدام فضاء هيلبرت مع إزالة نقطة الأصل؛ فهو قابل للانكماش).
  8. المساحةبZن=S∞/Zن{\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}هو فضاء التصنيف للمجموعة الدوريةZن.{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}هنا،S∞{\displaystyle S^{\infty }}يُفهم أن هي مجموعة فرعية معينة من فضاء هيلبرت اللانهائي الأبعادج∞{\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}مع إزالة الأصل؛ تعتبر المجموعة الدورية أنها تعمل عليه عن طريق الضرب بجذور الوحدة.
  9. مساحة التكوين غير المرتبةمؤتمر جامعة كونيتيكتن⁡(R2){\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}هي فضاء التصنيف لمجموعة جدائل أرتينبن{\displaystyle B_{n}}[ 3 ] ومساحة التكوين المرتبةمؤتمرن⁡(R2){\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}هو فضاء التصنيف لمجموعة ضفائر آرتين النقيةPن.{\displaystyle P_{n}.}
  10. مساحة التكوين (غير المرتبة)مؤتمر جامعة كونيتيكتن⁡(R∞){\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })} هو فضاء تصنيفي للمجموعة المتناظرةSن.{\displaystyle S_{n}.}[ 4 ]
  11. الفضاء الإسقاطي المركب ذو الأبعاد اللانهائيةجP∞{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}هل الفضاء التصنيفي BS 1 للدائرة S 1 يعتبر مجموعة طوبولوجية مضغوطة؟
  12. غراسمانيان​جير(ن،R∞){\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}من المستويات n في R∞{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}هي فضاء التصنيف للمجموعة المتعامدة O( n ) . الفضاء الكلي هوهـيا(ن)=V(ن،R∞){\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}، مشعب ستيفل للأطر المتعامدة ذات الأبعاد n فيR∞.{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}

التطبيقات

يبقى السؤال مطروحًا حول كيفية إجراء حسابات فعّالة باستخدام BG ؛ فعلى سبيل المثال، تُعدّ نظرية الفئات المميزة مماثلةً لحساب مجموعات التماثل لـ BG ، على الأقل ضمن حدود نظرية التماثل، وذلك بالنسبة للمجموعات المهمة G مثل مجموعات لي ( نظرية كارتان ). وكما أظهرت نظرية بوت الدورية ، فإن مجموعات التماثل لـ BG تُعدّ أيضًا ذات أهمية جوهرية.

من أمثلة الفضاءات التصنيفية أنه عندما تكون G دورية من الرتبة الثانية، فإن BG يكون فضاءً إسقاطيًا حقيقيًا لا نهائي الأبعاد، وهو ما يتوافق مع الملاحظة القائلة بأن EG يمكن اعتباره الفضاء القابل للانكماش الناتج عن إزالة نقطة الأصل في فضاء هيلبرت لا نهائي الأبعاد ، حيث تعمل G من خلال v الذي يؤول إلى −v ، مع مراعاة التكافؤ التماثلي عند اختيار BG . يوضح هذا المثال أن الفضاءات التصنيفية قد تكون معقدة.

فيما يتعلق بالهندسة التفاضلية ( نظرية تشيرن-ويل ) ونظرية غراسمان ، يُمكن اتباع نهج عملي أكثر في دراسة النظرية، لا سيما في حالات مثل الزمر الوحدوية التي تحظى بأهمية بالغة. وقد أظهر بناء مُركّب ثوم MG أن الفضاءات BG متضمنة أيضًا في نظرية التماثل ، ما جعلها تحتل مكانة مركزية في الاعتبارات الهندسية المنبثقة عن الطوبولوجيا الجبرية . وبما أن تماثل الزمر يُمكن تعريفه (في كثير من الحالات) باستخدام فضاءات التصنيف، فإنه يُمكن اعتباره أيضًا أساسيًا في كثير من الجبر التماثلي .

وتشمل التعميمات تلك الخاصة بتصنيف التوريقات ، والتصنيفات الطوبولوجية للنظريات المنطقية لحساب المسند في المنطق الحدسي التي تحل محل "فضاء النماذج".

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ستاشيف، جيمس د. (1971)، " فضاءات H والفضاءات التصنيفية: الأسس والتطورات الحديثة" ، الطوبولوجيا الجبرية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد 22، جامعة ويسكونسن، ماديسون، ويسكونسن، 1970) ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات  247-272، النظرية 2، doi : 10.1090/pspum/022/0321079 ، ISBN 978-0-8218-9308-1، MR 0321079 
  2. ↑ هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 89. ISBN  0-521-79160-X. OCLC 45420394 . 
  3. ↑ أرنولد، فلاديمير آي. (1969). "حلقة التماثل لمجموعة الجدائل الملونة". فلاديمير آي. أرنولد - الأعمال الكاملة . سبرينغر. ص 183-186 . doi : 10.1007/978-3-642-31031-7_18 . ISBN  978-3-642-31030-0.
  4. ↑ "تصنيف الفضاء في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-08-2017 .

مراجع