معادلة تفاضلية جزئية غير خطية

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية ميكانيكا المتصل نظرية الفوضى الأنظمة الديناميكية العلوم الاجتماعية الاقتصاد ديناميكيات السكان قائمة المعادلات التفاضلية المسماة
تصنيف
أنواع عادي جزئي التفاضلية الجبرية التكامل التفاضلي كسري خطي غير خطي حسب نوع المتغير المتغيرات التابعة والمستقلة مستقل مقترن / غير مقترن بالضبط متجانس  / غير متجانس سمات طلب المشغل تدوين
العلاقة مع العمليات الفرق (التناظرية المنفصلة) عشوائي التحليل الجزئي العشوائي تأخير
حل
Existence and uniqueness Picard–Lindelöf theorem Peano existence theorem Carathéodory's existence theorem Cauchy–Kowalevski theorem
General topics Initial conditions Boundary values Dirichlet Neumann Robin Cauchy problem Wronskian Phase portrait Lyapunov / Asymptotic / Exponential stability Rate of convergence Series / Integral solutions Numerical integration Dirac delta function
Solution methods Inspection Method of characteristics Euler Exponential response formula Finite difference (Crank–Nicolson) Finite element Infinite element Finite volume Galerkin Petrov–Galerkin Green's function Integrating factor Integral transforms Perturbation theory Runge–Kutta Separation of variables Undetermined coefficients Variation of parameters
People
List Isaac Newton Gottfried Leibniz Jacob Bernoulli Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
v t e

في الرياضيات والفيزياء، المعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية هي معادلة تفاضلية جزئية ذات مصطلحات غير خطية . وهي تصف العديد من الأنظمة الفيزيائية المختلفة، بدءًا من الجاذبية إلى ديناميكا الموائع، وقد استُخدمت في الرياضيات لحل مشكلات مثل تخمين بوانكاريه وتخمين كالابي . من الصعب دراستها: لا توجد تقريبًا أي تقنيات عامة تعمل على جميع هذه المعادلات، وعادةً ما يتعين دراسة كل معادلة على حدة كمشكلة منفصلة.

يتم التمييز بين المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية عادةً من حيث خصائص العامل الذي يحدد المعادلة التفاضلية الجزئية نفسها. ^[1]

السؤال الأساسي لأي معادلة تفاضلية جزئية هو وجود وتفرد الحل لشروط حدودية معينة. بالنسبة للمعادلات غير الخطية، تكون هذه الأسئلة صعبة للغاية بشكل عام: على سبيل المثال، كان أصعب جزء من حل ياو لتخمين كالابي هو إثبات وجود معادلة مونج-أمبير . تعد المشكلة المفتوحة لوجود (ونعومة) الحلول لمعادلات نافير-ستوكس واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبع في الرياضيات.

الأسئلة الأساسية حول التفردات (تكوينها وانتشارها وإزالتها وانتظام الحلول) هي نفسها كما هو الحال بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية، ولكن كالمعتاد تكون دراستها أصعب بكثير. في الحالة الخطية، يمكن للمرء فقط استخدام مساحات التوزيعات، ولكن المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية لا يتم تعريفها عادةً على توزيعات عشوائية، لذلك يتم استبدال مساحات التوزيعات بتحسينات مثل مساحات سوبوليف .

يُعطى مثال على تكوين التفرد بواسطة تدفق ريتشي : أظهر ريتشارد س. هاملتون أنه على الرغم من وجود حلول قصيرة الوقت، إلا أن التفردات تتشكل عادةً بعد وقت محدود. اعتمد حل جريجوري بيرلمان لتخمين بوانكاريه على دراسة عميقة لهذه التفردات، حيث أظهر كيفية مواصلة الحل بعد التفردات.

يمكن في بعض الأحيان دراسة الحلول في جوار حل معروف من خلال خطية المعادلة التفاضلية الجزئية حول الحل. وهذا يتوافق مع دراسة الفضاء المماس لنقطة من فضاء المعاملات لجميع الحلول.

من الناحية المثالية، يرغب المرء في وصف مساحة (المعاملات) لجميع الحلول صراحةً، وبالنسبة لبعض معادلات التفاضل الجزئي الخاصة جدًا، يكون هذا ممكنًا. (بشكل عام، هذه مشكلة ميؤوس منها: من غير المرجح أن يكون هناك أي وصف مفيد لجميع حلول معادلة نافير-ستوكس على سبيل المثال، حيث يتضمن هذا وصف جميع حركات السوائل المحتملة.) إذا كانت المعادلة تحتوي على مجموعة تماثل كبيرة جدًا، فعادةً ما يكون المرء مهتمًا فقط بمساحة معاملات الحلول modulo مجموعة التماثل، وهذا في بعض الأحيان يكون متعدد الشعب المدمج ذي الأبعاد المحدودة، ربما مع تفردات؛ على سبيل المثال، يحدث هذا في حالة معادلات سيبيرج-ويتن . هناك حالة أكثر تعقيدًا بعض الشيء وهي معادلات يانغ-ميلز المزدوجة الذاتية، عندما تكون مساحة المعاملات محدودة الأبعاد ولكنها ليست مضغوطة بالضرورة، على الرغم من أنه يمكن ضغطها صراحةً في كثير من الأحيان. حالة أخرى يمكن للمرء فيها أحيانًا أن يأمل في وصف جميع الحلول هي حالة النماذج القابلة للتكامل تمامًا، عندما تكون الحلول أحيانًا نوعًا من تراكب الموجات الانعزالية ؛ يحدث هذا على سبيل المثال لمعادلة Korteweg – de Vries .

غالبًا ما يكون من الممكن كتابة بعض الحلول الخاصة صراحةً من حيث الدوال الأولية (على الرغم من أنه نادرًا ما يكون من الممكن وصف جميع الحلول بهذه الطريقة). إحدى طرق إيجاد مثل هذه الحلول الصريحة هي اختزال المعادلات إلى معادلات ذات أبعاد أقل، ويفضل أن تكون معادلات تفاضلية عادية، والتي غالبًا ما يمكن حلها بدقة. يمكن القيام بذلك أحيانًا باستخدام فصل المتغيرات ، أو من خلال البحث عن حلول متماثلة للغاية.

بعض المعادلات لها عدة حلول دقيقة مختلفة.

الحل العددي على الكمبيوتر هو الطريقة الوحيدة تقريبًا التي يمكن استخدامها للحصول على معلومات حول أنظمة عشوائية من المعادلات التفاضلية الجزئية. لقد تم إنجاز الكثير من العمل، ولكن لا يزال هناك الكثير من العمل لحل أنظمة معينة عدديًا، وخاصة بالنسبة لمعادلات نافير-ستوكس والمعادلات الأخرى المتعلقة بالتنبؤ بالطقس .

إذا كان من الممكن وضع نظام المعادلات التفاضلية الجزئية في شكل زوج متساهل

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=LA-AL}$

ثم يكون له عادة عدد لا نهائي من التكاملات الأولى، والتي تساعد على دراسته.

غالبًا ما تنشأ أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية على هيئة معادلات أويلر-لاجرانج لمشكلة متغيرة. يمكن حل أنظمة من هذا النوع أحيانًا من خلال إيجاد أقصى قيمة لمشكلة المتغير الأصلية.

غالبًا ما تكون المعادلات التفاضلية الجزئية التي تنشأ من الأنظمة القابلة للتكامل هي الأسهل في الدراسة، ويمكن حلها بالكامل في بعض الأحيان. ومن الأمثلة المعروفة معادلة كورتويج-دي فريس .

تحتوي بعض أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية على مجموعات تماثل كبيرة. على سبيل المثال، معادلات يانغ-ميلز ثابتة تحت مجموعة قياس لا نهائية الأبعاد ، والعديد من أنظمة المعادلات (مثل معادلات مجال أينشتاين ) ثابتة تحت التماثلات التفاضلية للمتعدد الشعب الأساسي. يمكن عادةً استخدام أي مجموعات تماثل كهذه للمساعدة في دراسة المعادلات؛ وخاصةً إذا كان أحد الحلول معروفًا، فيمكن للمرء بسهولة توليد المزيد من خلال العمل بمجموعة التماثل.

في بعض الأحيان تكون المعادلات مكافئة أو زائدية "بقياس فعل بعض المجموعات": على سبيل المثال، معادلة تدفق ريتشي ليست مكافئة تمامًا، ولكنها "مكافئة بقياس فعل مجموعة التفاضل"، مما يعني أنها تتمتع بمعظم الخصائص الجيدة للمعادلات المكافئة.

انظر القائمة الشاملة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية .

• معادلة أويلر-لاجرانج
• نظام غير خطي
• نظام قابل للتكامل
• تحويل التشتت العكسي
• معادلة التفاضل الجزئية التشتتية

• كالوجيرو، فرانشيسكو ؛ ديغاسبيريس، أنطونيو (1982)، التحويل الطيفي والانعزالية. المجلد الأول. أدوات لحل معادلات التطور غير الخطية والتحقيق فيها ، دراسات في الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 13، أمستردام-نيويورك: شركة نورث-هولاند للنشر، رقم ISBN 0-444-86368-0السيد 0680040 ​
• Pokhozhaev, SI (2001) [1994]، "معادلة تفاضلية جزئية غير خطية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• بوليانين، أندريه د.؛ زايتسيف، فالنتين ف. (2004)، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان وهول/سي آر سي، ص. xx+814، رقم ISBN 1-58488-355-3السيد 2042347 ​
• روبيشيك، ت. (2013)، المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية مع التطبيقات ، السلسلة الدولية للرياضيات العددية، المجلد 153 (الطبعة الثانية)، بازل، بوسطن، برلين: بيركهاوزر، doi :10.1007/978-3-0348-0513-1، ISBN 978-3-0348-0512-4السيد 3014456 ​
• سكوت، ألوين، محرر (2004)، موسوعة العلوم غير الخطية ، روتليدج، رقم ISBN 978-1-57958-385-9. بالنسبة للأخطاء، راجع هذا
• زويلينجر، دانييل (1998)، دليل المعادلات التفاضلية (الطبعة الثالثة)، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس، إنك، رقم ISBN 978-0-12-784396-4السيد 0977062 ​

• EqWorld، عالم المعادلات الرياضية
• ويكي المعادلة التفاضلية الجزئية التشتتية
• NEQwiki، موسوعة المعادلات غير الخطية أرشيف 2018-12-12 على موقع Wayback Machine