تركيبة ضعيفة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ الصيغ الضعيفة أدوات لتحليل المعادلات الرياضية ، تسمح بنقل مفاهيم الجبر الخطي لحلّ مسائل في مجالات أخرى، مثل المعادلات التفاضلية الجزئية . في الصيغة الضعيفة، لا يُشترط أن تكون المعادلات أو الشروط مُحققة بشكل مطلق (بل إنّ هذا الشرط غير مُحدد بدقة)، وإنما يكون للمعادلة حلول ضعيفة فقط بالنسبة إلى "متجهات اختبار" أو " دوال اختبار " مُعينة. أما في الصيغة القوية ، فيتم بناء فضاء الحلول بحيث تكون هذه المعادلات أو الشروط مُحققة مُسبقًا.

توفر نظرية لاكس -ميلجرام ، التي سميت على اسم بيتر لاكس وآرثر ميلجرام اللذين أثبتاها في عام 1954، صياغات ضعيفة لأنظمة معينة على فضاءات هيلبرت .

المفهوم العام

يتركV{\displaystyle V}ليكن فضاء باناخ ،V′{\displaystyle V'}ليكن الفضاء المزدوج لـV{\displaystyle V}، يتركأ:V→V′{\displaystyle A\colon V\to V'}لتكن دالة خطية ، ولتكنو∈V′{\displaystyle f\in V'}متجهu∈V{\displaystyle u\in V}هو حل للمعادلة

أu=و{\displaystyle Au=f}

إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميعv∈V{\displaystyle v\in V}،

(أu)(v)=و(v).{\displaystyle (Au)(v)=f(v).}

اختيار محدد لـv{\displaystyle v}يُطلق عليه اسم متجه الاختبار (بشكل عام) أو دالة الاختبار (إذاV{\displaystyle V}(هو فضاء دالة).

لتحويل هذا إلى الصيغة العامة للصيغة الضعيفة، ابحث عنu∈V{\displaystyle u\in V}بحيث

أ(u،v)=و(v)∀v∈V،{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}

من خلال تعريف الشكل الثنائي الخطي

أ(u،v):=(أu)(v).{\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}

مثال 1: نظام المعادلات الخطية

والآن، لنبدأV=Rن{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}وأ:V→V{\displaystyle A:V\to V}ليكن تطبيقًا خطيًا . عندئذٍ، الصيغة الضعيفة للمعادلة

أu=و{\displaystyle Au=f}

يتضمن ذلك إيجادu∈V{\displaystyle u\in V}بحيث يكون ذلك لجميعv∈V{\displaystyle v\in V}المعادلة التالية صحيحة:

⟨أu،v⟩=⟨و،v⟩،{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}

أين⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }يشير إلى الضرب الداخلي .

بما أن الضرب الداخلي ثنائي الخطية، يكفي الاختبار باستخدام متجهات الأساس ، فنحصل على

⟨أu،هـأنا⟩=⟨و،هـأنا⟩،أنا=1،...،ن.{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}

في الواقع، التوسعu=∑ج=1نuجهـج{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}وبذلك نحصل على الصيغة المصفوفية للمعادلة

أu=و،{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}

أينأأناج=⟨أهـج،هـأنا⟩{\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }ووأنا=⟨و،هـأنا⟩{\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }.

الصيغة الثنائية الخطية المرتبطة بهذه الصيغة الضعيفة هي

أ(u،v)=vتيأu.{\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}

مثال 2: معادلة بواسون

لحل معادلة بواسون

-∇2u=و،{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}

على نطاقΩ⊂Rد{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}معu=0{\displaystyle u=0}على حدودها ، ولتحديد فضاء الحلV{\displaystyle V}لاحقاً، يمكن للمرء استخدامل2{\displaystyle L^{2}}- الضرب القياسي

⟨u،v⟩=∫Ωuvدx{\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}

لاستنتاج الصيغة الضعيفة. ثم، يتم الاختبار باستخدام الدوال القابلة للتفاضل.v{\displaystyle v}العائد

-∫Ω(∇2u)vدx=∫Ωوvدx.{\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}

يمكن جعل الجانب الأيسر من هذه المعادلة أكثر تناظرًا عن طريق التكامل بالتجزئة باستخدام متطابقة غرين وبافتراض أنv=0{\displaystyle v=0}على∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }:

∫Ω∇u⋅∇vدx=∫Ωوvدx.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}

هذا ما يُطلق عليه عادةً الصيغة الضعيفة لمعادلة بواسون . الدوال في فضاء الحلV{\displaystyle V}يجب أن تكون قيمتها صفرًا على الحدود، وأن تكون مشتقاتها قابلة للتكامل التربيعي . الفضاء المناسب لتحقيق هذه المتطلبات هو فضاء سوبوليف.ح01(Ω){\displaystyle H_{0}^{1}(\أوميغا )}من الدوال ذات المشتقات الضعيفة فيل2(Ω){\displaystyle L^{2}(\أوميغا )}وبشروط حدودية معدومة، لذلكV=ح01(Ω){\displaystyle V=H_{0}^{1}(\أوميغا )}.

يتم الحصول على الشكل العام عن طريق تعيين

أ(u،v)=∫Ω∇u⋅∇vدx{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}

و

و(v)=∫Ωوvدx.{\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}

نظرية لاكس-ميلجرام

هذه صياغة لنظرية لاكس-ميلغرام تعتمد على خصائص الجزء المتناظر من الصيغة الثنائية الخطية . وهي ليست الصيغة الأكثر عمومية.

يتركV{\displaystyle V}كن مساحة هيلبرت حقيقية وأ(⋅،⋅){\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}شكل ثنائي الخطية علىV{\displaystyle V}، وهو

  1. محدود :|أ(u،v)|≤ج‖u‖‖v‖؛{\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}و
  2. قسري :أ(u،u)≥ج‖u‖2.{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}

ثم، لأي محدودو∈V′{\displaystyle f\in V'}يوجد حل فريدu∈V{\displaystyle u\in V}إلى المعادلة

أ(u،v)=و(v)∀v∈V{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}

وهو يثبت

‖u‖≤1ج‖و‖V′.{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}

تطبيق على المثال 1

هنا، يُعد تطبيق نظرية لاكس-ميلجرام نتيجة أقوى مما هو مطلوب.

  • التقييد: جميع الأشكال الثنائية الخطية علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}محدودة. على وجه الخصوص، لدينا|أ(u،v)|≤‖أ‖‖u‖‖v‖{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}
  • الإكراه: هذا يعني في الواقع أن الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية لـأ{\displaystyle A}ليست أصغر منج{\displaystyle c}وبما أن هذا يعني على وجه الخصوص أنه لا توجد قيمة ذاتية تساوي صفرًا، فإن النظام قابل للحل.

بالإضافة إلى ذلك، ينتج عن هذا التقدير ‖u‖≤1ج‖و‖،{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,} أينج{\displaystyle c}هو الجزء الحقيقي الأدنى من قيمة ذاتية لـأ{\displaystyle A}.

تطبيق على المثال 2

اختر من هناV=ح01(Ω){\displaystyle V=H_{0}^{1}(\أوميغا )}مع الوضع الطبيعي ‖v‖V:=‖∇v‖،{\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}

حيث يكون المعيار على اليمين هول2{\displaystyle L^{2}}- الوضع الطبيعيΩ{\displaystyle \Omega }(هذا يوفر معيارًا حقيقيًا بشأنV{\displaystyle V}(باستخدام متباينة بوانكاريه ). لكننا نرى أن|أ(u،u)|=‖∇u‖2{\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}وبحسب متباينة كوشي-شفارتز ،|أ(u،v)|≤‖∇u‖‖∇v‖{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}.

لذلك، بالنسبة لأيو∈[ح01(Ω)]′{\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}يوجد حل فريدu∈V{\displaystyle u\in V}معادلة بواسون ولدينا التقدير

‖∇u‖≤‖و‖[ح01(Ω)]′.{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}

انظر أيضاً

مراجع