الأساس (الجبر الخطي)

في الرياضيات ، تُسمى مجموعة B من عناصر فضاء متجهي V أساسًا ( جمعها : أسسًا ) إذا أمكن كتابة كل عنصر من V بطريقة فريدة كتركيبة خطية منتهية من عناصر B. تُسمى معاملات هذه التركيبة الخطية مركبات أو إحداثيات المتجه بالنسبة إلى B. تُسمى عناصر الأساسمتجهات الأساس .

بصورة مكافئة، تُعتبر المجموعة B أساسًا إذا كانت عناصرها مستقلة خطيًا، وكان كل عنصر من عناصر V عبارة عن توليفة خطية من عناصر B. بعبارة أخرى، الأساس هو مجموعة مولدة مستقلة خطيًا .

يمكن أن يحتوي الفضاء المتجهي على عدة قواعد؛ ومع ذلك، فإن جميع القواعد لها نفس عدد العناصر، وهو ما يسمى بُعد الفضاء المتجهي.

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. ومع ذلك، فإن العديد من المبادئ صالحة أيضًا للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد غير المحدودة.

تُستخدم متجهات الأساس في دراسة الهياكل البلورية وأطر المرجعية .

أساس B لفضاء متجهي V على حقل F (مثل الأعداد الحقيقية )${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$) هي مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V تولد V. هذا يعني أن المجموعة الجزئية B من V هي أساس إذا كانت تحقق الشرطين التاليين: ^{[ 1 ]}

• الاستقلال الخطي : لكل مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$من B ، إذا${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$بالنسبة للبعض${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$في فا ، ثم${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$و ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• خاصية الامتداد: لكل متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$في${\displaystyle V}$يمكن للمرء أن يختار${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$في${\displaystyle F}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$في${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle \mathbb {v} }$يمكن تمثيلها كمزيج خطي من بعض المتجهات في${\displaystyle B}$[ ^{1 ]​}

يمكن صياغة الخاصية الأولى بشكل مكافئ على النحو التالي: إذا كان التركيب الخطي للمتجهات في B يساوي المتجه الصفري، فإن جميع المعاملات العددية للتركيب يجب أن تكون صفرًا.

إذا كانت B أساسًا لـ V ، فإن كل متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$يمكن كتابة V كمزيج خطي من متجهات في B (بفضل خاصية التوليد)؛ ويترتب على الاستقلال الخطي أنه يمكن القيام بذلك بطريقة واحدة فقط. وبالتالي، فإن المعاملات العددية${\displaystyle a_{i}}$تُحدد العناصر التي تظهر في هذا التركيب بشكل فريد؛ وتُسمى إحداثيات${\displaystyle \mathbf {v} }$فيما يتعلق بالأساس${\displaystyle B}$.

يُطلق على الفضاء المتجهي الذي له أساس منتهٍ اسم الفضاء المحدود الأبعاد . في هذه الحالة، يمكن اعتبار المجموعة الجزئية المنتهية كما يلي:${\displaystyle B}$للتحقق من الاستقلال الخطي في التعريف أعلاه. ^{[ 1 ]}

غالبًا ما يكون من الملائم، بل والضروري أحيانًا، ترتيب متجهات الأساس، على سبيل المثال، عند مناقشة التوجيه ، أو عند النظر في المعاملات العددية لمتجه بالنسبة إلى أساس دون الإشارة صراحةً إلى عناصر الأساس. في هذه الحالة، يكون الترتيب ضروريًا لربط كل معامل بعنصر الأساس المقابل. ويمكن تحقيق هذا الترتيب بترقيم عناصر الأساس. وللتأكيد على اختيار ترتيب معين، يُشار إلى الأساس المرتب ، وهو بالتالي ليس مجرد مجموعة غير منظمة ، بل متتالية ، أو عائلة مفهرسة ، أو ما شابه؛ انظر القسم "  الأسس والإحداثيات المرتبة" أدناه.

المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$فضاء المتجهات للأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية هو فضاء متجهي تحت عمليات الجمع العنصري. $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$ والضرب القياسي $${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$ أين${\displaystyle \lambda }$أي عدد حقيقي. يتكون أساس بسيط لهذا الفضاء المتجهي من المتجهين e₁ = ( ₁ , 0) و e₂ = (0, 1) . يشكل هذان المتجهان أساسًا (يُسمى الأساس القياسي ) لأن أي متجه v = ₍ a , b ) من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$قد تُكتب بشكل فريد على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$أي زوج آخر من المتجهات المستقلة خطيًا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$تشكل قيم مثل (1، 1) و (-1، 2) أساسًا أيضًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

وبشكل أعم، إذا كان F حقلاً ، فإن المجموعة${\displaystyle F^{n}}$مجموعة من n -tuples من عناصر F هي فضاء متجهي لعمليات الجمع والضرب القياسي المعرفة بشكل مماثل. ليكن$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$$ليكن لدينا مجموعة من n عنصرًا، جميع عناصرها تساوي 0، باستثناء العنصر i الذي يساوي 1.${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle F^{n},}$والذي يُطلق عليه الأساس القياسي لـ${\displaystyle F^{n}.}$

يُقدّم مثالٌ آخر من نوعٍ مختلفٍ حلقات كثيرات الحدود . إذا كان F حقلاً، فإنّ مجموعة F [ X ] لجميع كثيرات الحدود في متغيرٍ غير مُحدّد X بمعاملاتٍ في F تُشكّل فضاءً متجهيًا على F. أحد أسس هذا الفضاء هو أساس أحاديات الحدود B ، الذي يتكوّن من جميع أحاديات الحدود .$${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$$أي مجموعة من كثيرات الحدود بحيث يوجد كثير حدود واحد فقط من كل درجة (مثل كثيرات حدود برنشتاين الأساسية أو كثيرات حدود تشيبيشيف ) تُعتبر أساسًا أيضًا. (تُسمى هذه المجموعة من كثيرات الحدود متتالية كثيرات الحدود ). ولكن توجد أيضًا العديد من الأسس لـ F [ X ] التي لا تتخذ هذا الشكل.

تنتج العديد من خصائص القواعد المحدودة من مبرهنة تبادل ستينيتز ، والتي تنص على أنه بالنسبة لأي فضاء متجهي V ، بالنظر إلى مجموعة ممتدة محدودة S ومجموعة مستقلة خطيًا L من n عنصرًا من V ، يمكن للمرء استبدال n عنصرًا مختارًا جيدًا من S بعناصر L للحصول على مجموعة ممتدة تحتوي على L ، ولها عناصرها الأخرى في S ، ولها نفس عدد العناصر مثل S.

تظل معظم الخصائص الناتجة عن مبرهنة تبادل ستينيتز صحيحة عندما لا توجد مجموعة امتداد محدودة، ولكن براهينها في الحالة اللانهائية تتطلب عمومًا بديهية الاختيار أو شكلًا أضعف منها، مثل مبرهنة المرشح الفائق .

إذا كان V فضاءً متجهيًا على حقل F ، فإن:

• إذا كانت L مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من مجموعة مولدة S ⊆ V ، فإنه يوجد أساس B بحيث$${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• V لها أساس (هذه هي الخاصية السابقة حيث L هي المجموعة الفارغة ، و S = V ).
• جميع قواعد V لها نفس العدد الأصلي ، والذي يسمى بُعد V. هذه هي نظرية البُعد .
• تعتبر المجموعة المولدة S أساسًا لـ V إذا وفقط إذا كانت مجموعة دنيا، أي أنه لا توجد مجموعة جزئية مناسبة من S هي أيضًا مجموعة مولدة لـ V.
• تعتبر المجموعة المستقلة خطيًا L أساسًا إذا وفقط إذا كانت قصوى، أي أنها ليست مجموعة جزئية فعلية من أي مجموعة مستقلة خطيًا.

إذا كان V فضاءً متجهيًا ذو بُعد n ، فإن:

• تعتبر مجموعة جزئية من V تحتوي على n عنصر أساسًا إذا وفقط إذا كانت مستقلة خطيًا.
• تعتبر مجموعة جزئية من V تحتوي على n عنصرًا أساسًا إذا وفقط إذا كانت مجموعة شاملة لـ V.

ليكن V فضاءً متجهيًا ذا بُعد محدود n على حقل F ، و $${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$ ليكن أساسًا لـ V. بحسب تعريف الأساس، يمكن كتابة كل v في V ، بطريقة فريدة، على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},}$$ حيث المعاملات${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$هي كميات قياسية (أي عناصر من F )، تُسمى إحداثيات v على B. مع ذلك، إذا تحدثنا عن مجموعة المعاملات، فإننا نفقد التطابق بين المعاملات وعناصر الأساس، وقد تشترك عدة متجهات في نفس مجموعة المعاملات . على سبيل المثال،${\displaystyle 3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}}$و${\displaystyle 2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}}$للمتجهين نفس مجموعة المعاملات {2، 3} ، وهما مختلفان. لذلك، من الملائم غالبًا العمل باستخدام أساس مرتب ؛ ويتم ذلك عادةً بترقيم عناصر الأساس بالأعداد الطبيعية الأولى. عندئذٍ، تُشكّل إحداثيات المتجه متتاليةً مُرقمةً بالمثل، ويُوصَف المتجه تمامًا من خلال متتالية الإحداثيات. يُطلق على الأساس المرتب، خاصةً عند استخدامه مع نقطة أصل ، اسم إطار إحداثيات أو ببساطة إطار (على سبيل المثال، إطار ديكارتي أو إطار أفيني ).

دع، كالعادة،${\displaystyle F^{n}}$ليكن مجموعة العناصر المكونة من n عنصرًا من F. هذه المجموعة هي فضاء متجهي على F ، حيث تُعرَّف عمليتا الجمع والضرب القياسي على مستوى كل عنصر. الخريطة $${\displaystyle \varphi$$ :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}} هو تماثل خطي من الفضاء المتجهي${\displaystyle F^{n}}$على V. بعبارة أخرى،${\displaystyle F^{n}}$هي فضاء الإحداثيات لـ V ، و n -tuple${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$هو متجه الإحداثيات لـ v .

الصورة المعكوسة بواسطة${\displaystyle \varphi }$ل${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$هو n -tuple${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$جميع مكوناتها تساوي صفرًا، باستثناء المكون رقم i الذي يساوي واحدًا.${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$تشكل أساسًا منظمًا لـ${\displaystyle F^{n}}$، والتي تسمى أساسها القياسي أو أساسها القانوني . الأساس المرتب B هو الصورة بواسطة${\displaystyle \varphi }$من الأساس الكنسي لـ${\displaystyle F^{n}}$.

ويترتب على ما سبق أن كل أساس مرتب هو صورة الأساس المتعارف عليه بواسطة تماثل خطي${\displaystyle F^{n}}$وأن كل تماثل خطي من${\displaystyle F^{n}}$يمكن تعريف التحويل على V بأنه التشاكل الذي يرسم الأساس المتعارف عليه لـ${\displaystyle F^{n}}$على أساس مرتب معطى لـ V. بعبارة أخرى، يكافئ ذلك تعريف أساس مرتب لـ V ، أو تماثل خطي من${\displaystyle F^{n}}$على V.​

ليكن V فضاءً متجهيًا ذا بُعد n على حقل F. بمعلومية قاعدتين (مرتبتين)${\displaystyle B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$و${\displaystyle B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$بالنسبة لـ V ، من المفيد غالبًا التعبير عن إحداثيات المتجه x بالنسبة إلى${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$من حيث الإحداثيات بالنسبة إلى${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$يمكن القيام بذلك باستخدام صيغة تغيير الأساس ، الموضحة أدناه. وقد تم اختيار الرموز السفلية "قديم" و"جديد" لأنه من المعتاد الإشارة إلى${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$و${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$باعتبارها الأساس القديم والأساس الجديد على التوالي. من المفيد وصف الإحداثيات القديمة بدلالة الإحداثيات الجديدة، لأنه بشكل عام، توجد تعابير تتضمن الإحداثيات القديمة، وإذا أردنا الحصول على تعابير مكافئة بدلالة الإحداثيات الجديدة، فيمكننا استبدال الإحداثيات القديمة بتعابيرها بدلالة الإحداثيات الجديدة.

عادةً، تُعطى متجهات الأساس الجديدة بإحداثياتها على الأساس القديم، أي $${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$ لو${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$و${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$تمثل إحداثيات المتجه x على الأساس القديم والأساس الجديد على التوالي، وصيغة تغيير الأساس هي $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$ for i = 1, ..., n .

يمكن كتابة هذه الصيغة بإيجاز باستخدام ترميز المصفوفات . ليكن A مصفوفة${\displaystyle a_{i,j}}$، و $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$ إذا كانت و متجهات عمودية لإحداثيات v في الأساس القديم والأساس الجديد على التوالي، فإن صيغة تغيير الإحداثيات هي $${\displaystyle X=AY.}$$

يمكن إثبات الصيغة من خلال النظر في تحليل المتجه x على أساسين: أحدهما لديه $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},}$$ و $$// (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$

تنتج صيغة تغيير الأساس من تفرد تحليل متجه على أساس معين، هنا${\displaystyle B_{\text{old}}}$؛ إنه $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$ for i = 1, ..., n .

ليكن V أي فضاء متجهي على حقل ما F. وليكن X مجموعة جميع المجموعات الجزئية المستقلة خطيًا من V.

المجموعة X غير فارغة لأن المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية مستقلة من V ، وهي مرتبة جزئيًا عن طريق الاحتواء، والذي يُرمز إليه، كالمعتاد، بالرمز ⊆ .

ليكن Y مجموعة جزئية من X مرتبة ترتيبًا كليًا بواسطة ⊆ ، وليكن L _Y اتحاد جميع عناصر Y (التي هي نفسها مجموعات جزئية معينة من V ).

بما أن _{المجموعة} ( Y , ⊆) مرتبة ترتيبًا كليًا، فإن كل مجموعة جزئية منتهية من LY هي مجموعة جزئية تحتوي على عنصر من Y ، وهو عنصر مستقل خطيًا من V ، وبالتالي _{فإن LY} مستقلة خطيًا. إذن _{، LY} عنصر من X. لذلك، _{فإن LY} حد أعلى لـ Y في ( X , ⊆) : فهو عنصر من X يحتوي على كل عنصر من Y.

بما أن X مجموعة غير فارغة، ولكل مجموعة جزئية مرتبة ترتيبًا كليًا من ( X , ⊆) حد أعلى في X ، فإن مبرهنة زورن تؤكد أن X تحتوي على عنصر أعظمي. بعبارة أخرى، يوجد عنصر ما L _max من X يحقق الشرط التالي: إذا كان L _max ⊆ L لعنصر ما L من X ، فإن L = L _max .

يبقى إثبات أن L _max هي أساس لـ V. بما أن L max _تنتمي إلى X ، فنحن نعلم بالفعل أن L _max هي مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V.

إذا وُجد متجه w من المجموعة V لا يقع ضمن فضاء L _max ، فلن يكون w عنصرًا من L _max أيضًا. لنفترض أن L _w = L _max ∪ { w } . هذه المجموعة عنصر من X ، أي أنها مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V (لأن w لا يقع ضمن فضاء L _max ، و L _max مستقلة). بما أن L _max ⊆ L _w ، و L _max ≠ L _w (لأن L _w تحتوي على المتجه w غير الموجود في L _max )، فإن هذا يناقض شرط كون L _max مجموعة قصوى . وبالتالي، يُثبت هذا أن L _max تولد V.

وبالتالي فإن L _max مستقل خطيًا ويولد V. وهو بالتالي أساس لـ V ، وهذا يثبت أن لكل فضاء متجه أساسًا.

يعتمد هذا البرهان على ليمّة زورن، المكافئة لمسلّمة الاختيار . وبالعكس، فقد ثبت أنه إذا كان لكل فضاء متجهي أساس، فإن مسلّمة الاختيار تكون صحيحة. ^{[ 10 ]} وبالتالي فإن العبارتين متكافئتان.

• أساس الماترويد
• أساس البرنامج الخطي
• نظام الإحداثيات
• تغيير الأساس – تغيير الإحداثيات في الجبر الخطي 
• إطار فضاء متجهي – مشابه لأساس الفضاء المتجهي، ولكنه ليس بالضرورة مستقلاً خطيًا. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• الأساس الكروي – أساس يُستخدم للتعبير عن الموترات الكروية 

• مقاطع فيديو تعليمية من أكاديمية خان
  • مقدمة في قواعد الفضاءات الجزئية
  • إثبات أن أي أساس للفضاء الجزئي له نفس عدد العناصر
• "التركيبات الخطية، والمدى، ومتجهات الأساس" . جوهر الجبر الخطي . 6 أغسطس 2016. مؤرشف من الأصل في 17 نوفمبر 2021 - عبر يوتيوب .
• "الأساس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]