حزمة رئيسية

فوق كرة مفتوحة${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$، أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، مع الإحداثيات المستحثة${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$أي مدير${\displaystyle G}$الحزمة - متماثلة مع حزمة تافهة

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

وقسم أملس${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ويمكن التعبير عنها بشكل مكافئ بواسطة دالة (سلسة).${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$منذ

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

بالنسبة لدالة سلسة معينة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle G=U(2)}$، مجموعة لاي${\displaystyle 2\times 2}$إذا كانت المصفوفات وحدوية ، فيمكن إنشاء مقطع من خلال النظر في أربع دوال حقيقية القيمة

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

وتطبيقها على تحديد المعلمات

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$يُمكن تطبيق هذا الإجراء نفسه من خلال أخذ تمثيل معلمي لمجموعة من المصفوفات التي تُعرّف زمرة لي${\displaystyle G}$وبالنظر إلى مجموعة الدوال من رقعة من الفضاء الأساسي${\displaystyle U\subset X}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$وإدراجها في عملية تحديد المعلمات.

• المثال النموذجي للحزمة الرئيسية الملساء هو حزمة الإطار لمتشعب أملس${\displaystyle M}$، وغالبًا ما يُشار إليه${\displaystyle FM}$أو${\displaystyle GL(M)}$هنا، يمر الليف فوق نقطة${\displaystyle x\in M}$هي مجموعة جميع الإطارات (أي القواعد المرتبة) للفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}M}$المجموعة الخطية العامة${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$يتصرف بحرية وبشكل متعدٍ على هذه الإطارات. يمكن لصق هذه الألياف معًا بطريقة طبيعية للحصول على مادة أساسية${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$- حزمة فوق${\displaystyle M}$.
• تتضمن الاختلافات على المثال أعلاه حزمة الإطار المتعامد لمتشعب ريماني . هنا، يُشترط أن تكون الإطارات متعامدة بالنسبة للمقياس . مجموعة البنية هي المجموعة المتعامدة.${\displaystyle O(n)}$ينطبق المثال أيضًا على الحزم الأخرى غير حزمة المماس؛ إذا${\displaystyle E}$أي حزمة متجهة من الرتبة${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle M}$ثم حزمة الإطارات من${\displaystyle E}$هو مدير${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$- حزمة، يُشار إليها أحيانًا بـ${\displaystyle F(E)}$.
• مساحة تغطية عادية (منتظمة)${\displaystyle p:C\to X}$هي حزمة رئيسية حيث مجموعة البنية

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

يؤثر على ألياف${\displaystyle p}$عن طريق فعل المونودرومي . وعلى وجه الخصوص، الغطاء الشامل لـ${\displaystyle X}$هي حزمة رئيسية على${\displaystyle X}$مع مجموعة هيكلية${\displaystyle \pi _{1}(X)}$(بما أن الغطاء العالمي متصل ببساطة وبالتالي${\displaystyle \pi _{1}(C)}$(أمر تافه).

• يترك${\displaystyle G}$كن جماعة كاذبة ودع${\displaystyle H}$لتكن زمرة فرعية مغلقة (ليست بالضرورة طبيعية ). إذن${\displaystyle G}$هو مدير${\displaystyle H}$- حزمة فوق فضاء المشاركة (الأيسر)${\displaystyle G/H}$هنا فعل${\displaystyle H}$على${\displaystyle G}$هو ضرب من اليمين فقط. الألياف هي المشاركات اليسرى لـ${\displaystyle H}$(في هذه الحالة يوجد ليف مميز، وهو الليف الذي يحتوي على الهوية، والذي يكون متماثلاً بشكل طبيعي مع${\displaystyle H}$).
• ضع في اعتبارك الإسقاط${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$مقدم من${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$هذا المبدأ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$الحزمة - هي الحزمة المرتبطة بشريط موبيوس . إلى جانب الحزمة التافهة، هذه هي الحزمة الرئيسية الوحيدة${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$- حزمة فوق${\displaystyle S^{1}}$.
• تُقدّم الفضاءات الإسقاطية أمثلةً أخرى مثيرة للاهتمام للحزم الرئيسية. تذكّر أن${\displaystyle n}$- جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$هو مساحة تغطية مزدوجة للفضاء الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$التأثير الطبيعي لـ${\displaystyle O(1)}$على${\displaystyle S^{n}}$يمنحها بنية أساسية${\displaystyle O(1)}$- حزمة فوق${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$. على نفس المنوال،${\displaystyle S^{2n+1}}$هو مدير${\displaystyle U(1)}$- حزمة فوق فضاء إسقاطي معقد${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$و${\displaystyle S^{4n+3}}$هو مدير${\displaystyle Sp(1)}$- حزمة فوق فضاء إسقاطي رباعي${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ثم لدينا سلسلة من الحزم الرئيسية لكل قيمة موجبة${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

هنا${\displaystyle S(V)}$يرمز إلى كرة الوحدة في${\displaystyle V}$(مزودة بالمقياس الإقليدي). بالنسبة لجميع هذه الأمثلة${\displaystyle n=1}$تعطي الحالات ما يسمى بحزم هوبف .

من أهم الأسئلة المتعلقة بأي حزمة ليفية ما إذا كانت تافهة أم لا ، أي متماثلة مع حزمة ضربية. بالنسبة للحزم الرئيسية، يوجد توصيف مناسب للتفاهة:

الفرضية : الحزمة الرئيسية تكون تافهة إذا وفقط إذا كانت تقبل مقطعًا عالميًا .

لا ينطبق هذا الأمر عمومًا على حزم الألياف الأخرى. فعلى سبيل المثال، تحتوي حزم المتجهات دائمًا على مقطع صفري سواء كانت تافهة أم لا، وقد تحتوي حزم الكرات على العديد من المقاطع العالمية دون أن تكون تافهة.

ينطبق الأمر نفسه على التبسيطات المحلية للحزم الرئيسية. ليكن π  : P → X حزمة رئيسية من النوع G. تقبل المجموعة المفتوحة U في X تبسيطًا محليًا إذا وفقط إذا وُجد مقطع محلي على U. بفرض تبسيط محلي،

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

يمكن للمرء تحديد قسم محلي مرتبط

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

حيث e هي العنصر المحايد في G. وعلى العكس، عند إعطاء مقطع s، يُعرَّف تبسيط Φ بواسطة

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

تضمن خاصية التعدي البسيطة لفعل G على ألياف P أن هذا التطبيق تقابلي ، وهو أيضًا تماثل شكلي . إن التبسيطات المحلية المعرفة بواسطة المقاطع المحلية متغيرة بالنسبة لـ G بالمعنى التالي. إذا كتبنا

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

على شكل

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

ثم الخريطة

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

يرضي

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

وبالتالي، تحافظ عمليات التبسيط المتغيرة على بنية G -torsor للألياف. وباستخدام المقطع المحلي المرتبط s، تُعطى الخريطة φ بالصيغة التالية:

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

ثم تنص النسخة المحلية من نظرية المقطع العرضي على أن التبسيطات المحلية المتغيرة لحزمة رئيسية تتوافق بشكل واحد إلى واحد مع المقاطع المحلية.

_بالنظر إلى تبسيط محلي متكافئ ({ Uᵢ _} , {Φᵢ _} ) لـ P ، لدينا مقاطع محلية sᵢ على كل Uᵢ . في حالات التداخل _، يجب أن تكون هذه المقاطع مرتبطة بفعل مجموعة البنية G. في الواقع، يتم توفير هذه العلاقة بواسطة دوال الانتقال .

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

بربط التبسيطات المحلية معًا باستخدام دوال الانتقال هذه، يمكن إعادة بناء الحزمة الرئيسية الأصلية. هذا مثال على نظرية بناء حزمة الألياف . لأي x ∈ U _i ∩ U _j لدينا

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

لو${\displaystyle \pi :P\to X}$هو مبدأ سلس${\displaystyle G}$-الحزمة ثم${\displaystyle G}$يتصرف بحرية وبشكل سليم بشأن${\displaystyle P}$بحيث يكون فضاء المدار${\displaystyle P/G}$متماثل الشكل مع الفضاء الأساسي${\displaystyle X}$اتضح أن هذه الخصائص تميز تمامًا الحزم الرئيسية الملساء. أي، إذا${\displaystyle P}$هو مشعب أملس،${\displaystyle G}$جماعة كاذبة و${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$ثم إجراء صحيح سلس وحر وسليم

• ${\displaystyle P/G}$هو مشعب أملس،
• الإسقاط الطبيعي${\displaystyle \pi :P\to P/G}$هو غمر سلس ، و
• ${\displaystyle P}$هو مبدأ سلس${\displaystyle G}$- حزمة فوق${\displaystyle P/G}$.

بالنظر إلى مجموعة جزئية H من G، يمكن للمرء أن ينظر في الحزمة${\displaystyle P/H}$أليافها متماثلة طوبولوجيًا مع فضاء المشاركة${\displaystyle G/H}$إذا كانت الحزمة الجديدة تقبل مقطعًا عالميًا، فيمكن القول إن المقطع هو اختزال لمجموعة البنية من${\displaystyle G}$ل${\displaystyle H}$سبب هذه التسمية هو أن الصورة العكسية (على مستوى الألياف) لقيم هذا القسم تشكل حزمة فرعية من${\displaystyle P}$هذا مبدأ${\displaystyle H}$-الحزمة. إذا${\displaystyle H}$هي الهوية، ثم قسم من${\displaystyle P}$هي في حد ذاتها اختزال لمجموعة البنية إلى العنصر المحايد. وبشكل عام، لا توجد اختزالات لمجموعة البنية.

تُطرح العديد من الأسئلة الطوبولوجية حول بنية المتشعب أو بنية الحزم فوقه المرتبطة بمبدأ رئيسي.${\displaystyle G}$يمكن إعادة صياغة -bundle على أنها أسئلة حول مدى جواز اختزال مجموعة البنية (من${\displaystyle G}$ل${\displaystyle H}$). على سبيل المثال:

• أ${\displaystyle 2n}$تقبل مشعبة حقيقية ذات بُعد n بنية شبه معقدة إذا كانت حزمة الإطار على المشعبة، التي تكون أليافها${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$، ويمكن اختزالها إلى المجموعة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$.
• أن${\displaystyle n}$تقبل المتشعبات الحقيقية ذات الأبعاد n قيمة${\displaystyle k}$حقل المستوى إذا أمكن اختزال حزمة الإطار إلى مجموعة الهيكل${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• تكون المتشعبة قابلة للتوجيه إذا وفقط إذا كان من الممكن اختزال حزمة إطارها إلى المجموعة المتعامدة الخاصة .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• تتمتع المتشعبات ببنية دورانية إذا وفقط إذا كان من الممكن اختزال حزمة إطارها بشكل أكبر من${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ل${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$مجموعة الدوران ، التي تُطابق${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$كغلاف مزدوج.

ملاحظة أيضًا:${\displaystyle n}$تقبل المتشعبات ذات الأبعاد${\displaystyle n}$تكون الحقول المتجهة مستقلة خطيًا عند كل نقطة إذا وفقط إذا كانت حزمة إطارها تقبل مقطعًا عامًا. في هذه الحالة، يُطلق على المتشعب اسم قابل للتوازي .

لو${\displaystyle P}$هو مدير${\displaystyle G}$- حزمة و${\displaystyle V}$هو تمثيل خطي لـ${\displaystyle G}$ثم يمكن للمرء أن يبني حزمة متجهة${\displaystyle E=P\times _{G}V}$مع الألياف${\displaystyle V}$، باعتباره ناتج قسمة المنتج${\displaystyle P}$×${\displaystyle V}$بفعل التأثير القطري لـ${\displaystyle G}$هذه حالة خاصة من عملية بناء الحزمة المرتبطة ، و${\displaystyle E}$يُطلق عليه اسم حزمة المتجهات المرتبطة بـ${\displaystyle P}$إذا كان تمثيل${\displaystyle G}$على${\displaystyle V}$هو أمين ، بحيث${\displaystyle G}$هي مجموعة فرعية من المجموعة الخطية العامة GL(${\displaystyle V}$)، ثم${\displaystyle E}$هو${\displaystyle G}$- حزمة و${\displaystyle P}$يوفر ذلك تقليلًا لمجموعة الهيكل لحزمة الإطار لـ${\displaystyle E}$من${\displaystyle GL(V)}$ل${\displaystyle G}$هذا هو المعنى الذي تقدم به الحزم الرئيسية صياغة مجردة لنظرية حزم الإطار.