مترابطة بيانية

في الرياضيات ، التوبل هو تسلسل منتهٍ أو قائمة مرتبة من الأرقام أو بشكل عام، كائنات رياضية ، والتي تسمى عناصر التوبل. التوبل n هو توبل من n عنصر، حيث n هو عدد صحيح غير سلبي . يوجد فقط توبل 0 واحد، يسمى التوبل الفارغ . يُطلق على التوبل 1 والتوبل 2 عادةً اسم المفرد والزوج المرتب ، على التوالي. يُستخدم مصطلح "توبل لانهائي" أحيانًا للإشارة إلى "التسلسلات اللانهائية" .

تُكتب العناصر عادةً عن طريق إدراج العناصر بين قوسين " ( ) " وفصلها بفواصل؛ على سبيل المثال، (2, 7, 4, 1, 7) تشير إلى عنصر مكون من 5 عناصر. تُستخدم أحيانًا أنواع أخرى من الأقواس، على الرغم من أنها قد يكون لها معنى مختلف. ^[أ]

يمكن تعريف مجموعة n رسميًا على أنها صورة لدالة يكون مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية الأولى n . يمكن أيضًا تعريف المجموعات من أزواج مرتبة من خلال تكرار يبدأ من أزواج مرتبة ؛ في الواقع، يمكن تحديد مجموعة n من خلال الزوج المرتب لعناصرها الأولى ( n − 1) وعنصرها رقم n .

في علوم الكمبيوتر ، تأتي المجموعات بأشكال عديدة. تنفذ معظم لغات البرمجة الوظيفية المكتوبة المجموعات مباشرةً كأنواع منتجات ، ^[1] وترتبط ارتباطًا وثيقًا بأنواع البيانات الجبرية ومطابقة الأنماط وتعيين التفكيك . ^[2] تقدم العديد من لغات البرمجة بديلاً للمجموعات، والمعروفة باسم أنواع السجلات ، والتي تتميز بعناصر غير مرتبة يمكن الوصول إليها عن طريق التسمية. ^[3] تجمع بعض لغات البرمجة بين أنواع منتجات المجموعات المرتبة وأنواع السجلات غير المرتبة في بنية واحدة، كما هو الحال في هياكل C وسجلات Haskell. قد تحدد قواعد البيانات العلائقية رسميًا صفوفها (سجلاتها) كمجموعات .

تظهر الثنائيات أيضًا في الجبر العلائقي ؛ عند برمجة الويب الدلالي باستخدام إطار وصف الموارد (RDF)؛ في اللغويات ؛ ^[4] وفي الفلسفة . ^[5]

نشأ المصطلح كتجريد للتسلسل: فردي، زوج/مزدوج، ثلاثي، رباعي، خماسي، سداسي، سباعي، ثماني، ...، n ‑tuple، ...، حيث تؤخذ البادئات من الأسماء اللاتينية للأرقام. يسمى 0-tuple الفريد بـ null tuple أو tuple الفارغ . يسمى 1-tuple واحدًا (أو مفردًا )، ويسمى 2-tuple زوجًا مرتبًا أو زوجين ، ويسمى 3-tuple ثلاثيًا (أو ثلاثيًا ). يمكن أن يكون الرقم n أي عدد صحيح غير سالب . على سبيل المثال، يمكن تمثيل عدد مركب كثنائي- tuple من الأعداد الحقيقية، ويمكن تمثيل الرباعية كثنائي-tuple، ويمكن تمثيل المثمن كثنائي-tuple، ويمكن تمثيل sedenion كثنائي-tuple 16.

على الرغم من أن هذه الاستخدامات تعامل ‑uple كلاحقة، فإن اللاحقة الأصلية كانت ‑ple كما في "ثلاثي" (ثلاثي الأضعاف) أو "decuple" (عشرة أضعاف). نشأ هذا من اللاتينية في العصور الوسطى plus (بمعنى "أكثر") المرتبطة باليونانية ‑πλοῦς، والتي حلت محل ‑plex (بمعنى "مطوي") الكلاسيكية والعصور القديمة المتأخرة ، كما في "duplex". ^{[6] [ب]}

القاعدة العامة لهوية مجموعتين من n هي

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ إذا وفقط إذا .${\displaystyle a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}}$

وبالتالي فإن المجموعة لها خصائص تميزها عن المجموعة :

1. قد يحتوي العنصر الواحد على حالات متعددة من نفس العنصر، لذا
   فإن العنصر الواحد ; ولكن set .${\displaystyle (1,2,2,3)\neq (1,2,3)}$${\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}$
2. يتم ترتيب عناصر المجموعة: مجموعة ، ولكن مجموعة .${\displaystyle (1,2,3)\neq (3,2,1)}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}$
3. تحتوي المجموعة على عدد محدود من العناصر، في حين أن المجموعة أو المجموعة المتعددة قد تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر.

هناك العديد من التعريفات للعناصر التي تمنحها الخصائص الموضحة في القسم السابق.

يمكن التعرف على -tuple على أنها دالة فارغة . بالنسبة لـ -tuple يمكن التعرف عليها باستخدام الدالة ( الاسمية )${\displaystyle 0}$${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

${\displaystyle F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$

مع المجال

${\displaystyle \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}}$

ومع المجال المشترك

${\displaystyle \operatorname {codomain} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},}$

وهذا ما تم تعريفه في ${\displaystyle i\in \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}}$

${\displaystyle F(i):=a_{i}.}$

أي أن الدالة محددة بـ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}}$

في هذه الحالة المساواة

${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)}$

ينطبق بالضرورة.

المجموعات كمجموعات من الأزواج المرتبة

يتم التعرف على الدوال بشكل عام من خلال الرسوم البيانية الخاصة بها ، والتي هي عبارة عن مجموعة معينة من الأزواج المرتبة. في الواقع، يستخدم العديد من المؤلفين الرسوم البيانية كتعريف للدالة. باستخدام هذا التعريف لـ "الدالة"، يمكن تعريف الدالة أعلاه على النحو التالي: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.}$

هناك طريقة أخرى لنمذجة المجموعات في نظرية المجموعات وهي الأزواج المرتبة المتداخلة . يفترض هذا النهج أن مفهوم الزوج المرتب قد تم تعريفه بالفعل.

1. يتم تمثيل المجموعة 0 (أي المجموعة الفارغة) بواسطة المجموعة الفارغة .${\displaystyle \emptyset }$
2. يمكن تعريف مجموعة مكونة من n، مع n > 0، كزوج مرتب من مدخلها الأول ومجموعة مكونة من ( n − 1 ) ( تحتوي على المدخلات المتبقية عندما n > 1) :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}$

يمكن تطبيق هذا التعريف بشكل متكرر على ( n − 1) -tuple:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}$

وهكذا، على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}$

يبدأ أحد متغيرات هذا التعريف بـ "تقشير" العناصر من الطرف الآخر:

1. المجموعة 0 هي المجموعة الفارغة .${\displaystyle \emptyset }$
2. بالنسبة إلى n > 0 :

   ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}$

يمكن تطبيق هذا التعريف بشكل متكرر:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}$

وهكذا، على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}$

باستخدام تمثيل كوراتوفسكي للزوج المرتب ، يمكن إعادة صياغة التعريف الثاني أعلاه من حيث نظرية المجموعة البحتة :

1. يتم تمثيل المجموعة 0 (أي المجموعة الفارغة) بواسطة المجموعة الفارغة ؛${\displaystyle \emptyset }$
2. ليكن n - tuple ، وليكن . إذن، . ( يمكن قراءة السهم الأيمن، , على أنه "مجاور مع".)${\displaystyle x}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)}$${\displaystyle x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}}$${\displaystyle \rightarrow }$

في هذه الصيغة:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}$

في الرياضيات المنفصلة ، ​​وخاصةً التركيبات ونظرية الاحتمالات المحدودة ، تنشأ n -tuples في سياق مشاكل العد المختلفة ويتم التعامل معها بشكل غير رسمي كقوائم مرتبة بطول n . ^[7] تُسمى أيضًا n -tuples التي تأتي مدخلاتها من مجموعة من عناصر m بالترتيبات مع التكرار ، وتبديلات مجموعة متعددة ، وفي بعض الأدبيات غير الإنجليزية، المتغيرات مع التكرار . عدد n -tuples لمجموعة m هو m ⁿ . يتبع هذا من القاعدة التركيبية للضرب . ^[8] إذا كانت S مجموعة منتهية من عدد عناصر m ، فإن هذا الرقم هو عدد عناصر القوة الديكارتية ذات النقط n S × S × ⋯ × S. المجموعات هي عناصر مجموعة الضرب هذه.

في نظرية النوع ، والتي تستخدم عادة في لغات البرمجة ، تحتوي المجموعة على نوع منتج ؛ وهذا لا يحدد الطول فحسب، بل يحدد أيضًا الأنواع الأساسية لكل مكون. رسميًا:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}}$

والإسقاطات هي منشئات مصطلحات:

${\displaystyle \pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}}$

تحتوي المجموعة التي تحتوي على عناصر مُسمَّاة والمستخدمة في النموذج العلائقي على نوع سجل . يمكن تعريف كلا النوعين باعتبارهما امتدادات بسيطة لحساب لامدا المكتوب ببساطة . ^[9]

يرتبط مفهوم المجموعة في نظرية النوع ومفهوم المجموعة في نظرية المجموعات بالطريقة التالية: إذا أخذنا في الاعتبار النموذج الطبيعي لنظرية النوع، واستخدمنا أقواس سكوت للإشارة إلى التفسير الدلالي، فإن النموذج يتكون من بعض المجموعات (ملاحظة: استخدام الخط المائل هنا هو الذي يميز المجموعات عن الأنواع) بحيث: ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$

${\displaystyle [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!]=S_{1},~[\![{\mathsf {T}}_{2}]\!]=S_{2},~\ldots ,~[\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]=S_{n}}$

وتفسير المصطلحات الأساسية هو:

${\displaystyle [\![x_{1}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!],~[\![x_{2}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{2}]\!],~\ldots ,~[\![x_{n}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]}$.

إن مجموعة n -tuple من نظرية النوع لها التفسير الطبيعي باعتبارها مجموعة n -tuple من نظرية المجموعات: ^[10]

${\displaystyle [\![(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]\!]=(\,[\![x_{1}]\!],[\![x_{2}]\!],\ldots ,[\![x_{n}]\!]\,)}$

نوع الوحدة له تفسير دلالي هو 0-tuple.

• أريتي
• متجه الإحداثيات
• كائن أسي
• اللغة الرسمية
• تعبيرات متعددة الأبعاد (OLAP)
• k -tuple الرئيسي
• العلاقة (رياضيات)
• تسلسل
• مساحة ثلاثية
• أسماء التوبل

• دانجيلو، جون ب.؛ ويست، دوغلاس ب. (2000)، التفكير الرياضي/حل المشكلات والإثباتات (الطبعة الثانية)، برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-014412-6
• كيث ديفلين ، متعة المجموعات . دار نشر سبرينغر، الطبعة الثانية، 1993، رقم ISBN 0-387-94094-4 ، ص 7-8 
• أبراهام أدولف فرانكل ، يهوشوا بار هيلل ، عزرائيل ليفي ، أسس نظرية المجموعات المدرسية ، دراسات إلسفير في المنطق، المجلد 67، الطبعة الثانية، المنقحة، 1973، ISBN 0-7204-2270-1 ، ص 33 
• جايسي تاكيوتي ، دبليو إم زارينج، مقدمة إلى نظرية المجموعة البديهية ، سبرينغر جي تي إم 1، 1971، رقم ISBN 978-0-387-90024-7 ، ص 14 
• جورج جيه ​​تورلاكيس، محاضرات في المنطق ونظرية المجموعات. المجلد 2: نظرية المجموعات ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2003، ISBN 978-0-521-75374-6 ، ص 182-193 

• تعريف كلمة tuple في القاموس على ويكاموس