التباين المحدود

التعريف 1.1. التغير الكلي لدالة حقيقية ذات قيم (أو بشكل أعم دالة مركبة ذات قيم) f ، معرفة على فترة${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$الكمية

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

حيث يتم أخذ القيمة العليا على المجموعة${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ هي تجزئة لـ }}[a,b]{\text{ تحقق }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ لـ }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$من بين جميع تقسيمات الفترة الزمنية المدروسة.

إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل ومشتقتها قابلة للتكامل وفقًا لريمان، فإن تغيرها الكلي هو المكون الرأسي لطول قوس الرسم البياني الخاص بها، أي

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

التعريف 1.2. دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$يُقال إن الدالة على خط الأعداد الحقيقية ذات تباين محدود ( دالة BV ) على فترة مختارة${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ إذا كان تباينها الكلي محدودًا، أي

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

يمكن إثبات أن الدالة الحقيقية${\displaystyle f}$يتميز بتغير محدود في${\displaystyle [a,b]}$إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابتها على شكل الفرق${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$من دالتين غير متناقصتين${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$على${\displaystyle [a,b]}$: هذه النتيجة تُعرف باسم تحليل جوردان للدالة وهي مرتبطة بتحليل جوردان للمقياس .

من خلال تكامل ستيلتجس ، يمكن لأي دالة ذات تغير محدود على فترة مغلقة أن تكون دالة ذات تغير محدود${\displaystyle [a,b]}$يُعرّف دالة خطية محدودة على${\displaystyle C([a,b])}$في هذه الحالة الخاصة، تنص نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني ^{[ 3 ]} على أن كل دالة خطية محدودة تنشأ بشكل فريد بهذه الطريقة. وتتوافق الدوال الموجبة المعيارية أو مقاييس الاحتمال مع الدوال الموجبة غير المتناقصة شبه المتصلة من الأسفل . وقد كان لهذا المنظور أهمية بالغة في نظرية الأطياف ^{[ 4 ]،} ولا سيما في تطبيقه على المعادلات التفاضلية العادية .

الدوال ذات التباين المحدود، أو دوال BV، هي دوال يكون مشتقها التوزيعي مقياس رادون محدودًا ^{[ 5 ]} . بتعبير أدق:

التعريف 2.1. ليكن${\displaystyle \Omega }$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$دالة${\displaystyle u}$ينتمي إلى${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$يقال إنها ذات تباين محدود ( دالة BV )، وتُكتب

${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

إذا وُجد مقياس رادون متجهي محدود${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$بحيث تتحقق المساواة التالية

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

إنه،${\displaystyle u}$يُعرّف دالة خطية على الفضاء${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$من الدوال المتجهة القابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$من الدعم المضغوط الموجود في${\displaystyle \Omega }$: قياس المتجهات${\displaystyle Du}$وبالتالي يمثل التدرج التوزيعي أو الضعيف لـ${\displaystyle u}$.

يمكن تعريف BV بشكل مكافئ بالطريقة التالية.

التعريف 2.2. بالنظر إلى دالة${\displaystyle u}$ينتمي إلى${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$، التباين الكلي لـ${\displaystyle u}$^{[ 6 ]} في${\displaystyle \Omega }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

أين${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$هو المعيار الأعلى الأساسي . في بعض الأحيان، وخاصة في نظرية مجموعات كاتشوبولي ، يتم استخدام الترميز التالي

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

وذلك للتأكيد على ذلك${\displaystyle V(u,\Omega )}$يمثل التغير الكلي للتدرج التوزيعي / الضعيف لـ${\displaystyle u}$يذكرنا هذا الترميز أيضًا بأنه إذا${\displaystyle u}$من فئة ${\displaystyle C^{1}}$(أي دالة متصلة وقابلة للتفاضل ولها مشتقات متصلة ) فإن تغيرها هو بالضبط تكامل القيمة المطلقة لتدرجها .

يمكن تعريف فضاء الدوال ذات التباين المحدود ( دوال BV ) على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

التعريفان متكافئان لأنه إذا${\displaystyle V(u,\Omega )<+\infty }$ثم

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

لذلك${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$يُعرّف دالة خطية متصلة على الفضاء${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$. منذ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$باعتبارها فضاءً فرعياً خطياً ، يمكن تمديد هذه الدالة الخطية المستمرة بشكل مستمر وخطي إلى الفضاء الكلي${\displaystyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$بحسب نظرية هان-باناخ . ومن ثم فإن الدالة الخطية المستمرة تحدد مقياس رادون بحسب نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني .

إذا كانت فضاء الدوال القابلة للتكامل محليًا ، أي الدوال التي تنتمي إلى${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$إذا تم اعتبار ، في التعريفات السابقة 1.2 و 2.1 و 2.2 بدلاً من تعريف الدوال القابلة للتكامل عالميًا ، فإن فضاء الدوال المُعرَّف هو فضاء الدوال ذات التغير المحدود محليًا . وبالتحديد، عند تطوير هذه الفكرة للتعريف 2.2 ، يُعرَّف التغير المحلي كما يلي:

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

لكل مجموعة${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$بعد أن حدد${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$باعتبارها مجموعة جميع المجموعات الفرعية المفتوحة قبل التراص من${\displaystyle \Omega }$فيما يتعلق بالطوبولوجيا القياسية للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ، وبناءً على ذلك، تُعرَّف فئة الدوال ذات التباين المحدود محليًا على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

توجد اصطلاحات أساسية مختلفة لترميز فضاءات الدوال ذات التباين المحدود محليًا أو عالميًا، وللأسف فهي متشابهة إلى حد كبير: الاصطلاح الأول، وهو المعتمد في هذه المقالة، يُستخدم على سبيل المثال في المراجع التالية: جوستي (1984) (جزئيًا)، هودجايف وفولبرت (1985) (جزئيًا)، جياكوينتا، موديكا وسوتشيك (1998) ، وهو الاصطلاح التالي.

• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$يحدد فضاء الدوال ذات التباين المحدود عالميًا
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )}$يحدد فضاء الدوال ذات التباين المحدود محليًا

أما الثاني، والذي تم اعتماده جزئياً في المراجع Vol'pert (1967) و Maz'ya (1985) ، فهو التالي:

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )}$يحدد فضاء الدوال ذات التباين المحدود عالميًا
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$يحدد فضاء الدوال ذات التباين المحدود محليًا

في حالة متغير واحد، يكون التأكيد واضحًا: لكل نقطة${\displaystyle x_{0}}$في الفترة${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$تعريف الدالة${\displaystyle u}$أي من العبارتين التاليتين صحيحة

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

بينما توجد كلتا النهايتين وهما محدودتان. في حالة الدوال ذات المتغيرات المتعددة، هناك بعض المقدمات التي يجب فهمها: أولاً وقبل كل شيء، يوجد سلسلة متصلة من الاتجاهات التي يمكن من خلالها الاقتراب من نقطة معينة.${\displaystyle x_{0}}$ينتمي إلى النطاق${\displaystyle \Omega }$⊂${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$من الضروري تحديد مفهوم مناسب للنهاية : اختيار متجه وحدة${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$من الممكن تقسيم${\displaystyle \Omega }$في مجموعتين

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

ثم لكل نقطة${\displaystyle x_{0}}$ينتمي إلى النطاق${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$وظيفة BV${\displaystyle u}$، واحدة فقط من العبارتين التاليتين صحيحة

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

أو${\displaystyle x_{0}}$ينتمي إلى مجموعة فرعية من${\displaystyle \Omega }$دفع صفر${\displaystyle n-1}$مقياس هاوسدورف ذو الأبعاد n . الكميات

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

تُسمى هذه الحدود التقريبية لدالة BV${\displaystyle u}$عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$.

الوظيفة​${\displaystyle V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$هي شبه متصلة من الأسفل : لرؤية ذلك، اختر متتالية كوشي من دوال BV${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$يتقارب إلى${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$ثم، بما أن جميع دوال المتتابعة ودالة نهايتها قابلة للتكامل ، وبحسب تعريف النهاية الدنيا

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}}$

والآن، بالنظر إلى القيمة العليا على مجموعة الدوال${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$بحيث${\displaystyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$عندئذٍ تتحقق المتباينة التالية

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

وهذا هو تعريف شبه الاستمرارية السفلية بالضبط .

بحسب التعريف${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$بينما تنبع الخطية من خصائص الخطية للتكامل المحدد ، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

للجميع${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$لذلك${\displaystyle u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$للجميع${\displaystyle u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$، و

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

للجميع${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$، لذلك${\displaystyle cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$للجميع${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$وكل شيء${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$تشير خصائص فضاء المتجهات المثبتة إلى أن${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$لننظر الآن إلى الدالة${\displaystyle \|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

أين${\displaystyle \|\;\|_{L^{1}}}$هو المعتاد${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$المعيار : من السهل إثبات أن هذا معيار على${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$. لرؤية ذلك${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$يُعتبر هذا الفضاء فضاءً باناخياً ، أي أنه فضاء باناخ ، ولنأخذ مثالاً على متتالية كوشي.${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$في${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$. بحسب التعريف، هي أيضًا متتالية كوشي في${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$وبالتالي له حد${\displaystyle u}$في${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$: منذ${\displaystyle u_{n}}$محصور في${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$لكل${\displaystyle n}$، ثم${\displaystyle \Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty }$عن طريق شبه استمرارية التغير السفلي${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$، لذلك${\displaystyle u}$هي دالة BV. وأخيرًا، مرة أخرى عن طريق شبه الاستمرارية السفلية، باختيار عدد موجب صغير عشوائي${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

نستنتج من ذلك أن${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$هو مستمر لأنه معيار.

ولتوضيح ذلك، يكفي النظر في المثال التالي الذي ينتمي إلى الفضاء${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$[ ^{7 ]} لكل 0 < α ^< 1 عرّف    

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

باعتبارها الدالة المميزة للفترة المغلقة من اليسار${\displaystyle [\alpha ,1]}$ثم اختيار${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,1]}$بحيث${\displaystyle \alpha \neq \beta }$العلاقة التالية صحيحة:

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2}$

الآن، لإثبات أن كل مجموعة جزئية كثيفة من${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)}$لا يمكن عدها ، يكفي أن نرى أنه لكل${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$من الممكن صنع الكرات

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}}$

من الواضح أن تلك الكرات منفصلة مثنى مثنى ، وهي أيضًا عائلة مفهرسة من المجموعات التي تكون مجموعة فهارسها هي${\displaystyle [0,1]}$وهذا يعني أن هذه العائلة لها عدد عناصر المتصل : الآن، بما أن كل مجموعة جزئية كثيفة من${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$يجب أن تحتوي كل مجموعة من هذه العائلة على نقطة واحدة على الأقل، وعدد عناصرها لا يقل عن عدد عناصر المتصل، وبالتالي لا يمكن أن تكون مجموعة جزئية قابلة للعد. ^{[ 8 ]} من الواضح أنه يمكن تعميم هذا المثال على أبعاد أعلى، وبما أنه لا يتضمن سوى خصائص محلية ، فإنه يعني أن الخاصية نفسها تنطبق أيضًا على${\displaystyle \operatorname {BV} _{loc}}$.

تُعدّ قواعد السلسلة للدوال غير الملساء بالغة الأهمية في الرياضيات والفيزياء الرياضية، نظرًا لوجود العديد من النماذج الفيزيائية المهمة التي تُوصف سلوكياتها بدوال أو دوال وظيفية ذات درجة محدودة جدًا من السلاسة . وقد أُثبتت قاعدة السلسلة التالية في ورقة بحثية ( فولبيرت، 1967 ، ص 248) . تجدر الإشارة إلى أنه يجب تفسير جميع المشتقات الجزئية تفسيرًا معمّمًا، أي كمشتقات معمّمة . 

نظرية . ليكن${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$أن تكون دالة من فئة${\displaystyle C^{1}}$(أي دالة متصلة وقابلة للتفاضل ولها مشتقات متصلة ) ولتكن${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$كن دالة في${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$مع${\displaystyle \Omega }$كونها مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ثم${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$و

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

أين${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$هي القيمة المتوسطة للدالة عند النقطة${\displaystyle x\in \Omega }$، كما هو مُعرَّف

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

صيغة أكثر عمومية لقاعدة السلسلة للدوال المتصلة ليبشيتز${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$تم اكتشاف هذه الصيغة بواسطة لويجي أمبروسيو وجياني دال ماسو ، ونُشرت في ورقة بحثية ( أمبروسيو ودال ماسو، 1990 ) . ومع ذلك، فإن لهذه الصيغة أيضًا عواقب مباشرة بالغة الأهمية: فنحن نستخدم${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$بدلاً من${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$، أين${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$وهو أيضًا${\displaystyle BV_{loc}}$الدالة. علينا أن نفترض أيضاً أن${\displaystyle {\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}$قابل للتكامل محليًا فيما يتعلق بالمقياس${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$لكل${\displaystyle i}$وذلك${\displaystyle {\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}$قابل للتكامل محليًا فيما يتعلق بالمقياس${\displaystyle {\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$لكل${\displaystyle i}$ثم اختيار${\displaystyle f((u,v))=uv}$تعطي الصيغة السابقة قاعدة لايبنتز لدوال "BV".

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

من الممكن تعميم المفهوم المذكور أعلاه للتغير الكلي بحيث يتم ترجيح التغيرات المختلفة بشكل مختلف. بتعبير أدق، ليكن${\displaystyle \varphi$ لتكن الدالة التالية دالة متزايدة بحيث${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$( دالة الوزن ) ولنفرض${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow X}$لتكن دالة من الفترة${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$أخذ القيم في فضاء متجه معياري${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$-تنوع من${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle [0,T]}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

حيث يتم، كالمعتاد، أخذ القيمة العليا على جميع التقسيمات المحدودة للفترة${\displaystyle [0,T]}$أي جميع المجموعات المنتهية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle t_{i}}$بحيث

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

إن المفهوم الأصلي للتغير الذي تم تناوله أعلاه هو حالة خاصة من${\displaystyle \varphi }$-التغير الذي تكون فيه دالة الوزن هي دالة التطابق : وبالتالي فهي دالة قابلة للتكامل${\displaystyle f}$يقال إنها دالة BV موزونة (من الوزن)${\displaystyle \varphi }$) إذا وفقط إذا كان${\displaystyle \varphi }$التباين محدود.

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

المساحة${\displaystyle \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)}$هو فضاء متجهي طوبولوجي بالنسبة للمعيار

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

أين${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$يشير إلى المعيار الأعلى المعتاد لـ${\displaystyle f}$تم تقديم دوال BV الموزونة ودراستها بشكل عام من قبل فلاديسلاف أورليتش وجوليان موسيالك في ورقة بحثية بعنوان Musielak & Orlicz 1959 : وقد درس لورانس تشيشولم يونغ هذه الحالة في وقت سابق.${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$أين${\displaystyle p}$هو عدد صحيح موجب.

تم تقديم دوال SBV ، أي الدوال الخاصة ذات التغير المحدود، بواسطة لويجي أمبروسيو وإنيو دي جورجي في ورقة بحثية ( أمبروسيو ودي جورجي 1988 ) ، والتي تتناول مسائل التغير الحر غير المستمر : بالنظر إلى مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle \Omega }$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، المساحة${\displaystyle \operatorname {SBV} (\Omega )}$هو فضاء خطي جزئي مناسب من${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$بما أن التدرج الضعيف لكل دالة تنتمي إليها يتكون تحديدًا من مجموع${\displaystyle n}$- الدعم البُعدي و${\displaystyle n-1}$- مقياس الدعم البُعدي ولا توجد مصطلحات وسيطة الأبعاد ، كما هو موضح في التعريف التالي.

التعريف . بالنظر إلى دالة قابلة للتكامل محليًا${\displaystyle u}$، ثم${\displaystyle u\in \operatorname {SBV} (\Omega )}$إذا وفقط إذا

1. توجد دالتان بوريل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$مجال​${\displaystyle \Omega }$والمجال المشترك${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. بالنسبة لجميع الدوال المتجهة القابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle \phi }$من الدعم المضغوط الموجود في${\displaystyle \Omega }$أي للجميع​${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$الصيغة التالية صحيحة:

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

أين${\displaystyle H^{\alpha }}$هو${\displaystyle \alpha }$- قياس هاوسدورف البُعدي .

يمكن الاطلاع على تفاصيل حول خصائص وظائف SBV في الأعمال المذكورة في قسم المراجع: على وجه الخصوص، تحتوي الورقة ( De Giorgi 1992 ) على قائمة مراجع مفيدة .

كمثالٍ خاص على فضاءات باناخ ، تناول دنفورد وشوارتز (1958 ، الفصل الرابع) فضاءات المتتاليات ذات التباين المحدود ، بالإضافة إلى فضاءات الدوال ذات التباين المحدود. يُعرَّف التباين الكلي لمتتالية x  =  ( xi ) من الأعداد الحقيقية أو _{المركبة كما يلي:}

${\displaystyle \operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

يُرمز إلى فضاء جميع المتتاليات ذات التباين الكلي المحدود بالرمز BV. ويُعطى معيار BV بالصيغة التالية:

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

وفقًا لهذا المعيار، فإن الفضاء BV هو فضاء باناخ متماثل مع${\displaystyle \ell _{1}}$.

يُعرّف التباين الكلي نفسه معيارًا على فضاء جزئي معين من BV، يُرمز إليه بـ BV ₀ ، ويتكون من متتابعات x = ( x _i ) التي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

يُرمز إلى المعيار على BV _{0 بـ}

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

بالنسبة لهذا المعيار، يصبح BV ₀ فضاء باناخ أيضًا، وهو متماثل ومتساوي القياس مع${\displaystyle \ell _{1}}$(وإن لم يكن ذلك بالطريقة الطبيعية).

مقياس موقع ( أو معقد )${\displaystyle \mu }$في مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$يقال إن له تباينًا محدودًا إذا كان تباينه الكلي${\displaystyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$محدود: انظر هالموس (1950 ، ص 123) ، كولموغوروف وفومين (1969 ، ص 346) أو المدخل " التغير الكلي " لمزيد من التفاصيل.  

تمت دراسة الدوال ذات التغير المحدود في سياق مجموعة عدم استمرارية الدوال وقابلية اشتقاق الدوال الحقيقية، والنتائج التالية معروفة جيدًا. إذا${\displaystyle f}$هي دالة حقيقية ذات تباين محدود على فترة${\displaystyle [a,b]}$ثم

• ${\displaystyle f}$متصلة باستثناء على الأكثر على مجموعة قابلة للعد ؛
• ${\displaystyle f}$لها حدود أحادية الجانب في كل مكان (حدود من اليسار في كل مكان في${\displaystyle (a,b]}$ومن اليمين في كل مكان${\displaystyle [a,b)}$ ؛
• المشتق​${\displaystyle f'(x)}$موجود في كل مكان تقريبًا (أي باستثناء مجموعة ذات قياس صفري ).

للدوال الحقيقية لعدة متغيرات حقيقية

• الدالة المميزة لمجموعة كاتشوبولي هي دالة BV: دوال BV تقع على أساس النظرية الحديثة للمحيطات.
• الأسطح الدنيا هي رسوم بيانية لوظائف BV: في هذا السياق، انظر المرجع ( Giusti 1984 ) .

إن قدرة دوال BV على التعامل مع حالات عدم الاستمرارية جعلت استخدامها واسع الانتشار في العلوم التطبيقية: فحلول مسائل الميكانيكا والفيزياء والحركية الكيميائية غالبًا ما يمكن تمثيلها بدوال ذات تغير محدود. ويفصّل كتاب ( هودجاييف وفولبرت ، 1985 ) مجموعة واسعة من تطبيقات دوال BV في الفيزياء الرياضية. كما يتضمن الكتاب تطبيقًا حديثًا يستحق وصفًا موجزًا.

• دالة مامفورد -شاه : مشكلة تجزئة الصورة ثنائية الأبعاد، أي مشكلة إعادة إنتاج الخطوط الخارجية وتدرجات الرمادي بدقة، تعادل تقليل هذه الدالة .
• إزالة التشويش بالتباين الكلي

• غولوبوف، بوريس إي.؛ فيتوشكين، أناتولي جي. (2001) [1994]، "تغير الدالة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• دالة BV . بلانيت ماث ..
• رولاند، تود ووايسشتاين، إريك دبليو. "التغير المحدود" . عالم الرياضيات .
• دالة التباين المحدود في موسوعة الرياضيات

• الصفحة الرئيسية للويجي أمبروسيو في المدرسة العليا العادية في بيزا . الصفحة الأكاديمية الرئيسية (مع النسخ الأولية والمنشورات) لأحد المساهمين في نظرية وتطبيقات دوال BV.
• مجموعة بحث في حساب التفاضل والتكامل ونظرية القياس الهندسي ، Scuola Normale Superiore di Pisa .

تتضمن هذه المقالة مواد من وظيفة BV على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .