المسافة الثانية القابلة للعد

في علم الطوبولوجيا ، يُعرف الفضاء القابل للعد من الدرجة الثانية ، والذي يُسمى أيضًا الفضاء القابل للفصل تمامًا ، بأنه فضاء طوبولوجي ذو قاعدة قابلة للعد . وبشكل أكثر تحديدًا، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle T}$تكون المجموعة قابلة للعد الثاني إذا وُجدت مجموعة قابلة للعد${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$من المجموعات الفرعية المفتوحة لـ${\displaystyle T}$بحيث أن أي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle T}$يمكن كتابتها كاتحاد لعناصر من عائلة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يُقال إن الفضاء القابل للعد من الدرجة الثانية يحقق البديهية الثانية للعد . ومثل بديهيات العد الأخرى ، فإن خاصية كونه قابلاً للعد من الدرجة الثانية تحد من عدد المجموعات الجزئية المفتوحة التي يمكن أن يمتلكها الفضاء.

العديد من الفضاءات " المنضبطة " في الرياضيات قابلة للعد من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي ( Rⁿ ⁾ بطوبولوجيته المعتادة قابل للعد من الدرجة الثانية. مع أن القاعدة المعتادة للكرات المفتوحة غير قابلة للعد ، يمكن حصرها في مجموعة جميع الكرات المفتوحة ذات أنصاف أقطار نسبية ومراكز ذات إحداثيات نسبية. هذه المجموعة المحدودة قابلة للعد وتشكل أساسًا.

يُعدّ مفهوم العدّ من الدرجة الثانية أقوى من مفهوم العدّ من الدرجة الأولى . يكون الفضاء قابلاً للعدّ من الدرجة الأولى إذا كانت لكل نقطة فيه قاعدة محلية قابلة للعدّ . وبالنظر إلى قاعدة لطوبولوجيا ما ونقطة x ، فإن مجموعة جميع مجموعات الأساس التي تحتوي على x تُشكّل قاعدة محلية عند x . وبالتالي، إذا كانت لدينا قاعدة قابلة للعدّ لطوبولوجيا ما، فإن لدينا قاعدة محلية قابلة للعدّ عند كل نقطة، ومن ثمّ فإن كل فضاء قابل للعدّ من الدرجة الثانية هو أيضاً فضاء قابل للعدّ من الدرجة الأولى. مع ذلك، فإن أي فضاء منفصل غير قابل للعدّ يكون قابلاً للعدّ من الدرجة الأولى ولكنه ليس قابلاً للعدّ من الدرجة الثانية.

يستلزم العدّ من الدرجة الثانية خصائص طوبولوجية أخرى. تحديدًا، كل فضاء قابل للعدّ من الدرجة الثانية يكون قابلاً للفصل (أي يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعدّ ) وليندلوف (أي أن كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء جزئي قابل للعدّ). لا تصحّ الاستدلالات العكسية. على سبيل المثال، طوبولوجيا الحد الأدنى على خط الأعداد الحقيقية قابلة للعدّ من الدرجة الأولى، وقابلة للفصل، وليندلوف، ولكنها ليست قابلة للعدّ من الدرجة الثانية. أما بالنسبة للفضاءات المترية ، فإن خصائص كونها قابلة للعدّ من الدرجة الثانية، وقابلة للفصل، وليندلوف متكافئة. ^{[ 1 ]} لذلك، فإن طوبولوجيا الحد الأدنى على خط الأعداد الحقيقية ليست قابلة للقياس.

في الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الثانية - كما هو الحال في الفضاءات المترية - تعتبر كل من التراص والتراص التسلسلي والتراص القابل للعد خصائص متكافئة.

تنص نظرية أوريسون للقياس على أن كل فضاء منتظم من نوع هاوسدورف وقابل للعد من الدرجة الثانية قابل للقياس . ويترتب على ذلك أن كل فضاء من هذا النوع يكون طبيعيًا تمامًا ومتراصًا جزئيًا . لذا، فإن قابلية العد من الدرجة الثانية خاصية مقيدة نوعًا ما على الفضاء الطوبولوجي، إذ لا تتطلب سوى بديهية الفصل لإثبات قابلية القياس.

• ضع في اعتبارك الاتحاد القابل للعد المنفصل${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$عرّف علاقة تكافؤ وطوبولوجيا قسمة بتحديد النهايات اليسرى للفترات - أي، حدد 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k وهكذا. X قابل للعد من الدرجة الثانية، باعتباره اتحادًا قابلًا للعد لفضاءات قابلة للعد من الدرجة الثانية. مع ذلك، فإن X /~ ليس قابلًا للعد من الدرجة الأولى عند المجموعة المشتركة للنقاط المحددة، وبالتالي فهو أيضًا ليس قابلًا للعد من الدرجة الثانية.
• الفضاء المذكور أعلاه ليس متماثلاً مع نفس مجموعة فئات التكافؤ المزودة بالمقياس الواضح: أي المسافة الإقليدية المنتظمة لنقطتين في نفس الفترة، ومجموع المسافات إلى النقطة اليسرى للنقاط التي لا تقع في نفس الفترة - مما ينتج عنه طوبولوجيا أكثر خشونة من الفضاء المذكور أعلاه. إنه فضاء متري قابل للفصل (انظر مجموعة النقاط النسبية)، وبالتالي فهو قابل للعد الثاني.
• الخط الطويل ليس قابلاً للعد الثاني، ولكنه قابل للعد الأول.

• ستيفن ويلارد، الطوبولوجيا العامة ، (1970) شركة أديسون ويسلي للنشر، ريدينغ، ماساتشوستس.
• جون ج. هوكينج وجيل س. يونج (1961). الطوبولوجيا. طبعة منقحة، دوفر، 1988. ISBN 0-486-65676-4