طريقة غاليركين

لنقدم طريقة غاليركين من خلال مسألة مجردة مطروحة كصيغة ضعيفة على فضاء هيلبرت${\displaystyle V}$أي

يجد${\displaystyle u\in V}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle v\in V:a(u,v)=f(v)}$.

هنا،${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$هو شكل ثنائي الخطية (المتطلبات الدقيقة على${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$سيتم تحديد ذلك لاحقاً) و${\displaystyle f}$دالة خطية محدودة على${\displaystyle V}$.

اختر مساحة فرعية${\displaystyle V_{n}\subset V}$ذات البعد n وحل المسألة المسقطة:

يجد${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$.

نُطلق على هذه المعادلة اسم معادلة غاليركين . لاحظ أن المعادلة لم تتغير، وأن الفضاءات فقط هي التي تغيرت. يسمح لنا اختزال المسألة إلى فضاء متجهي محدود الأبعاد بحسابها عدديًا.${\displaystyle u_{n}}$باعتبارها تركيبة خطية محدودة من متجهات الأساس في${\displaystyle V_{n}}$.

تتمثل الخاصية الأساسية لمنهج غاليركين في أن الخطأ يكون متعامدًا مع الفضاءات الفرعية المختارة. ${\displaystyle V_{n}\subset V}$، يمكننا استخدام${\displaystyle v_{n}}$كمتجه اختبار في المعادلة الأصلية. بطرح الاثنين، نحصل على علاقة تعامد غاليركين للخطأ.${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$وهو الخطأ بين حل المسألة الأصلية،${\displaystyle u}$وحل معادلة غاليركين،${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

بما أن الهدف من طريقة غاليركين هو إنتاج نظام خطي من المعادلات ، فإننا نبني شكلها المصفوفي، والذي يمكن استخدامه لحساب الحل خوارزميًا.

يترك${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$لتكون أساسًا لـ${\displaystyle V_{n}}$ثم، يكفي استخدام هذه بدورها لاختبار معادلة غاليركين، أي: إيجاد${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$بحيث

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

نحن نتوسع${\displaystyle u_{n}}$فيما يتعلق بهذا الأساس،${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$وأدخلها في المعادلة أعلاه، لتحصل على

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

هذه المعادلة السابقة هي في الواقع نظام معادلات خطي${\displaystyle Au=f}$، أين

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

منذ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ينطبق كل من التقييد والقطع الناقص للشكل الثنائي الخطي على${\displaystyle V_{n}}$لذلك، فإن خاصية التحديد الجيد لمسألة غاليركين موروثة في الواقع من خاصية التحديد الجيد للمسألة الأصلية.

الخطأ${\displaystyle u-u_{n}}$يُقرّ التقسيم بين الحل الأصلي وحل غاليركين بالتقدير

$\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

هذا يعني أنه حتى الثابت${\displaystyle C/c}$حل غاليركين${\displaystyle u_{n}}$ هو أقرب ما يكون إلى الحل الأصلي${\displaystyle u}$كما هو الحال مع أي متجه آخر في${\displaystyle V_{n}}$. وعلى وجه الخصوص، سيكون من الكافي دراسة التقريب بواسطة الفضاءات${\displaystyle V_{n}}$، متجاهلاً تماماً المعادلة التي يتم حلها.

لتبسيط العرض في القسم أعلاه، افترضنا أن الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle a(u,v)}$متناظر وموجب التحديد، مما يعني أنه حاصل ضرب قياسي والتعبير${\textstyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$في الواقع، هو معيار متجهي صالح، يُسمى معيار الطاقة . وبناءً على هذه الافتراضات، يمكن إثبات خاصية أفضل تقريب لغاليركين في معيار الطاقة بسهولة.

باستخدام خاصية التعامد من النوع a لغاليركين ومتباينة كوشي-شفارتز لمعيار الطاقة، نحصل على

$\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

القسمة على${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$وأخذ الحد الأدنى على كل ما هو ممكن${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$يثبت ذلك أن تقريب غاليركين${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$هو أفضل تقريب في معيار الطاقة داخل الفضاء الفرعي${\displaystyle V_{n}\subset V}$، أي${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ليس إلا المتجه المتعامد، بالنسبة للجداء القياسي${\displaystyle a(u,v)}$إسقاط الحل${\displaystyle u}$إلى الفضاء الفرعي${\displaystyle V_{n}}$.