الجبر العلائقي

يُكتب الربط الخارجي الأيسر (⟕) على النحو التالي: R ⟕ S، حيث R و S علاقتان . [ ب ] نتيجة الربط ^{الخارجي الأيسر هي} مجموعة جميع تركيبات الصفوف في R و S المتساوية في أسماء سماتها المشتركة، بالإضافة (بشكل عام) إلى الصفوف في R التي ليس لها صفوف مطابقة في S.

على سبيل المثال ، انظر إلى جدولي الموظف والقسم وعملية الربط الخارجي الأيسر بينهما:

في العلاقة الناتجة، تأخذ الصفوف في S التي ليس لها قيم مشتركة في أسماء السمات المشتركة مع الصفوف في R قيمة فارغة ، ω .

بما أنه لا توجد صفوف في Dept تحتوي على DeptName من نوع Finance أو Executive ، فإن ω s تظهر في العلاقة الناتجة حيث تحتوي الصفوف في Employee على DeptName من نوع Finance أو Executive .

لنفترض أن _r1 ، r2 ، _... ، _rn هي سمات العلاقة R، ولنفترض أن {( ω1 ، ...، ωn )} هي علاقة أحادية على السمات الفريدة للعلاقة S ( أي تلك التي ليست سمات R ). عندئذٍ، يمكن وصف الربط الخارجي الأيسر بدلالة الربط الطبيعي (وبالتالي باستخدام المعاملات الأساسية) كما يلي:

$${\displaystyle (R\bowtie S)\cup ((R-\pi _{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}(R\bowtie S))\times \{(\omega ,\dots ,\omega )\})}$$

يتصرف الربط الخارجي الأيمن (⟖) بشكل مطابق تقريبًا للربط الخارجي الأيسر، ولكن يتم تبديل أدوار الجداول.

يُكتب الربط الخارجي الأيمن للعلاقتين R و S على النحو التالي ^: R ⟖ S. ^{[ c} ] نتيجة الربط الخارجي الأيمن هي مجموعة جميع تركيبات الصفوف في R و S المتساوية في أسماء سماتها المشتركة، بالإضافة إلى الصفوف في S التي ليس لها صفوف مطابقة في R.

على سبيل المثال، انظر إلى جدولي الموظف والقسم وعملية الربط الخارجي الأيمن بينهما:

في العلاقة الناتجة، تأخذ الصفوف في R التي ليس لها قيم مشتركة في أسماء السمات المشتركة مع الصفوف في S قيمة فارغة ، ω .

بما أنه لا توجد صفوف في جدول الموظفين تحتوي على اسم قسم الإنتاج ، فإن ω تظهر في سمات الاسم ومعرف الموظف في العلاقة الناتجة حيث كانت الصفوف في جدول الأقسام تحتوي على اسم قسم الإنتاج .

لنفترض _{أن s1} ، s2 ، ...، _sn هي سمات العلاقة S، _{ولنفترض} أن {( ω1 ، ...، ωn )} هي العلاقة الأحادية على السمات الفريدة للعلاقة R ( أي تلك التي ليست سمات S ). عندئذٍ، كما هو الحال مع الربط الخارجي الأيسر، يمكن محاكاة الربط الخارجي الأيمن باستخدام الربط الطبيعي كما يلي:

$${\displaystyle (R\bowtie S)\cup (\{(\omega ,\dots ,\omega )\}\times (S-\pi _{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}}(R\bowtie S)))}$$

يجمع الربط الخارجي (⟗) أو الربط الخارجي الكامل في الواقع نتائج الربط الخارجي الأيسر والأيمن.

تُكتب عملية الربط الخارجي الكامل على النحو التالي: R ⟗ S حيث R و S هما علاقتان . ^{[ د ]} نتيجة الربط الخارجي الكامل هي مجموعة جميع تركيبات الصفوف في R و S المتساوية في أسماء سماتها المشتركة، بالإضافة إلى الصفوف في S التي ليس لها صفوف مطابقة في R والصفوف في R التي ليس لها صفوف مطابقة في S في أسماء سماتها المشتركة.

على سبيل المثال ، انظر إلى جدولي الموظف والقسم وعملية الربط الخارجي الكاملة بينهما:

في العلاقة الناتجة، تأخذ الصفوف في R التي لا تشترك في قيم سمات مشتركة مع الصفوف في S قيمة فارغة ، ω . كما تأخذ الصفوف في S التي لا تشترك في قيم سمات مشتركة مع الصفوف في R قيمة فارغة ، ω .

يمكن محاكاة عملية الربط الخارجي الكاملة باستخدام عمليات الربط الخارجي اليسرى واليمنى (وبالتالي الربط الطبيعي واتحاد المجموعات) على النحو التالي:

R ⟗ S = ( R ⟕ S ) ∪ ( R ⟖ S )

علاوة على ذلك، لا يمكن حساب وظائف مختلفة على عمود، مثل جمع عناصره، باستخدام الجبر العلائقي الذي تم تقديمه حتى الآن. تتضمن معظم أنظمة قواعد البيانات العلائقية خمس وظائف تجميعية ، وهي: الجمع، والعد، والمتوسط، والحد الأقصى، والحد الأدنى. في الجبر العلائقي ، تُكتب عملية التجميع على مخطط ( A1 _، A2 _، ... _{، An} ) كما يلي:

${\displaystyle G_{1},G_{2},\ldots ,G_{m}\ g_{f_{1}({A_{1}}'),f_{2}({A_{2}}'),\ldots ,f_{k}({A_{k}}')}\ (r)}$

حيث أن كل A _j ′ ، 1 ≤ j ≤ k ، هو أحد السمات الأصلية A _i ، 1 ≤ i ≤ n .

السمات التي تسبق الحرف g هي سمات تجميعية، تعمل كشرط "group by" في لغة SQL. ثم يتم تطبيق عدد غير محدد من دوال التجميع على كل سمة على حدة. تُطبق العملية على أي علاقة r . السمات التجميعية اختيارية، وإذا لم يتم تحديدها، تُطبق دوال التجميع على كامل العلاقة التي تُطبق عليها العملية.

لنفترض أن لدينا جدولًا باسم "الحساب" يحتوي على ثلاثة أعمدة: رقم الحساب، واسم الفرع ، والرصيد . نريد إيجاد أعلى رصيد لكل فرع. يتم ذلك باستخدام _الدالة G _{Max( Balance )} ( Account ) لحساب رقم الفرع. لإيجاد أعلى رصيد لجميع الحسابات بغض النظر عن الفرع، يمكننا ببساطة كتابة الدالة G _{Max( Balance )} ( Account ).

غالباً ما تُكتب عملية التجميع على النحو التالي: _{Branch_Name} ɣ _{Max( Balance )} ( Account ) بدلاً من ذلك. ^{[ 8 ]}

الاختيار هو اختيار متماثل (التطبيقات المتعددة لنفس الاختيار ليس لها تأثير إضافي يتجاوز الأول)، وتبديلي (ترتيب تطبيق الاختيارات ليس له تأثير على النتيجة النهائية).

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R)=\sigma _{A}\sigma _{A}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}(R)=\sigma _{B}\sigma _{A}(R)\,\!}$

الاختيار الذي يكون شرطه اقترانًا لشروط أبسط يُكافئ سلسلة من الاختيارات التي تحمل نفس الشروط الفردية، والاختيار الذي يكون شرطه فصلًا يُكافئ اتحادًا للاختيارات. يمكن استخدام هذه المتطابقات لدمج الاختيارات بحيث يقل عدد الاختيارات التي تحتاج إلى التقييم، أو لتقسيمها بحيث يمكن نقل الاختيارات المكونة لها أو تحسينها بشكل منفصل.

1. ${\displaystyle \sigma _{A\land B}(R)=\sigma _{A}(\sigma _{B}(R))=\sigma _{B}(\sigma _{A}(R))}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A\lor B}(R)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{B}(R)}$

يُعدّ الضرب الاتجاهي العملية الأكثر تكلفةً من حيث التقييم. إذا كانت العلاقات المدخلة تحتوي على N و M صفًا، فستحتوي النتيجة على${\displaystyle NM}$لذلك، من المهم تقليل حجم كلا المعاملين قبل تطبيق عامل الضرب الاتجاهي.

يمكن القيام بذلك بفعالية إذا تبع الضرب الاتجاهي عامل اختيار، على سبيل المثال${\displaystyle \sigma _{A}(R\times P)}$بالنظر إلى تعريف عملية الربط، فهذا هو الاحتمال الأرجح. إذا لم يتبع الضرب الاتجاهي عامل اختيار، فيمكننا محاولة دفع اختيار من مستويات أعلى في شجرة التعبير باستخدام قواعد الاختيار الأخرى.

في الحالة المذكورة أعلاه، يتم تقسيم الشرط أ إلى الشروط ب ، ج ، د باستخدام قواعد التقسيم المتعلقة بشروط الاختيار المعقدة، بحيث${\displaystyle A=B\wedge C\wedge D}$تحتوي المجموعة B على سمات من المجموعة R فقط ، وتحتوي المجموعة C على سمات من المجموعة P فقط ، وتحتوي المجموعة D على جزء من المجموعة A يحتوي على سمات من كلٍّ من المجموعتين R و P. لاحظ أن المجموعات B أو C أو D قد تكون فارغة. عندئذٍ، يتحقق ما يلي:

${\displaystyle \sigma _{A}(R\times P)=\sigma _{B\wedge C\wedge D}(R\times P)=\sigma _{D}(\sigma _{B}(R)\times \sigma _{C}(P))}$

يتم توزيع عملية الاختيار على عوامل الفرق بين المجموعات، والتقاطع، والاتحاد. تُستخدم القواعد الثلاث التالية لنقل عملية الاختيار إلى ما دون عمليات المجموعات في شجرة التعبير. بالنسبة لعاملَي الفرق بين المجموعات والتقاطع، يُمكن تطبيق عامل الاختيار على أحد المعاملات فقط بعد التحويل. قد يكون هذا مفيدًا عندما يكون أحد المعاملات صغيرًا، وتفوق تكلفة تقييم عامل الاختيار فوائد استخدام علاقة أصغر كمعامل.

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\setminus P)=\sigma _{A}(R)\setminus \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\setminus P}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cup P)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{A}(P)}$
3. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cap P)=\sigma _{A}(R)\cap \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\cap P=R\cap \sigma _{A}(P)}$

يتطابق التحديد مع الإسقاط إذا وفقط إذا كانت الحقول المشار إليها في شرط التحديد مجموعة فرعية من الحقول في الإسقاط. قد يكون إجراء التحديد قبل الإسقاط مفيدًا إذا كان المعامل عبارة عن ضرب اتجاهي أو ربط. في حالات أخرى، إذا كان شرط التحديد مكلفًا نسبيًا من حيث الحساب، فإن نقل التحديد خارج الإسقاط قد يقلل من عدد الصفوف التي يجب اختبارها (حيث قد ينتج عن الإسقاط عدد أقل من الصفوف بسبب إزالة التكرارات الناتجة عن الحقول المحذوفة).

$${\displaystyle \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(\sigma _{A}(R))=\sigma _{A}(\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R))\,\,{\text{if}}\,A\subseteq \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$$

الإسقاط هو عملية متماثلة، بحيث تكون سلسلة من الإسقاطات (الصحيحة) مكافئة للإسقاط الخارجي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(\pi _{b_{1},\ldots ,b_{m}}(R))=\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)\\[4pt]&\,\,\,{\text{where}}\,\,\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\subseteq \{b_{1},\ldots ,b_{m}\}\end{aligned}}}$$

الإسقاط توزيعي على اتحاد المجموعات.

$${\displaystyle \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R\cup P)=\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)\cup \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(P).\,}$$

لا يتوزع الإسقاط على التقاطع والفرق بين المجموعات. وتُعطى الأمثلة المضادة كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \}\cap \{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\emptyset \\\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \})\cap \pi _{A}(\{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\{\langle A=a\rangle \}\end{aligned}}}$$

و

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \}\setminus \{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\{\langle A=a\rangle \}\\\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \})\setminus \pi _{A}(\{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\emptyset \end{aligned}}}$$

حيث يُفترض أن b يختلف عن b' .

يمكن دمج عمليات إعادة تسمية متغير واحد في عملية إعادة تسمية واحدة. كما يمكن إعادة ترتيب عمليات إعادة التسمية التي لا تشترك في أي متغيرات بشكل عشوائي، مما يسمح بجعل عمليات إعادة التسمية المتتالية متجاورة بحيث يمكن دمجها.

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{b/c}(R))=\rho _{a/c}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{c/d}(R))=\rho _{c/d}(\rho _{a/b}(R))\,\!}$

إعادة التسمية هي عملية توزيعية على فرق المجموعات والاتحاد والتقاطع.

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\setminus P)=\rho _{a/b}(R)\setminus \rho _{a/b}(P)}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cup P)=\rho _{a/b}(R)\cup \rho _{a/b}(P)}$
3. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cap P)=\rho _{a/b}(R)\cap \rho _{a/b}(P)}$