مساحة شبه مضغوطة

في الرياضيات ، الفضاء شبه المتراص هو فضاء طوبولوجي يكون فيه لكل غطاء مفتوح تكرير مفتوح محدود محليًا . وقد قدم ديودونيه (1944) هذه الفضاءات . كل فضاء متراص هو فضاء شبه متراص. ^{[ 1 ]} كل فضاء هاوسدورف شبه متراص هو فضاء طبيعي ، ويكون فضاء هاوسدورف شبه متراص إذا ^{[ 2 ]} وفقط إذا كان يقبل تجزئات الوحدة التابعة لأي غطاء مفتوح. أحيانًا تُعرَّف الفضاءات شبه المتراصة بحيث تكون دائمًا فضاءات هاوسدورف.

كل فضاء جزئي مغلق من فضاء شبه متراص هو فضاء شبه متراص. بينما تكون المجموعات الجزئية المتراصة من فضاءات هاوسدورف مغلقة دائمًا، فإن هذا لا ينطبق على المجموعات الجزئية شبه المتراصة. يُطلق على الفضاء الذي يكون كل فضاء جزئي منه فضاءً شبه متراص اسم الفضاء شبه المتراص وراثيًا . وهذا يُكافئ اشتراط أن يكون كل فضاء جزئي مفتوح شبه متراص.

يُدرس مفهوم الفضاء شبه المتراص أيضًا في الطوبولوجيا عديمة النقاط ، حيث يكون سلوكه أكثر انتظامًا. على سبيل المثال، حاصل ضرب أي عدد من المواقع شبه المتراصة هو موقع شبه متراص، لكن حاصل ضرب فضاءين شبه متراصين قد لا يكون شبه متراص. ^{[ 3 ] [ 4 ]} قارن هذا بنظرية تيكونوڤ ، التي تنص على أن حاصل ضرب أي مجموعة من الفضاءات الطوبولوجية المتراصة هو فضاء متراص. مع ذلك، فإن حاصل ضرب فضاء شبه متراص وفضاء متراص هو دائمًا شبه متراص.

كل فضاء متري هو فضاء متري شبه متراص. الفضاء الطوبولوجي قابل للقياس إذا وفقط إذا كان فضاء هاوسدورف شبه متراص وقابل للقياس محلياً .

غلاف مجموعة​​${\displaystyle X}$هي مجموعة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$اتحادها يحتوي​${\displaystyle X}$بالرموز، إذا${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$هي عائلة مفهرسة من المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle U}$هو غلاف لـ${\displaystyle X}$لو

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

غطاء فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون مفتوحة إذا كانت جميع أعضائها مجموعات مفتوحة . تحسين لتغطية مساحة ما${\displaystyle X}$هو غطاء جديد لنفس الفضاء بحيث تكون كل مجموعة في الغطاء الجديد مجموعة جزئية من مجموعة ما في الغطاء القديم. بالرموز، الغطاء${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$هو تحسين للغلاف${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$إذا وفقط إذا، لكل${\displaystyle V_{\beta }}$في${\displaystyle V}$يوجد بعض${\displaystyle U_{\alpha }}$في${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$.

غطاء مفتوح لمساحة${\displaystyle X}$تكون المجموعة محدودة محليًا إذا كان لكل نقطة في الفضاء جوار يتقاطع مع عدد محدود فقط من المجموعات في الغلاف. بالرموز،${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$تكون محدودة محليًا إذا وفقط إذا، لأي${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$يوجد بعض الأحياء${\displaystyle V}$ل${\displaystyle x}$بحيث تكون المجموعة

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}}$

محدود. فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$ويُقال الآن إنها شبه متراصة إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح محدود محليًا.

ينطبق هذا التعريف حرفيًا على المواقع، باستثناء ما هو محدود محليًا: غطاء مفتوح${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$تكون المجموعة منتهية محليًا إذا وفقط إذا كانت مجموعة الفتحات${\displaystyle V}$تلك التي تتقاطع مع عدد محدود فقط من الفتحات في${\displaystyle U}$كما تشكل غلافًا لـ${\displaystyle X}$لاحظ أن الغطاء المفتوح على فضاء طوبولوجي يكون محدودًا محليًا إذا وفقط إذا كان غطاءً محدودًا محليًا للموضع الأساسي.

• كل مساحة صغيرة هي مساحة شبه صغيرة.
• كل فضاء ليندلوف منتظم هو فضاء شبه متراص، وفقًا لنظرية مايكل في حالة هاوسدورف. ^{[ 5 ]} وعلى وجه الخصوص، كل فضاء هاوسدورف قابل للعد الثاني متراص محليًا هو فضاء شبه متراص.
• خط سورجنفري شبه مضغوط، على الرغم من أنه ليس مضغوطًا، أو مضغوطًا محليًا، أو قابلًا للعد الثاني، أو قابلًا للقياس.
• كل مركب CW هو مركب شبه مضغوط. ^{[ 6 ]}
• ( نظرية أ . هـ. ستون ) كل فضاء متري متراص جزئيًا. ^{[ 7 ]} كانت البراهين المبكرة معقدة نوعًا ما، لكن م.  إ.  رودين توصل إلى برهان أولي . ^{[ 8 ]} تتطلب البراهين الحالية لهذه النظرية بديهية الاختيار في حالة عدم الفصل . وقد ثبت أن نظرية ZF غير كافية لإثباتها، حتى بعد إضافة بديهية الاختيار التابع الأضعف. ^{[ 9 ]}
• فضاء هاوسدورف الذي يسمح بالاستنفاد بواسطة المجموعات المدمجة هو فضاء شبه مدمج.

تتضمن بعض الأمثلة على المساحات غير المتراصة ما يلي:

• أشهر مثال مضاد هو الخط الطويل ، وهو متعدد شعب طوبولوجي غير متراص . (الخط الطويل متراص محليًا، ولكنه ليس قابلًا للعد الثاني).
• مثال آخر مضاد هو ناتج عدد لا يُحصى من نسخ فضاء منفصل لانهائي . أي مجموعة لانهائية تحمل طوبولوجيا نقطية معينة ليست متراصة جزئيًا؛ بل إنها في الواقع ليست متراصة كليًا .
• إنّ مشعب بروفر P هو سطح غير متراص. (من السهل إيجاد غطاء مفتوح لا يُحصى لـ P دون أي نوع من التحسين).
• تُظهر نظرية المزمار أن هناك 2 ^{ℵ ₁} فئات تكافؤ طوبولوجية للأسطح غير المتراصة.
• مستوى سورجنفري ليس متوازياً متراصاً على الرغم من كونه ناتج ضرب فضاءين متوازيين متراصين.

خاصية التراص الجزئي وراثية ضعيفة، أي أن كل فضاء جزئي مغلق من فضاء متراص جزئياً هو متراص جزئياً. ويمكن تعميم ذلك على الفضاءات الجزئية من نوع F-sigma أيضاً. ^{[ 10 ]}

• ( نظرية مايكل ) الفضاء المنتظم شبه متراص إذا كان كل غطاء مفتوح يقبل تحسينًا محليًا محدودًا، ليس بالضرورة مفتوحًا. على وجه الخصوص، كل فضاء ليندلوف منتظم هو شبه متراص.
• ( نظرية سميرنوف للقياس ) الفضاء الطوبولوجي قابل للقياس إذا وفقط إذا كان متراصًا جزئيًا، وهاوسدورف، وقابلًا للقياس محليًا.
• تنص نظرية اختيار مايكل على أن الدوال المتعددة شبه المستمرة من الأسفل من X إلى المجموعات الفرعية المحدبة المغلقة غير الفارغة من فضاءات باناخ تقبل الاختيار المستمر إذا وفقط إذا كانت X متراصة جزئيًا.

على الرغم من أن ناتج ضرب الفضاءات شبه المتراصة ليس بالضرورة أن يكون شبه متراص، إلا أن ما يلي صحيح:

• ناتج ضرب فضاء شبه متراص وفضاء متراص هو فضاء شبه متراص.
• ناتج ضرب فضاء فائق التماسك وفضاء مضغوط هو فضاء فائق التماسك.

يمكن إثبات كلتا هاتين النتيجتين بواسطة نظرية الأنبوب التي تستخدم في إثبات أن حاصل ضرب عدد محدود من الفضاءات المدمجة يكون مدمجًا.

تتطلب المساحات شبه المدمجة أحيانًا أن تكون أيضًا من نوع هاوسدورف لتوسيع خصائصها.

• ( نظرية جان ديودونيه ) كل فضاء هاوسدورف شبه متراص هو فضاء طبيعي .
• كل فضاء هاوسدورف شبه متراص هو فضاء متقلص ، أي أن كل غطاء مفتوح لفضاء هاوسدورف شبه متراص له غطاء متقلص: غطاء مفتوح آخر مفهرس بنفس المجموعة بحيث يكون إغلاق كل مجموعة في الغطاء الجديد داخل المجموعة المقابلة في الغطاء القديم.
• في فضاءات هاوسدورف شبه المتراصة، تتساوى كل من تماثل الحزم وتماثل تشيك . ^{[ 11 ]}

تقسيمات الوحدة

أهم ما يميز فضاءات هاوسدورف شبه المتراصة هو أنها تقبل تجزئات الوحدة التابعة لأي غطاء مفتوح. وهذا يعني ما يلي: إذا كان X فضاء هاوسدورف شبه متراص مع غطاء مفتوح معطى، فإنه توجد مجموعة من الدوال المتصلة على X بقيم تقع في الفترة [0, 1] بحيث:

• لكل دالة f : X → R من المجموعة، توجد مجموعة مفتوحة U من الغطاء بحيث يكون دعم f موجودًا في U ؛   
• لكل نقطة x في X ، يوجد جوار V لـ x بحيث تكون جميع الدوال في المجموعة، باستثناء عدد محدود منها، تساوي 0 في V ويكون مجموع الدوال غير الصفرية يساوي 1 في V.

في الواقع، يكون الفضاء T1 _{هاوسدورف} ومتراصًا إذا وفقط إذا كان يقبل تجزئات الوحدة التابعة لأي غطاء مفتوح (انظر أدناه ). تُستخدم هذه الخاصية أحيانًا لتعريف الفضاءات المتراصة (على الأقل في حالة هاوسدورف).

تُعدّ تجزئة الوحدة مفيدة لأنها تسمح غالبًا بتوسيع البنى المحلية لتشمل الفضاء بأكمله. على سبيل المثال، يُعرَّف تكامل الأشكال التفاضلية على المشعبات شبه المدمجة محليًا أولًا (حيث يبدو المشعب كفضاء إقليدي ويكون التكامل معروفًا جيدًا)، ثم يُعمَّم هذا التعريف ليشمل الفضاء بأكمله عبر تجزئة الوحدة.

إثبات أن فضاءات هاوسدورف شبه المتراصة تقبل تقسيمات الوحدة

(انقر على "إظهار" على اليمين لرؤية الدليل أو "إخفاء" لإخفائه.)

مساحة هاوسدورف${\displaystyle X\,}$تكون المجموعة متراصة جزئيًا إذا وفقط إذا كان كل غطاء مفتوح لها يقبل تجزئة فرعية للوحدة. أما شرط " إذا " فهو واضح. أما شرط " فقط إذا" ، فسنقوم بذلك على عدة مراحل.

اللمة 1: إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$إذا كانت مجموعة مفتوحة محدودة محليًا، فإنه يوجد مجموعات مفتوحة${\displaystyle W_{U}\,}$لكل${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$بحيث يكون كل${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$و${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$هو تحسين محدود محليًا.

اللمة 2: إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$إذا كانت غطاءً مفتوحًا محدودًا محليًا، فإن الدوال المتصلة موجودة.${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$بحيث${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$ومثل ذلك${\displaystyle f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$هي دالة متصلة لا تساوي الصفر أبدًا ومحدودة.

نظرية: في فضاء هاوسدورف شبه متراص${\displaystyle X\,}$، لو${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$إذا كان غطاءً مفتوحًا، فإنه يوجد تقسيم للوحدة تابع له.

البرهان (الفرضية 1):

يترك${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$لتكن مجموعة المجموعات المفتوحة التي تلتقي فقط بعدد محدود من المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$، والتي يتم احتواء إغلاقها في مجموعة في${\displaystyle {\mathcal {O}}}$يمكن للمرء أن يتحقق كتمرين من أن هذا يوفر تحسينًا مفتوحًا، نظرًا لأن فضاءات هاوسدورف شبه المدمجة منتظمة، ولأن${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$هي محدودة محليًا. الآن استبدل${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$عن طريق تحسين مفتوح محدود محليًا. يمكن التحقق بسهولة من أن كل مجموعة في هذا التحسين لها نفس الخاصية التي ميزت الغطاء الأصلي.

والآن نحدد${\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,}$ملكية${\displaystyle {\mathcal {V}}\,}$يضمن أن كل${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$يحتوي على بعض${\displaystyle W_{U}}$. لذلك${\displaystyle \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,}$هو تحسين مفتوح لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$بما أننا${\displaystyle W_{U}\subseteq U}$، هذا الغطاء محدود محليًا على الفور.

والآن نريد أن نوضح أن كل${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,}$لكل${\displaystyle x\notin U}$سنثبت ذلك${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$بما أننا اخترنا${\displaystyle {\mathcal {V}}}$لكي تكون محدودة محليًا، فهناك جوار${\displaystyle V[x]}$ل${\displaystyle x}$بحيث يكون عدد المجموعات محدودًا فقط في${\displaystyle {\mathcal {V}}}$لها تقاطع غير فارغ مع${\displaystyle V[x]}$ونلاحظ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}}$أولئك الذين يندرجون ضمن تعريف${\displaystyle W_{U}}$لذلك يمكننا تحليل${\displaystyle W_{U}}$في جزأين:${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}}$الذين يتقاطعون ${\displaystyle V[x]}$والباقي${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}}$الذين لا يفعلون ذلك، مما يعني أنهم موجودون في المجموعة المغلقة${\displaystyle C:=X\setminus V[x]}$لدينا الآن${\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C}$. منذ${\displaystyle {\bar {A_{i}}}\subseteq U}$و${\displaystyle x\notin U}$لدينا${\displaystyle x\notin {\bar {A_{i}}}}$لكل${\displaystyle i}$وبما أن${\displaystyle C}$وهو مكمل لحي من${\displaystyle x}$،${\displaystyle x}$وهو ليس في${\displaystyle C}$لذلك لدينا${\displaystyle x\notin {\bar {W_{U}}}}$.

${\displaystyle \blacksquare \,}$(الفرضية 1)

البرهان (الفرضية 2):

بتطبيق اللمة 1، ليكن${\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,}$خرائط متصلة مع${\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,}$و${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,}$(بحسب مبرهنة أوريسون للمجموعات المغلقة المنفصلة في الفضاءات العادية، والتي يُعدّ فضاء هاوسدورف شبه المتراص أحدها). لاحظ أننا نعني هنا بنطاق الدالة النقاط التي لا تُسقط الدالة على الصفر (وليس إغلاق هذه المجموعة). لإثبات ذلك${\displaystyle f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,}$دائمًا ما تكون محدودة وغير صفرية، خذ${\displaystyle x\in X\,}$ودع${\displaystyle N\,}$حي من${\displaystyle x\,}$لا يتم مقابلة سوى عدد محدود من المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$؛ هكذا${\displaystyle x\,}$ينتمي إلى عدد محدود فقط من المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {O}}\,}$؛ هكذا${\displaystyle f_{U}(x)=0\,}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle U\,}$؛ علاوة على ذلك${\displaystyle x\in W_{U}\,}$بالنسبة للبعض${\displaystyle U\,}$، هكذا${\displaystyle f_{U}(x)=1\,}$؛ لذا${\displaystyle f(x)\,}$محدود و${\displaystyle \geq 1\,}$لضمان الاستمرارية، خذ${\displaystyle x,N\,}$كما كان من قبل، ودع${\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,}$وهو محدود؛ إذن${\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,}$وهي دالة متصلة؛ ومن ثم الصورة العكسية تحت${\displaystyle f\,}$في حي من${\displaystyle f(x)\,}$سيكون حيًا من${\displaystyle x\,}$.

${\displaystyle \blacksquare \,}$(الفرضية 2)

البرهان (النظرية):

يأخذ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$غطاء فرعي محدود محليًا لغطاء التحسين:${\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,}$بتطبيق اللمة 2، نحصل على دوال متصلة${\displaystyle f_{W}:X\to [0,1]\,}$مع${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$(وبالتالي فإن النسخة المغلقة المعتادة للدعم موجودة في بعض${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}\,}$لكل${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$والتي يشكل مجموعها دالة متصلة تكون دائمًا محدودة وغير صفرية (وبالتالي${\displaystyle 1/f\,}$(دالة موجبة مستمرة، ذات قيم محدودة). لذا، باستبدال كل${\displaystyle f_{W}\,}$بواسطة${\displaystyle f_{W}/f\,}$لدينا الآن - مع بقاء كل شيء على حاله - أن مجموعها موجود في كل مكان${\displaystyle 1\,}$وأخيراً لـ${\displaystyle x\in X\,}$، السماح${\displaystyle N\,}$أن تكون حيًا من${\displaystyle x\,}$لا يتم مقابلة سوى عدد محدود من المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}\,}$لدينا${\displaystyle f_{W}\upharpoonright N=0\,}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle W\in {\mathcal {O}}^{*}\,}$لأن كل${\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,}$وبالتالي لدينا تقسيم للوحدة تابع للغطاء المفتوح الأصلي.

${\displaystyle \blacksquare \,}$(ثيم)

ثمة تشابه بين تعريفَي التراص والتراص الجزئي: ففي التراص الجزئي، يُستبدل مصطلح "الغطاء الفرعي" بمصطلح "التنقيح المفتوح"، ويُستبدل مصطلح "المحدود" بمصطلح "المحدود محليًا". كلا هذين التغييرين مهمان: فإذا أخذنا تعريف التراص الجزئي وأعدنا "التنقيح المفتوح" إلى "الغطاء الفرعي"، أو "المحدود محليًا" إلى "المحدود"، فسنحصل في كلتا الحالتين على الفضاءات المتراصة.

لا علاقة للتراص الجزئي بمفهوم التراص، بل يتعلق الأمر أكثر بتقسيم كيانات الفضاء الطوبولوجي إلى أجزاء يمكن التعامل معها.

توجد عدة اختلافات لمفهوم التراص الجزئي. ولتعريفها، نحتاج أولاً إلى توسيع قائمة المصطلحات المذكورة أعلاه:

الفضاء الطوبولوجي هو:

• تكون المادة مضغوطة إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح بنقطة محدودة.
• orthocompact إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح بحيث يكون تقاطع جميع المجموعات المفتوحة حول أي نقطة في هذا التحسين مفتوحًا.
• طبيعي تمامًا إذا كان لكل غطاء مفتوح تحسين نجم مفتوح ، و T ₄ بالكامل إذا كان طبيعيًا تمامًا و T ₁ (انظر بديهيات الفصل ).

يمكن إضافة الظرف " بشكل قابل للعد " إلى أي من الصفات "paracompact" و "metacompact" و "fully normal" لجعل الشرط ينطبق فقط على الأغطية المفتوحة القابلة للعد .

كل مساحة شبه متراصة هي مساحة متراصة للغاية، وكل مساحة متراصة للغاية هي مساحة متراصة بشكل مستقيم.

• فضاء شبه مضغوط
• فضاء خارق للطبيعة

• ديودوني ، جان (1944)، “Une généralisation des spaces Compacts”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ، Neuvième Série، 23 : 65–76 ، ISSN 0021-7824 ، MR 0013297  
• دوجوندجي، جيمس (1966). الطوبولوجيا . بوسطن: ألين وبيكون. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• لين آرثر ستين وج . آرثر سيباخ الابن ، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا (الطبعة الثانية) ، سبرينغر فيرلاغ ، 1978، رقم ISBN 3-540-90312-7ص. 23
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-486-43479-6.
• ماثيو، أخيل (18 أغسطس 2010). "الطوبولوجيا/التراص الجزئي" .

• "الفضاء شبه المضغوط" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]