الفضاء الطبيعي

في علم الطوبولوجيا وفروع الرياضيات ذات الصلة ، يُعرَّف الفضاء الطبيعي بأنه فضاء طوبولوجي تكون فيه أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين تحتويان على جوارات مفتوحة منفصلة _. ولا يشترط أن تكون هذه الفضاءات هاوسدورفية بشكل عام. يُطلق على الفضاء الهاوسدورفي الطبيعي اسم فضاء T4 _. تُفصَّل تعزيزات هذه المفاهيم في المقال أدناه، وتشمل الفضاءات الطبيعية تمامًا والفضاءات الطبيعية المثالية ، بالإضافة إلى متغيراتها الهاوسدورفية: فضاءات T5 وفضاءات _T6 . جميع هذه الشروط أمثلة على بديهيات الفصل .

يُقال عن الفضاء الطوبولوجي X أنه فضاء طبيعي إذا كان، لأي مجموعتين مغلقتين منفصلتين E و F ، توجد جوارات U لـ E و V لـ F منفصلة أيضًا. وبشكل أكثر وضوحًا، ينص هذا الشرط على أنه يمكن فصل E و F بواسطة جوارات U و V.

الفضاء T ₄ هو فضاء T 1 _X طبيعي؛ وهذا يعادل كون X طبيعيًا وهاوسدورف .

مساحة طبيعية تمامًا ، أوالفضاء الطبيعي وراثيًا هو فضاء طوبولوجيXبحيث يكون كلفضاء جزئيمنXفضاءً طبيعيًا. ويتضح أنXيكون طبيعيًا تمامًا إذا وفقط إذاكان بالإمكان فصلمجموعتين منفصلتينXطبيعيًا تمامًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية مفتوحة منXطبيعية ذات طوبولوجيا الفضاء الجزئي.

الفضاء T ₅ ، أو الفضاء T ₄ تمامًا ، هو فضاء T ₁ طبيعي تمامًا X ، مما يعني أن X هو فضاء هاوسدورف ؛ بشكل مكافئ ، يجب أن يكون كل فضاء جزئي من X فضاء T ₄ .

الفضاء الطبيعي تمامًا هو فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$حيث كل مجموعتين مغلقتين منفصلتين${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$يمكن فصلها بدقة بواسطة دالة ، بمعنى أن هناك دالة متصلة${\displaystyle f}$من${\displaystyle X}$إلى الفترة${\displaystyle [0,1]}$بحيث${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=E}$و${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=F}$[ ^{1 ]} هذه خاصية فصل أقوى من خاصية الانتظام، حيث أنه وفقًا لفرضية أوريسون، ^يمكن فصل المجموعات المغلقة المنفصلة في فضاء طبيعي بواسطة دالة ، بمعنى${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(\{0\})}$و${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(\{1\})}$لكن ليس بشكل منفصل تمامًا بشكل عام. يتضح أن X يكون طبيعيًا تمامًا إذا وفقط إذا كان X طبيعيًا وكل مجموعة مغلقة هي مجموعة Gδ . وبالمثل، يكون X طبيعيًا تمامًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة مغلقة هي _مجموعة أصفار دالة متصلة . يُطلق على التكافؤ بين هذه الخصائص الثلاث اسم نظرية فيدينيسوف . ^{[ 2 ] [ 3 ]} كل فضاء طبيعي تمامًا هو فضاء طبيعي كليًا، لأن الطبيعية التامة خاصية وراثية . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

الفضاء T ₆ ، أو الفضاء T ₄ المثالي، هو فضاء هاوسدورف طبيعي تمامًا.

لاحظ أن مصطلحي "الفضاء الطبيعي" و"T ₄ " والمفاهيم المشتقة منهما قد يحملان معاني مختلفة أحيانًا. (مع ذلك، فإن "T ₅ " تعني دائمًا نفس معنى "T ₄ تمامًا "، بغض النظر عن معنى T ₄ ). التعريفات الواردة هنا هي الأكثر شيوعًا اليوم. لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، انظر تاريخ بديهيات الفصل .

تظهر مصطلحات مثل " الفضاء المنتظم العادي" و"فضاء هاوسدورف العادي" في المراجع العلمية، وهي تعني ببساطة أن الفضاء عادي ويستوفي الشرط الآخر المذكور. وبالتحديد، يُعد فضاء هاوسدورف العادي هو نفسه فضاء _T4 . ونظرًا للالتباس التاريخي في معنى هذه المصطلحات، فإن استخدام الأوصاف اللفظية عند الاقتضاء يكون مفيدًا، أي استخدام "هاوسدورف العادي" بدلًا من "T4 _" ، أو "هاوسدورف العادي تمامًا" بدلًا من "T5 _" .

تتم مناقشة الفضاءات العادية تمامًا والفضاءات T ₄ تمامًا في مكان آخر؛ وهي مرتبطة بالتراص الجزئي .

الفضاء الطبيعي الموضعي هو فضاء طوبولوجي حيث لكل نقطة جوار مفتوح طبيعي. كل فضاء طبيعي هو فضاء طبيعي موضعي، ولكن العكس غير صحيح. ومن الأمثلة الكلاسيكية على الفضاء الطبيعي الموضعي المنتظم تمامًا وغير الطبيعي في الوقت نفسه، مستوى نيميتسكي .

معظم الفضاءات التي يتم مواجهتها في التحليل الرياضي هي فضاءات هاوسدورف عادية، أو على الأقل فضاءات منتظمة عادية:

• جميع الفضاءات المترية (وبالتالي جميع الفضاءات القابلة للقياس ) هي فضاءات هاوسدورف طبيعية تمامًا؛
• جميع الفضاءات شبه المترية (وبالتالي جميع الفضاءات شبه المترية ) منتظمة تمامًا، على الرغم من أنها ليست هاوسدورف بشكل عام؛
• جميع فضاءات هاوسدورف المدمجة هي فضاءات عادية؛
• على وجه الخصوص، فإن تكثيف ستون-تشيك لفضاء تيكونوف هو هاوسدورف طبيعي؛
• بتعميم الأمثلة المذكورة أعلاه، فإن جميع فضاءات هاوسدورف شبه المدمجة هي فضاءات طبيعية، وجميع الفضاءات المنتظمة شبه المدمجة هي فضاءات طبيعية؛
• جميع المشعبات الطوبولوجية شبه المدمجة هي مشعبات هاوسدورف طبيعية تمامًا. ومع ذلك، توجد مشعبات غير شبه مدمجة ليست طبيعية حتى.
• جميع طوبولوجيات الترتيب على المجموعات المرتبة كليًا هي طبيعية وراثيًا وهاوسدورف.
• كل مساحة منتظمة قابلة للعد الثاني هي مساحة طبيعية تمامًا، وكل مساحة ليندلوف منتظمة هي مساحة طبيعية.

كذلك، فإن جميع الفضاءات الطبيعية تمامًا هي فضاءات طبيعية (حتى وإن لم تكن منتظمة). يُعد فضاء سيربينسكي مثالًا على فضاء طبيعي غير منتظم.

يُعطى مثال مهم على الطوبولوجيا غير الطبيعية من خلال طوبولوجيا زاريسكي على تنوع جبري أو على طيف حلقة ، والتي تستخدم في الهندسة الجبرية .

يُعدّ الفضاء الشعاعي الطوبولوجي لجميع الدوال من خط الأعداد الحقيقية R إلى نفسه، مع طوبولوجيا التقارب النقطي، فضاءً غير طبيعي ذو أهمية في التحليل . وبشكل أعم، تنصّ نظرية آرثر هارولد ستون على أن حاصل ضرب عدد لا يُحصى من الفضاءات المترية غير المتراصة لا يكون فضاءً طبيعيًا أبدًا.

كل مجموعة جزئية مغلقة من فضاء طبيعي هي فضاء طبيعي. الصورة المتصلة والمغلقة لفضاء طبيعي هي فضاء طبيعي. ^{[ 6 ]}

تكمن الأهمية الرئيسية للفضاءات العادية في حقيقة أنها تقبل "عددًا كافيًا" من الدوال الحقيقية المستمرة ، كما هو موضح في النظريات التالية الصالحة لأي فضاء عادي X.

تنصّ مبرهنة أوريسون على أنه إذا كانت A و B مجموعتين جزئيتين مغلقتين منفصلتين من X ، فإنه توجد دالة متصلة f من X إلى خط الأعداد الحقيقية R بحيث f ( x ) = 0 لكل x في A و f ( x ) = 1 لكل x في B. في الواقع، يمكننا اعتبار قيم f محصورة بالكامل في الفترة [0,1]. بعبارة أخرى، لا تفصل الجوارات فقط المجموعات المغلقة المنفصلة، ​​بل تفصلها أيضًا دالة .

وبشكل أكثر عمومية، تنص نظرية تمديد تيتز على ما يلي : إذا كانت A مجموعة فرعية مغلقة من X و f دالة متصلة من A إلى R ، فإنه توجد دالة متصلة F : X → R تقوم بتمديد f بمعنى أن F ( x ) = f ( x ) لجميع x في A.

الخريطة${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$تتمتع بخاصية الرفع بالنسبة لخريطة من فضاء طوبولوجي محدود معين بخمس نقاط (اثنتان مفتوحتان وثلاث مغلقة) إلى الفضاء بنقطة مفتوحة واحدة ونقطتين مغلقتين. ^{[ 7 ]}

إذا كانت U غطاءً مفتوحًا محدودًا محليًا لفضاء طبيعي X ، فإنه يوجد تجزئة للوحدة تابعة تمامًا لـ U. وهذا يوضح علاقة الفضاءات الطبيعية بالتراص الجزئي .

في الواقع، أي مساحة تستوفي أيًا من هذه الشروط الثلاثة يجب أن تكون طبيعية.

ليس بالضرورة أن يكون حاصل ضرب الفضاءات العادية فضاءً عاديًا. وقد أثبت روبرت سورجنفري هذه الحقيقة لأول مرة . ومن أمثلة هذه الظاهرة مستوى سورجنفري . في الواقع، بما أن هناك فضاءات دوكر ، فإن حاصل ضرب فضاء عادي مع [0, 1] ليس بالضرورة أن يكون عاديًا. كذلك، لا يشترط أن تكون مجموعة جزئية من فضاء عادي عادية (أي ليس كل فضاء هاوسدورف عادي هو فضاء هاوسدورف عادي تمامًا)، لأن كل فضاء تيكونوف هو مجموعة جزئية من تكثيف ستون-تشيك الخاص به (وهو فضاء هاوسدورف عادي). ومن الأمثلة الأكثر وضوحًا على ذلك لوح تيكونوف . الفئة الكبيرة الوحيدة من فضاءات حاصل ضرب الفضاءات العادية المعروفة بأنها عادية هي حاصل ضرب فضاءات هاوسدورف المتراصة، حيث يتم الحفاظ على كل من التراص ( نظرية تيكونوف ) وبديهية T2 _تحت أي حاصل ضرب. ^{[ 8 ]}

إذا كان الفضاء الطبيعي R⁰ _، فهو في الواقع فضاء منتظم تمامًا . وبالتالي، فإن أي فضاء من "طبيعي R⁰ _" إلى "طبيعي منتظم تمامًا" هو نفسه ما نسميه عادةً فضاءً _{منتظمًا} طبيعيًا . وبأخذ قسمة كولموغوروف ، نرى أن جميع الفضاءات الطبيعية T⁹ هي فضاءات تيكونوف . وهذه هي ما نسميها عادةً فضاءات هاوسدورف الطبيعية .

يُقال عن الفضاء الطوبولوجي أنه شبه طبيعي إذا وُجدت مجموعتان مغلقتان منفصلتان فيه، إحداهما قابلة للعد، وُجدت مجموعتان مفتوحتان منفصلتان تحتويان عليهما. كل فضاء طبيعي هو شبه طبيعي، ولكن ليس العكس.

يمكن إيجاد أمثلة مضادة لبعض الاختلافات في هذه العبارات في القوائم أعلاه. على وجه التحديد، فضاء سيربينسكي طبيعي ولكنه ليس منتظمًا، بينما فضاء الدوال من R إلى نفسه هو فضاء تيكونوڤ ولكنه ليس طبيعيًا.

• الفضاء الطبيعي التجميعي – خاصية للفضاءات الطوبولوجية أقوى من خاصية الطبيعية 
• الفضاء الطبيعي الرتيب – خاصية للفضاءات الطوبولوجية أقوى من خاصية الطبيعية. 

• إنجيلكينج، ريزارد ، الطوبولوجيا العامة ، هيلديرمان فيرلاج برلين، 1989. ISBN 3-88538-006-4
• كيموتو، نوبويوكي (2004). "مسلمات الفصل العليا". في: ك. ب. هارت؛ ج. ناجاتا؛ ج. إ. فوغان (محررون). موسوعة الطوبولوجيا العامة . أمستردام: إلسيفير ساينس . ISBN 978-0-444-50355-8.
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). برنتيس هول . ISBN 978-0-13-181629-9.
• سورجنفري، آر إتش (1947). "حول الضرب الطوبولوجي للفضاءات شبه المتراصة" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 53 ( 6): 631-632 . doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• ستون، أ.هـ. (1948). "التراص الجزئي والفضاءات المنتجة" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 54 ( 10): 977-982 . doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-486-43479-7.