المبدل

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 62 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُشير المُبدِّل إلى مدى عدم كون عملية ثنائية معينة تبديلية . وتوجد تعريفات مختلفة تُستخدم في نظرية الزمر ونظرية الحلقات .

نظرية الزمر

المبدل لعنصرين، g و h ، من مجموعة G ، هو العنصر

[ g , h ] = g −1 h −1 gh . [ 1 ]

هذا العنصر يساوي عنصر الوحدة للمجموعة إذا وفقط إذا كان g و h يتبادلان (أي إذا وفقط إذا كان gh = hg ).

إن مجموعة جميع المبدلات في زمرة ما ليست مغلقة بشكل عام تحت عملية الزمرة، ولكن الزمرة الجزئية من G المولدة بواسطة جميع المبدلات تكون مغلقة وتسمى الزمرة المشتقة أو الزمرة الجزئية للمبدلات في G. تُستخدم المبدلات لتعريف الزمر العديمة القوة والزمر القابلة للحل وأكبر زمرة خارج قسمة أبيلية .

يُستخدم تعريف المُبدِّل المذكور أعلاه في جميع أنحاء هذه المقالة، لكن العديد من مُنظِّري الزمر يُعرِّفون المُبدِّل على النحو التالي:

[ g , h ] = ghg ​​−1 h −1 . [ 2 ]

باستخدام التعريف الأول، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي [ g −1 , h −1 ] .

الهويات (نظرية الجماعات)

تُعد متطابقات التبديل أداة مهمة في نظرية الزمر . [ 3 ] يرمز التعبير a x إلى مرافق a بواسطة x ، والذي يُعرَّف على أنه x −1 ax .

  1. xy=x[x،y].{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}
  2. [y،x]=[x،y]-1.{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}
  3. [x،zy]=[x،y]⋅[x،z]y{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}و[xz،y]=[x،y]z⋅[z،y].{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}
  4. [x،y-1]=[y،x]y-1{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}و[x-1،y]=[y،x]x-1.{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}
  5. [[x،y-1]،z]y⋅[[y،z-1]،x]z⋅[[z،x-1]،y]x=1{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}و[[x،y]،zx]⋅[[z،x]،yz]⋅[[y،z]،xy]=1.{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}

تُعرف المتطابقة (5) أيضاً باسم متطابقة هول-ويت ، نسبةً إلى فيليب هول وإرنست ويت . وهي نظيرٌ نظريٌّ للزمر لمتطابقة جاكوبي للمبدل الحلقي (انظر القسم التالي).

ملاحظة: يستخدم بعض علماء نظرية الزمر التعريف المذكور أعلاه لمرافق a في x . [ 4 ] بينما يُعرّف العديد من علماء نظرية الزمر الآخرين مرافق a في x على أنه xax −1 . [ 5 ] وغالبًا ما يُكتب هذا على النحو التالي:xأ{\displaystyle {}^{x}a}تنطبق هويات مماثلة على هذه الاتفاقيات.

تُستخدم أيضًا العديد من المتطابقات التي تكون صحيحة بترددات جزئية معينة. ويمكن أن تكون هذه المتطابقات مفيدة بشكل خاص في دراسة الزمر القابلة للحل والزمر العديمة القوة . على سبيل المثال، في أي زمرة، تتصرف القوى الثانية بشكل جيد:

(xy)2=x2y2[y،x][[y،x]،y].{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}

إذا كانت المجموعة الفرعية المشتقة مركزية، فإن

(xy)ن=xنyن[y،x](ن2).{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n[y,x]^{\binom {n}{2}}.}

نظرية الحلقات

لا تدعم الحلقات عادةً القسمة. وبالتالي، يُعرَّف مُبدِّل عنصرين a و b في حلقة (أو أي جبر تجميعي ) بشكل مختلف بواسطة

[أ،ب]=أب-بأ.{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}

يكون المُبدِّل صفرًا إذا وفقط إذا كان a و b يتبادلان. في الجبر الخطي ، إذا مُثِّلَ تشاكلان داخليان لفضاء ما بمصفوفات تبادلية بدلالة أساس واحد، فإنهما يُمثَّلان كذلك بدلالة كل أساس. باستخدام المُبدِّل كقوس لي ، يُمكن تحويل أي جبر تجميعي إلى جبر لي .

يُعرَّف المُضاد التبادلي لعنصرين a و b في حلقة أو جبر ترابطي بواسطة

{أ،ب}=أب+بأ.{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}

أحيانا[أ،ب]+{\displaystyle [a,b]_{+}}يُستخدم للدلالة على مضاد التبديل، بينما[أ،ب]-{\displaystyle [a,b]_{-}}ثم يُستخدم للمبدل. [ 6 ] يُستخدم المبدل المضاد بشكل أقل تكرارًا، ولكن يمكن استخدامه لتعريف جبر كليفورد وجبر جوردان وفي اشتقاق معادلة ديراك في فيزياء الجسيمات .

يُعدّ مُبدِّل مُؤثرين يعملان على فضاء هيلبرت مفهومًا محوريًا في ميكانيكا الكم ، إذ يُحدِّد مدى إمكانية قياس الكميتين القابلتين للرصد الموصوفتين بهذين المُؤثرين في آنٍ واحد. ويُعتبر مبدأ عدم اليقين في جوهره نظريةً حول هذه المُبدِّلات، استنادًا إلى علاقة روبرتسون-شرودنغر . [ 7 ] في فضاء الطور ، تُسمى المُبدِّلات المُكافئة لضرب الدوال النجمية بأقواس مويال ، وهي مُتماثلة تمامًا مع هياكل مُبدِّلات فضاء هيلبرت المذكورة.

الهويات (نظرية الحلقات)

يتمتع المبدل بالخصائص التالية:

متطابقات جبر لي

  1. [أ+ب،ج]=[أ،ج]+[ب،ج]{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}
  2. [أ،أ]=0{\displaystyle [A,A]=0}
  3. [أ،ب]=-[ب،أ]{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}
  4. [أ،[ب،ج]]+[ب،[ج،أ]]+[ج،[أ،ب]]=0{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}

تُسمى العلاقة (3) بالعلاقة المضادة للتبادل ، بينما تُسمى العلاقة (4) بهوية جاكوبي .

هويات إضافية

  1. [أ،بج]=[أ،ب]ج+ب[أ،ج]{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}
  2. [أ،بجد]=[أ،ب]جد+ب[أ،ج]د+بج[أ،د]{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}
  3. [أ،بجدهـ]=[أ،ب]جدهـ+ب[أ،ج]دهـ+بج[أ،د]هـ+بجد[أ،هـ]{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}
  4. [أب،ج]=أ[ب،ج]+[أ،ج]ب{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}
  5. [أبج،د]=أب[ج،د]+أ[ب،د]ج+[أ،د]بج{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}
  6. [أبجد،هـ]=أبج[د،هـ]+أب[ج،هـ]د+أ[ب،هـ]جد+[أ،هـ]بجد{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}
  7. [أ،ب+ج]=[أ،ب]+[أ،ج]{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}
  8. [أ+ب،ج+د]=[أ،ج]+[أ،د]+[ب،ج]+[ب،د]{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}
  9. [أب،جد]=أ[ب،ج]د+[أ،ج]بد+جأ[ب،د]+ج[أ،د]ب=أ[ب،ج]د+أج[ب،د]+[أ،ج]دب+ج[أ،د]ب{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}
  10. [[أ،ج]،[ب،د]]=[[[أ،ب]،ج]،د]+[[[ب،ج]،د]،أ]+[[[ج،د]،أ]،ب]+[[[د،أ]،ب]،ج]{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}

إذا كان A عنصرًا ثابتًا في حلقة R ، فيمكن تفسير المتطابقة (1) على أنها قاعدة لايبنتز للخريطةإعلانأ:R→R{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}مقدم منإعلانأ⁡(ب)=[أ،ب]{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}بمعنى آخر، يُعرّف التطبيق ad A اشتقاقًا على الحلقة R. تمثل المتطابقتان (2) و(3) قواعد لايبنيز لأكثر من عاملين، وهما صالحتان لأي اشتقاق. يمكن أيضًا تفسير المتطابقات (4) إلى (6) على أنها قواعد لايبنيز . تعبر المتطابقتان (7) و(8) عن ثنائية الخطية Z.

من المتطابقة (9)، نجد أن مبدل القوى الصحيحة لعناصر الحلقة هو:

[أشمال،بم]=∑ن=0شمال-1∑م=0م-1أنبم[أ،ب]بم-م-1أشمال-ن-1=∑ن=0شمال-1∑م=0م-1بمأن[أ،ب]أشمال-ن-1بم-م-1{\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{M-m-1}A^{N-n-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{m}A^{n}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}

يمكن تعميم بعض المتطابقات المذكورة أعلاه على مضاد التبادل باستخدام رمز ± السفلي المذكور أعلاه. [ 8 ] على سبيل المثال:

  1. [أب،ج]±=أ[ب،ج]-+[أ،ج]±ب{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}
  2. [أب،جد]±=أ[ب،ج]-د+أج[ب،د]-+[أ،ج]-دب+ج[أ،د]±ب{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}
  3. [[أ،ب]،[ج،د]]=[[[ب،ج]+،أ]+،د]-[[[ب،د]+،أ]+،ج]+[[[أ،د]+،ب]+،ج]-[[[أ،ج]+،ب]+،د]{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}
  4. [أ،[ب،ج]±]+[ب،[ج،أ]±]+[ج،[أ،ب]±]=0{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}
  5. [أ،بج]±=[أ،ب]-ج+ب[أ،ج]±=[أ،ب]±ج∓ب[أ،ج]-{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}
  6. [أ،بج]=[أ،ب]±ج∓ب[أ،ج]±{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}

الهويات الأسية

لنفترض حلقة أو جبرًا يكون فيه الأسيهـأ=خبرة⁡(أ)=1+أ+12!أ2+⋯{\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }يمكن تعريفها بشكل ذي معنى، مثل جبر باناخ أو حلقة من متسلسلات القوى الرسمية .

في مثل هذه الحلقة، تعطينا ليمّة هادامارد المطبقة على المبدلات المتداخلة ما يلي:هـأبهـ-أ = ب+[أ،ب]+12![أ،[أ،ب]]+13![أ،[أ،[أ،ب]]]+⋯ = هـإعلانأ(ب).{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}(للاطلاع على التعبير الأخير، انظر الاشتقاق المرافق أدناه.) هذه الصيغة هي أساس توسيع بيكر-كامبل-هاوسدورف لـ log(exp( A ) exp( B )).

يُعبّر توسيع مماثل عن مُبدِّل المجموعة للتعبيراتهـأ{\displaystyle e^{A}}(على غرار عناصر زمرة لي ) من حيث سلسلة من المبدلات المتداخلة (أقواس لي)، هـأهـبهـ-أهـ-ب=خبرة([أ،ب]+12![أ+ب،[أ،ب]]+13!(12[أ،[ب،[ب،أ]]]+[أ+ب،[أ+ب،[أ،ب]]])+⋯).{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}

الحلقات المتدرجة والجبر

عند التعامل مع الجبر المتدرج ، عادةً ما يتم استبدال المبدل بالمبدل المتدرج ، المعرف في المكونات المتجانسة على النحو التالي:

[ω،η]زر:=ωη-(-1)درجة⁡ωدرجة⁡ηηω.{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}

الاشتقاق المرافق

خاصةً إذا تعاملنا مع عدة مبدلات في حلقة R ، فإن استخدام ترميز آخر يصبح مفيدًا. بالنسبة لعنصر ماx∈R{\displaystyle x\in R}، نُعرّف التطبيق المرافقأدx:R→R{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}بواسطة:

إعلانx⁡(y)=[x،y]=xy-yx.{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}

هذا التطبيق هو اشتقاق على الحلقة R :

أدx(yz) = أدx(y)z+yأدx(z).{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}

بحسب متطابقة جاكوبي ، فهي أيضاً اشتقاق على عملية التبديل:

أدx[y،z] = [أدx(y)،z]+[y،أدx(z)].{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}

بتكوين هذه الخرائط، نحصل على سبيل المثالإعلانx⁡إعلانy⁡(z)=[x،[y،z]]{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}وإعلانx2(z) = إعلانx(إعلانx(z)) = [x،[x،z]].{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}قد ننظر فيأد{\displaystyle \mathrm {ad} }نفسها كخريطة،أد:R→هـند(R){\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}، أينهـند(R){\displaystyle \mathrm {End} (R)}هي حلقة من التطبيقات من R إلى نفسها مع التركيب كعملية ضرب. ثمأد{\displaystyle \mathrm {ad} }هو تماثل جبر لي ، يحافظ على المبدل:

إعلان[x،y]=[إعلانx،إعلانy].{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}

على النقيض من ذلك، لا يكون دائمًا تشاكلًا حلقيًا: عادةًإعلانxy≠إعلانx⁡إعلانy{\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}.

حكم الجنرال لايبنتز

يمكن كتابة قاعدة لايبنتز العامة ، التي توسع المشتقات المتكررة لمنتج ما، بشكل مجرد باستخدام التمثيل المرافق:

xنy=∑ك=0ن(نك)إعلانxك(y)xن-ك.{\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}

استبدالx{\displaystyle x}بواسطة عامل التفاضل∂{\displaystyle \partial }، وy{\displaystyle y}بواسطة عامل الضربمو:ز↦وز{\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}، نحصلإعلان⁡(∂)(مو)=م∂(و){\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}وبتطبيق كلا الطرفين على دالة g ، تصبح المتطابقة قاعدة لايبنتز المعتادة للمشتقة النونية .∂ن(وز){\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

للمزيد من القراءة