مساحة قابلة للفصل

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسم قابل للفصل إذا كان يحتوي على مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد ؛ أي أنه توجد متتالية(xن)ن=1∞{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}من عناصر الفضاء بحيث تحتوي كل مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من الفضاء على عنصر واحد على الأقل من المتتالية.

على غرار بديهيات العدّ الأخرى ، تُعدّ قابلية الفصل "قيدًا على الحجم"، ليس بالضرورة من حيث العدد الأصلي (مع أن هذا ما يحدث في وجود بديهية هاوسدورف ؛ انظر أدناه)، بل بمعنى طوبولوجي أدق. وبالتحديد، فإن كل دالة متصلة على فضاء قابل للفصل، وصورتها مجموعة جزئية من فضاء هاوسدورف، تُحدَّد بقيمها على المجموعة الجزئية الكثيفة القابلة للعدّ.

قارن بين قابلية الفصل والمفهوم ذي الصلة بالعد الثاني ، والذي يكون بشكل عام أقوى ولكنه مكافئ على فئة الفضاءات القابلة للقياس .

الأمثلة الأولى

أي فضاء طوبولوجي يكون محدودًا أو لانهائيًا قابلًا للعد يكون قابلًا للفصل، لأن الفضاء بأكمله عبارة عن مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من نفسه. ومن الأمثلة المهمة على الفضاء القابل للفصل غير القابل للعد خط الأعداد الحقيقية ، حيث تشكل الأعداد النسبية مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد. وبالمثل، فإن مجموعة جميع الأطوال-ن{\displaystyle n}متجهات الأعداد النسبية،ر=(ر1،...،رن)∈سؤالن{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}، هي مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من مجموعة جميع الأطوال-ن{\displaystyle n}متجهات الأعداد الحقيقية،Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لذلك لكلن{\displaystyle n}،ن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n قابل للفصل.

مثال بسيط على الفضاء غير القابل للفصل هو الفضاء المنفصل ذو العدد غير المعدود.

ترد أمثلة أخرى أدناه.

قابلية الفصل مقابل قابلية العد الثانية

أي مسافة ثانية قابلة للعد قابلة للفصل: إذا{يون}{\displaystyle \{U_{n}\}}هو أساس قابل للعد، باختيار أيxن∈يون{\displaystyle x_{n}\in U_{n}}من غير الفارغيون{\displaystyle U_{n}}تعطي مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد. وعلى العكس، يكون الفضاء المتري قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان قابلاً للعد من الدرجة الثانية، وهو ما يتحقق إذا وفقط إذا كان فضاء ليندلوف .

ولمزيد من المقارنة بين هاتين الخاصيتين:

  • الفضاء الجزئي التعسفي للفضاء القابل للعد الثاني هو فضاء قابل للعد الثاني؛ الفضاءات الجزئية للفضاءات القابلة للفصل ليست بالضرورة قابلة للفصل (انظر أدناه).
  • أي صورة متصلة لمساحة قابلة للفصل تكون قابلة للفصل ( ويلارد 1970 ، ث. 16.4أ) ؛ حتى خارج قسمة مساحة قابلة للعد الثاني لا يلزم أن يكون قابلاً للعد الثاني.
  • حاصل ضرب عدد لا يتجاوز عددًا متصلًا من الفضاءات القابلة للفصل هو فضاء قابل للفصل ( ويلارد 1970 ، ص 109، نظرية 16.4ج) . حاصل الضرب المعدود للفضاءات القابلة للعد من الدرجة الثانية هو فضاء قابل للعد من الدرجة الثانية، ولكن حاصل الضرب غير المعدود للفضاءات القابلة للعد من الدرجة الثانية قد لا يكون قابلًا للعد من الدرجة الأولى. 

يمكننا بناء مثال على فضاء طوبولوجي قابل للفصل وغير قابل للعد من الدرجة الثانية. لنفترض أي مجموعة غير قابلة للعد.X{\displaystyle X}اختر بعضًاx0∈X{\displaystyle x_{0}\in X}ونعرّف الطوبولوجيا بأنها مجموعة جميع المجموعات التي تحتوي علىx0{\displaystyle x_{0}}(أو تكون فارغة). ثم، إغلاقx0{\displaystyle {x_{0}}}الفضاء بأكمله (X{\displaystyle X}هي أصغر مجموعة مغلقة تحتوي علىx0{\displaystyle x_{0}})، ولكن كل مجموعة من الشكل{x0،x}{\displaystyle \{x_{0},x\}}مفتوح. لذلك، يمكن فصل الفضاء ولكن لا يمكن أن يكون له قاعدة قابلة للعد.

العددية

لا تفرض خاصية الفصل في حد ذاتها أي قيود على عدد عناصر الفضاء الطوبولوجي: فأي مجموعة مزودة بالطوبولوجيا التافهة تكون قابلة للفصل، وقابلة للعد من الدرجة الثانية، وشبه متراصة ، ومتصلة . تكمن "مشكلة" الطوبولوجيا التافهة في ضعف خصائص الفصل فيها: فخارج قسمة كولموغوروف الخاص بها هو فضاء ذو ​​نقطة واحدة.

يحتوي فضاء هاوسدورف القابل للعد من الدرجة الأولى والقابل للفصل (على وجه الخصوص، فضاء متري قابل للفصل) على عدد عناصر متصل على الأكثرج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}في مثل هذا الفضاء، يتم تحديد الإغلاق بواسطة نهايات المتتاليات، وأي متتالية متقاربة لها نهاية واحدة على الأكثر، لذلك توجد خريطة شاملة من مجموعة المتتاليات المتقاربة ذات القيم في المجموعة الفرعية الكثيفة القابلة للعد إلى نقاطX{\displaystyle X}.

يحتوي فضاء هاوسدورف القابل للفصل على عدد عناصر لا يتجاوز2ج{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}، أينج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}يمثل عدد عناصر المتصل. ولذلك، يتم تحديد هذا الإغلاق بدلالة حدود قواعد المرشحات : إذاY⊆X{\displaystyle Y\subseteq X}وz∈X{\displaystyle z\in X}، ثمz∈Y¯{\displaystyle z\in {\overline {Y}}}إذا وفقط إذا كان هناك أساس للتصفيةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يتألف من مجموعات فرعية منY{\displaystyle Y}ذلك يتقارب إلىz{\displaystyle z}عدد عناصر المجموعةS(Y){\displaystyle S(Y)}عدد قواعد الترشيح هذه هو على الأكثر22|Y|{\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}علاوة على ذلك، في فضاء هاوسدورف، يوجد حد واحد على الأكثر لكل قاعدة مرشح. لذلك، يوجد تطبيق شامل.S(Y)→X{\displaystyle S(Y)\rightarrow X}متىY¯=X.{\displaystyle {\overline {Y}}=X.}

تُثبت نفس الحجج نتيجة أكثر عمومية: لنفترض أن فضاءً طوبولوجيًا من نوع هاوسدورفX{\displaystyle X}يحتوي على مجموعة فرعية كثيفة من عدد العناصرκ{\displaystyle \kappa }. ثمX{\displaystyle X}عدد عناصرها على الأكثر22κ{\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}والعددية على الأكثر2κ{\displaystyle 2^{\kappa }}إذا كان قابلاً للعد أولاً.

إن حاصل ضرب عدد لا يتجاوز عددًا من الفضاءات القابلة للفصل هو فضاء قابل للفصل ( ويلارد 1970 ، ص 109، Th 16.4c) . وعلى وجه الخصوص، الفضاء RR{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}فضاء هاوسدورف قابل للفصل ذو عدد عناصر يساوي عدد عناصر جميع الدوال من الخط الحقيقي إلى نفسه، مزودًا بطوبولوجيا الضرب.2ج{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}وبشكل أعم، إذاκ{\displaystyle \kappa }إذا كان أي عدد أصلي لانهائي، فإن حاصل ضرب عدد لا نهائي من2κ{\displaystyle 2^{\kappa }}مساحات ذات مجموعات فرعية كثيفة بحجم لا يتجاوزκ{\displaystyle \kappa }تمتلك هي نفسها مجموعة فرعية كثيفة بحجم لا يتجاوزκ{\displaystyle \kappa }( نظرية هيويت-مارتشيفسكي-بونديتشيري ).

الرياضيات البنائية

تُعدّ قابلية الفصل ذات أهمية بالغة في التحليل العددي والرياضيات البنائية ، إذ إنّ العديد من النظريات التي يمكن إثباتها للفضاءات غير القابلة للفصل لا تُقدّم براهين بنائية إلا للفضاءات القابلة للفصل. ويمكن تحويل هذه البراهين البنائية إلى خوارزميات تُستخدم في التحليل العددي، وهي النوع الوحيد من البراهين المقبولة في التحليل البنائي. ومن الأمثلة الشهيرة على هذا النوع من النظريات نظرية هان-باناخ .

أمثلة أخرى

مساحات قابلة للفصل

  • كل فضاء متري مضغوط (أو فضاء قابل للقياس) قابل للفصل.
  • أي فضاء طوبولوجي هو اتحاد عدد قابل للعد من الفضاءات الجزئية القابلة للفصل يكون قابلاً للفصل. ويقدم هذان المثالان الأولان معًا برهانًا مختلفًا على ذلك.ن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n قابل للفصل.
  • المساحةج(ك){\displaystyle C(K)}جميع الدوال المتصلة من مجموعة جزئية مضغوطةك⊆R{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }إلى الخط الحقيقيR{\displaystyle \mathbb {R} }قابل للفصل.
  • مساحات ليبيغلص(X،μ){\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}، على مساحة قياس⟨X،م،μ⟩{\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle } تكون المجموعات التي يكون جبر سيجما الخاص بها مولدًا بشكل قابل للعد ويكون قياسها محدودًا من نوع سيجما، قابلة للفصل لأي1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }[ 1 ]​
  • المساحةج([0،1]){\displaystyle C([0,1])}الدوال الحقيقية المتصلة على الفترة [0، 1].[0،1]{\displaystyle [0,1]}مع مقياس التقارب المنتظم ، يكون الفضاء قابلاً للفصل، لأنه يتبع من نظرية تقريب فايرشتراس أن المجموعةسؤال[x]{\displaystyle \mathbb {Q} [x]}مجموعة كثيرات الحدود في متغير واحد ذات المعاملات النسبية هي مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد منج([0،1]){\displaystyle C([0,1])}تنص نظرية باناخ -مازور على أن أي فضاء باناخ قابل للفصل يكون متماثلًا قياسيًا مع فضاء خطي مغلق منج([0،1]){\displaystyle C([0,1])}.
  • يكون فضاء هيلبرت قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان له أساس متعامد معياري قابل للعد . ويترتب على ذلك أن أي فضاء هيلبرت قابل للفصل ولا نهائي الأبعاد يكون متساوي القياس مع الفضاءل2{\displaystyle l^{2}}من المتتابعات القابلة للجمع التربيعي.
  • من الأمثلة على المسافات القابلة للفصل والتي لا يمكن عدها مرتين خط سورجنفريS{\displaystyle \mathbb {S} }، مجموعة الأعداد الحقيقية المزودة بطوبولوجيا الحد الأدنى .
  • الجبر σ القابل للفصل هو جبر σF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هذا فضاء قابل للفصل عند اعتباره فضاءً متريًا بمقياسρ(أ،ب)=μ(أ△ب){\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}لأ،ب∈F{\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}ومقياس محدود معينμ{\displaystyle \mu }(ومع△{\displaystyle \triangle }(كونه عامل الفرق المتناظر ). [ 2 ]

مساحات غير قابلة للفصل

ملكيات

  • لا يشترط أن يكون الفضاء الجزئي من فضاء قابل للفصل قابلاً للفصل (انظر مستوى سورجنفري ومستوى مور )، ولكن كل فضاء جزئي مفتوح من فضاء قابل للفصل يكون قابلاً للفصل ( ويلارد 1970 ، نظرية 16.4ب) . كذلك، كل فضاء جزئي من فضاء متري قابل للفصل يكون قابلاً للفصل.
  • في الواقع، كل فضاء طوبولوجي هو فضاء جزئي من فضاء قابل للفصل له نفس العدد . يكفي إضافة عدد قابل للعد من النقاط: نقاط المجموعة الجزئية الكثيفة القابلة للعد من الفضاء القابل للفصل. يُقدَّم بناءٌ في ( سيربينسكي، 1952 ، ص 49) ؛ هذا البناء يُضمِّن كل فضاء هاوسدورف في فضاء هاوسدورف قابل للفصل. 
  • مجموعة جميع الدوال الحقيقية المتصلة على فضاء قابل للفصل لها عدد عناصر يساويج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}، عدد عناصر المتصل . وينتج هذا عن كون هذه الدوال محددة بقيمها على المجموعات الجزئية الكثيفة.
  • انطلاقاً من الخاصية المذكورة أعلاه، يمكن استنتاج ما يلي: إذا كان X فضاءً قابلاً للفصل وله فضاء جزئي منفصل مغلق غير قابل للعد، فإن X لا يمكن أن يكون فضاءً طبيعياً . وهذا يُبين أن مستوى سورجنفري ليس فضاءً طبيعياً.
  • بالنسبة لفضاء هاوسدورف مضغوط X ، فإن ما يلي متكافئ:
    1. X هو اسم ثانٍ قابل للعد.
    2. المساحةج(X،R){\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}الدوال الحقيقية المستمرة على X مع معيار السوبريموم قابلة للفصل.
    3. X قابل للقياس.

تضمين المساحات المترية القابلة للفصل

للمساحات غير القابلة للفصل :

  • الفضاء المتري ذو الكثافة التي تساوي عددًا أصليًا لانهائيًا α يكون متساوي القياس مع فضاء جزئي من C([0,1] α , R ) ، وهو فضاء الدوال الحقيقية المتصلة على حاصل ضرب α نسخة من الفترة 1. ( كليبر وبيرفين 1969 )

مراجع

  1. ^ دونالد ل. كوهن (2013). نظرية القياس . Birkhäuser النصوص المتقدمة Basler Lehrbücher. سبرينغر ساينس + وسائل الإعلام التجارية . دوى : 10.1007/978-1-4614-6956-8 . رقم ISBN 978-1-4614-6955-1.، الاقتراح 3.4.5.
  2. ↑ دزامونيا، ميرنا؛ كونين، كينيث (1995). "خصائص فئة الفضاءات المدمجة القابلة للفصل القياسي" (ملف PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Bibcode : 1994math......8201D . إذاμ{\displaystyle \mu }هو مقياس بوريلX{\displaystyle X}، جبر القياس لـ(X،μ){\displaystyle (X,\mu )}هي الجبر البولياني لجميع مجموعات بوريل moduloμ{\displaystyle \mu }يتم تعيين قيمة -null. إذاμ{\displaystyle \mu }إذا كانت المجموعة محدودة، فإن جبر القياس هذا هو أيضًا فضاء متري، حيث تكون المسافة بين المجموعتين هي مقياس الفرق المتناظر بينهما. عندئذٍ، نقول إنμ{\displaystyle \mu }يكون قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان هذا الفضاء المتري قابلاً للفصل كفضاء طوبولوجي.