خاصية التبديل

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُسمى العملية الثنائية تبديلية إذا لم يُغير تغيير ترتيب المُدخلات النتيجة . وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وتعتمد عليها العديد من البراهين الرياضية . ولعلّ أشهر استخداماتها هو في الحساب، مثل "3 + 4 = 4 + 3" أو "2 × 5 = 5 × 2" ، ولكن يمكن استخدامها أيضًا في تطبيقات أكثر تقدمًا. وقد أُطلق عليها هذا الاسم لأن هناك عمليات، مثل القسمة والطرح ، لا تتمتع بهذه الخاصية (على سبيل المثال، "3 − 5 ≠ 5 − 3" )؛ فهذه العمليات ليست تبديلية، ولذلك تُسمى عمليات غير تبديلية .

لقد كان يُفترض ضمنيًا لعدة قرون أن العمليات البسيطة، مثل ضرب وجمع الأعداد، هي عمليات تبادلية. ولذلك، لم تُسمَّ هذه الخاصية إلا في القرن التاسع عشر، عندما بدأت دراسة البنى الجبرية الجديدة. [ 1 ]

تعريف

عملية ثنائية*{\displaystyle *}تكون عملية التبديل على مجموعة S تبادلية إذا x*y=y*x{\displaystyle x*y=y*x} للجميعx،y∈S{\displaystyle x,y\in S}[ 2 ] يُقال إن العملية التي ليست تبديلية هي عملية غير تبديلية . [ 3 ]

يُقال أن x يتبادل مع y أو أن x و y يتبادلان تحت*{\displaystyle *}إذا [ 4 ]x*y=y*x.{\displaystyle x*y=y*x.}

إذن، تكون العملية تبديلية إذا كان كل عنصرين يتبادلان. [ 4 ] وتكون العملية غير تبديلية إذا كان هناك عنصران بحيثx*y≠y*x.{\displaystyle x*y\neq y*x.}هذا لا يستبعد إمكانية أن تتبادل بعض أزواج العناصر. [ 3 ]

أمثلة

إن عملية تجميع التفاح، والتي يمكن اعتبارها جمعًا للأعداد الطبيعية، هي عملية تبديلية.

العمليات التبادلية

عملية جمع المتجهات تبادلية، لأنأ→+ب→=ب→+أ→.{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}.}

العمليات غير التبادلية

أبأ ⇒ بب ⇒ أ
FFتيتي
FتيتيF
تيFFتي
تيتيتيتي
  • تركيب الدوال غير تبادلي بشكل عام. [ 11 ] على سبيل المثال، إذاو(x)=2x+1{\displaystyle f(x)=2x+1}وز(x)=3x+7{\displaystyle g(x)=3x+7}. ثم(و∘ز)(x)=و(ز(x))=2(3x+7)+1=6x+15{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}و(ز∘و)(x)=ز(و(x))=3(2x+1)+7=6x+10.{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.}
  • عملية ضرب المصفوفات المربعة ذات البعد المحدد هي عملية غير تبديلية، باستثناء ⁠1×1{\displaystyle 1\times 1}المصفوفات . على سبيل المثال: [ 12 ][0201]=[1101][0101]≠[0101][1101]=[0101]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}
  • الضرب الاتجاهي (أو الضرب التقاطعي ) لمتجهين في ثلاثة أبعاد هو عملية مضادة للتبديل ؛ أيب×أ=-(أ×ب){\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}[ 13 ]​
  • عملية ضرب الكواترنيون غير تبادلية، لأنأناج=-أناج{\displaystyle \mathbf {ij} =-\mathbf {ij} }، حيث​أنا{\displaystyle \mathbf {i} }و​​ج{\displaystyle \mathbf {j} }⁠ هما اثنان من الكواترنيونات الأساسية.

البنى التبادلية

تتضمن بعض أنواع البنى الجبرية عملية لا تتطلب خاصية التبديل. إذا كانت هذه العملية تبديلية لبنية معينة، يُقال غالبًا أن البنية تبديلية .

ومع ذلك، في حالة الجبر ، فإن عبارة " الجبر التبادلي " تشير فقط إلى الجبر التجميعي الذي يحتوي على عملية ضرب تبادلية. [ 18 ]

التاريخ وأصل الكلمات

أول استخدام معروف لهذا المصطلح كان في مجلة فرنسية نُشرت عام 1814

تعود سجلات الاستخدام الضمني لخاصية التبديل إلى العصور القديمة. فقد استخدم المصريون خاصية التبديل في الضرب لتبسيط حساب نواتج الضرب . [ 19 ] ومن المعروف أن إقليدس قد افترض خاصية التبديل في الضرب في كتابه "الأصول" . [ 20 ] ظهرت الاستخدامات الرسمية لخاصية التبديل في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر عندما بدأ علماء الرياضيات العمل على نظرية الدوال. واليوم، تُعد خاصية التبديل خاصية أساسية ومعروفة تُستخدم في معظم فروع الرياضيات. [ 2 ]

أول استخدام موثق لمصطلح "تبديلي" كان في مذكرات فرانسوا سيرفوا عام 1814، حيث استخدم كلمة "تبديلي" لوصف الدوال التي تتمتع بما يُعرف الآن بالخاصية التبديلية. [ 21 ] و"تبديلي" هو الصيغة المؤنثة للصفة الفرنسية " commutatif" ، المشتقة من الاسم الفرنسي " commutation " والفعل الفرنسي " commuter "، بمعنى "التبديل" أو "التحويل"، وهو مشتق من الفعل " to commute " . ثم ظهر المصطلح في اللغة الإنجليزية عام 1838 في مقال دنكان غريغوري بعنوان "حول الطبيعة الحقيقية للجبر الرمزي"، والذي نُشر عام 1840 في مجلة " معاملات الجمعية الملكية في إدنبرة" . [ 22 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • ألاير، باتريشيا ر.؛ برادلي، روبرت إي. (2002). "الجبر الرمزي كأساس للتفاضل والتكامل: إسهام دي إف غريغوري". هيستوريا ماثيماتيكا . 29 (4): 395-426 . doi : 10.1006/hmat.2002.2358 .
  • باربو، أليس ماي (1968). مدخل تاريخي لنظرية المجموعات . المجلد  2. جامعة ويسكونسن-ماديسون.
  • كوك، ريتشارد ج. (2014). المصفوفات اللانهائية وفضاءات المتتابعات . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-78083-2.
  • غاليان، جوزيف (2006). الجبر المجرد المعاصر (  الطبعة السادسة). هوتون ميفلين. ISBN 0-618-51471-6.
  • جاي، روبنز ر.؛ شوت، تشارلز سي دي (1987). بردية رايند الرياضية: نص مصري قديم . المتحف البريطاني. ISBN 0-7141-0944-4.
  • غريغوري، دي إف (1840). "حول الطبيعة الحقيقية للجبر الرمزي" . معاملات الجمعية الملكية في إدنبرة . 14 : 208-216 .
  • غريليت، ب. أ. (2001). أنصاف الزمر التبادلية . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد  2. دوردريخت: دار كلوير للنشر الأكاديمي. doi : 10.1007/978-1-4757-3389-1 . ISBN 0-7923-7067-8MR 2017849 .​ 
  • حقيقي، علي أكبر منتظر؛ كومار، أبوري أنيل؛ ميشيف، ديميتار (2024). الرياضيات العليا للعلوم والهندسة . سبرينغر. رقم ISBN 978-981-99-5431-5.
  • هول، إف إم (1966). مقدمة في الجبر المجرد، المجلد 1. نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. MR 0197233 . 
  • جونسون، جيمس ل. (2003). الاحتمالات والإحصاء لعلوم الحاسوب . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0-471-32672-4.
  • لوفيت، ستيفن (2022). الجبر المجرد: دورة تمهيدية . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-000-60544-0.
  • المدينة المنورة، يسوع؛ أوخيدا أسييغو، مانويل؛ فالفيردي، أوغستين؛ فويتاش، بيتر (2004). “نحو برمجة منطقية متعددة الجوانب”. في كونيجو، ريكاردو؛ أوريتافيزكايا، مايتي؛ بيريز دي لا كروز، خوسيه لويس (محررون). المواضيع الحالية في الذكاء الاصطناعي: المؤتمر العاشر للجمعية الإسبانية للذكاء الاصطناعي، CAEPIA 2003، والمؤتمر الخامس لنقل التكنولوجيا، TTIA 2003، 12-14 نوفمبر 2003 . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد.  3040. سان سيباستيان، إسبانيا: سبرينغر. دوى : 10.1007/b98369 . رقم ISBN 978-3-540-22218-7.
  • أوريغان، جيرارد (2008). تاريخ موجز للحوسبة . سبرينغر. ISBN 978-1-84800-083-4.
  • بوسامنتير، ألفريد س.؛ فاربر، ويليام؛ جيرمان-ويليامز، تيري ل.؛ باريس، إيلين؛ ثالر، بيرند؛ ليمان، إنغمار (2013). 100 سؤال شائع في حصة الرياضيات . دار كورون للنشر. ISBN 978-1-4522-4308-5.
  • رايس، أدريان (2011). "مقدمة". في: فلود، ريموند ؛ رايس، أدريان؛ ويلسون، روبن (محررون). الرياضيات في بريطانيا الفيكتورية . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 9780191627941.
  • روزن، كينيث (2013). الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها، الطبعة العالمية . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-131501-2.
  • ساراتشينو، دان (2008). الجبر المجرد: دورة تمهيدية (  الطبعة الثانية). دار نشر ويفلاند.
  • ستيرلينغ، ماري ج. (2009). الجبر الخطي للمبتدئين . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0-470-43090-3.
  • تاراسوف، فاسيلي (2008). ميكانيكا الكم للأنظمة غير الهاميلتونية والمبددة . المجلد  7 (  الطبعة الأولى). إلسيفير. ISBN 978-0-08-055971-1.
  • توسيت، لارس (2025). الجبر الملخص عبر الأرقام . شام: سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-031-74623-9 . رقم ISBN 978-3-031-74622-2. MR 4886847 .