قوس بواسون

في الرياضيات والميكانيكا الكلاسيكية ، يُعدّ قوس بواسون عملية ثنائية مهمة في ميكانيكا هاميلتون ، إذ يلعب دورًا محوريًا في معادلات هاميلتون للحركة، التي تحكم التطور الزمني لنظام ديناميكي هاميلتوني . كما يميز قوس بواسون فئة معينة من تحويلات الإحداثيات، تُسمى التحويلات الكنسية ، والتي تحوّل أنظمة الإحداثيات الكنسية إلى أنظمة إحداثيات كنسية أخرى. يتكون "نظام الإحداثيات الكنسي" من متغيرات الموضع والزخم الكنسية (يرمز لها أدناه بـ${\displaystyle q_{i}}$و${\displaystyle p_{i}}$(على التوالي) التي تحقق علاقات بواسون المتعارف عليها. مجموعة التحويلات المتعارف عليها الممكنة غنية جدًا دائمًا. على سبيل المثال، غالبًا ما يكون من الممكن اختيار الهاميلتوني نفسه.${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}$باعتبارها إحدى إحداثيات الزخم الكنسي الجديدة.

بمعنى أعم، يُستخدم قوس بواسون لتعريف جبر بواسون ، الذي يُعد جبر الدوال على مشعب بواسون حالة خاصة منه. وهناك أمثلة عامة أخرى أيضًا: يظهر هذا القوس في نظرية جبر لي ، حيث يُشكل جبر الموتر لجبر لي جبر بواسون؛ ويُقدم شرح مفصل لكيفية حدوث ذلك في مقالة الجبر الشامل المُغلف . وتؤدي التشوهات الكمومية للجبر الشامل المُغلف إلى مفهوم الزمر الكمومية .

جميع هذه الأشياء سُميت تكريماً لعالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون . وقد قدم قوس بواسون في أطروحته عن الميكانيكا عام 1809. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بفرض وجود دالتين f و g تعتمدان على فضاء الطور والزمن، فإن قوس بواسون الخاص بهما${\displaystyle \{f,g\}}$هي دالة أخرى تعتمد على فضاء الطور والزمن. تنطبق القواعد التالية على أي ثلاث دوال${\displaystyle f,\,g,\,h}$من فضاء الطور والزمن:

خاصية عدم التبادل

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

الخطية الثنائية

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},}$${\displaystyle \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

قاعدة لايبنتز

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

هوية جاكوبي

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

أيضًا، إذا كانت الدالة${\displaystyle k}$ثابت على فضاء الطور (ولكنه قد يعتمد على الزمن)، إذن${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$لأي${\displaystyle f}$.

في الإحداثيات الكنسية (المعروفة أيضًا باسم إحداثيات داربو )${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$في فضاء الطور ، بالنظر إلى دالتين${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$و${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$[ ^{ملاحظة 1 ] يأخذ} قوس بواسون الشكل التالي $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

أقواس بواسون للإحداثيات الكنسية هي $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial (p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

توجد صيغة مكافئة لمعادلات حركة هاميلتون بدلالة قوس بواسون. ويمكن إثبات ذلك بشكل مباشر في إطار إحداثيات صريح. لنفترض أن${\displaystyle f(p,q,t)}$هي دالة على مسار الحل. ومن ثم، من قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات ، $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

علاوة على ذلك، يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle p=p(t)}$و${\displaystyle q=q(t)}$أن تكون حلولاً لمعادلات هاميلتون ؛ أي $$\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}=\{q,{\mathcal {H}}\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=\{p,{\mathcal {H}}\}.\end{aligned}}}$$

ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن التطور الزمني للدالة${\displaystyle f}$يمكن تمثيل الفضاء على مشعب سيمبلكتيكي كعائلة ذات مُعامل واحد من التحويلات السيمبلكتية (أي التحويلات القانونية ، والتحويلات التفاضلية الحافظة للمساحة)، مع الزمن${\displaystyle t}$باعتبار المعامل: فإن الحركة الهاميلتونية هي تحويل قانوني مُوَلَّد بواسطة الهاميلتوني. أي أن أقواس بواسون محفوظة فيه، بحيث في أي وقت${\displaystyle t}$في حل معادلات هاميلتون، $${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})p(0),}$$ يمكن استخدامها كإحداثيات للأقواس. أقواس بواسون هي ثوابت أساسية .

إسقاط الإحداثيات، $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{{\mathcal {H}},\cdot \}\right)f.}$$

المؤثر في الجزء الحملي من المشتقة،${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{{\mathcal {H}},\cdot \}}$، ويشار إليه أحيانًا باسم Liouvillian (انظر نظرية Liouville (Hamiltonian) ).

يمكن توسيع مفهوم أقواس بواسون ليشمل المصفوفات عن طريق تعريف مصفوفة بواسون.

ضع في اعتبارك التحويل الكنسي التالي:$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$تعريف${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$تُعرَّف مصفوفة بواسون على النحو التالي:${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$، أين${\displaystyle J}$هي المصفوفة التبادلية وفقًا لنفس الاصطلاحات المستخدمة لترتيب مجموعة الإحداثيات. ويترتب على التعريف ما يلي:$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

تُحقق مصفوفة بواسون الخصائص المعروفة التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

حيث${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$تُعرف باسم مصفوفة لاغرانج، وعناصرها تُقابل أقواس لاغرانج . ويمكن التعبير عن المتطابقة الأخيرة أيضًا على النحو التالي:$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$لاحظ أن عملية الجمع هنا تتضمن إحداثيات معممة بالإضافة إلى الزخم المعمم.

يمكن التعبير عن ثبات قوس بواسون على النحو التالي: ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$، مما يؤدي مباشرة إلى الحالة التبسيطية:${\textstyle MJM^{T}=J}$[ ^{3 ]​}

سيحتوي النظام القابل للتكامل على ثوابت حركة بالإضافة إلى الطاقة. ستتبادل ثوابت الحركة هذه مع الهاميلتوني تحت قوس بواسون. لنفترض دالة ما${\displaystyle f(p,q)}$هو ثابت الحركة. وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle p(t),q(t)}$إذا كان مسارًا أو حلًا لمعادلات هاميلتون للحركة ، فعلى طول ذلك المسار:$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$حيث، كما سبق، تتم الخطوة الوسيطة بتطبيق معادلات الحركة، ونفترض أن${\displaystyle f}$لا تعتمد هذه المعادلة صراحةً على الزمن. تُعرف هذه المعادلة بمعادلة ليوفيل . وتتلخص نظرية ليوفيل في أن التطور الزمني لمقياس ما يُعطى بدالة توزيع.${\displaystyle f}$يتم تحديده بالمعادلة أعلاه.

إذا كان قوس بواسون لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يختفي (${\displaystyle \{f,g\}=0}$)، ثم${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يقال إنها في حالة انعكاس . ولكي يكون النظام الهاميلتوني قابلاً للتكامل تمامًا ،${\displaystyle n}$يجب أن تكون ثوابت الحركة المستقلة في حالة تداخل متبادل ، حيث${\displaystyle n}$يمثل عدد درجات الحرية.

علاوة على ذلك، وفقًا لنظرية بواسون ، إذا كانت كميتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مستقلة عن الزمن بشكل صريح (${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$) ثوابت الحركة، وكذلك قوس بواسون الخاص بها${\displaystyle \{A,\,B\}}$وينتج هذا عن متطابقة جاكوبي (انظر القسم أدناه). ومع ذلك، لا تقدم نظرية بواسون دائمًا نتيجة مفيدة، نظرًا لأن عدد ثوابت الحركة الممكنة محدود (${\displaystyle 2n-1}$لنظام مع${\displaystyle n}$(درجات الحرية)، وبالتالي قد تكون النتيجة تافهة (ثابتة، أو دالة لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.)

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب التبسيطي ، أي متعدد الشعب المزود بشكل تبسيطي : شكل ثنائي${\displaystyle \omega }$وهو مغلق (أي مشتقته الخارجية)${\displaystyle d\omega }$يختفي) وغير متدهور . على سبيل المثال، في العلاج المذكور أعلاه، خذ${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$وخذ $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

لو${\displaystyle \iota _{v}\omega }$المنتج الداخلي أو عملية الانكماش المحددة بواسطة${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$إذن، فإن عدم الانحلال يعادل القول بأنه لكل شكل أحادي${\displaystyle \alpha }$يوجد حقل متجه فريد${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$بحيث${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$. بدلاً عن ذلك،${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$ثم إذا${\displaystyle H}$هي دالة سلسة على${\displaystyle M}$، حقل متجه هاميلتوني${\displaystyle X_{H}}$يمكن تعريفها بأنها${\displaystyle \Omega _{dH}}$من السهل أن نرى ذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

قوس بواسون${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$العملية ( M , ω ) هي عملية ثنائية الخطية على الدوال القابلة للتفاضل ، معرفة بواسطة${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$قوس بواسون لدالتين على M هو نفسه دالة على M. قوس بواسون مضاد للتناظر لأن: $${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

بالإضافة إلى،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\&=(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_{g}}f.\end{aligned}}}$$

1

هنا، يرمز X _g f إلى حقل المتجهات X _g المطبق على الدالة f كمشتق اتجاهي، و${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$يشير إلى مشتق لي (المكافئ تمامًا) للدالة f .

إذا كان α شكلًا تفاضليًا أحاديًا عشوائيًا على M ، فإن حقل المتجهات Ω _α يولد (على الأقل محليًا) تدفقًا${\displaystyle \phi _{x}(t)}$استيفاء شرط الحدود${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$والمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى $${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

ال${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ستكون تحويلات سيمبلكتومورفية ( تحويلات قانونية ) لكل t كدالة لـ x إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$عندما يكون هذا صحيحًا، يُطلق على Ω _α اسم حقل متجهي تماثلي . بالرجوع إلى متطابقة كارتان${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$و d ω = 0 ، يترتب على ذلك أن${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$لذلك، فإن Ω _α حقل متجهي تماثلي إذا وفقط إذا كانت α صيغة مغلقة .${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$وبناءً على ذلك، فإن كل حقل متجه هاميلتوني X _f هو حقل متجه تماثلي، وأن التدفق الهاميلتوني يتكون من تحويلات قانونية. من (1) أعلاه، في ظل التدفق الهاميلتوني${\displaystyle X_{\mathcal {H}}}$، $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{\mathcal {H}}f=\{f,{\mathcal {H}}\}.}$$

هذه نتيجة أساسية في ميكانيكا هاميلتون، تحكم التطور الزمني للدوال المعرفة على فضاء الطور. كما ذُكر أعلاه، عندما${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}=0}$، f هو ثابت حركة النظام. بالإضافة إلى ذلك، في الإحداثيات الكنسية (مع${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$و${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$)، وتنتج معادلات هاميلتون للتطور الزمني للنظام مباشرة من هذه الصيغة.

ويترتب على (1) أيضاً أن قوس بواسون هو اشتقاق ؛ أي أنه يحقق نسخة غير تبادلية من قاعدة لايبنتز للضرب :

$${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},}$$و$${\displaystyle \{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.}$$

2

يرتبط قوس بواسون ارتباطًا وثيقًا بقوس لي لحقول المتجهات الهاميلتونية. ولأن مشتقة لي هي اشتقاق، $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

وبالتالي، إذا كانت v و ​​u متماثلتين، باستخدام${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }$هوية كارتان، وحقيقة أن${\displaystyle \iota _{u}\omega }$هي صيغة مغلقة، $${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}$$

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}$، لهذا السبب

$${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}.}$$

3

وبالتالي، فإن قوس بواسون على الدوال يُقابل قوس لي لحقول المتجهات الهاميلتونية المرتبطة بها. وقد بيّنا أيضًا أن قوس لي لحقلين متجهين تماثليين هو حقل متجه هاميلتوني، وبالتالي فهو تماثلي أيضًا. بلغة الجبر المجرد ، تُشكّل حقول المتجهات التماثلية جبرًا فرعيًا من جبر لي لحقول المتجهات الملساء على M ، وتُشكّل حقول المتجهات الهاميلتونية مثاليًا لهذا الجبر الفرعي . حقول المتجهات التماثلية هي جبر لي لمجموعة لي (اللامتناهية الأبعاد) للتماثلات التماثلية لـ M.

يُزعم على نطاق واسع أن معادلة جاكوبي لقوس بواسون، $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$ يستنتج ذلك من المتطابقة المناظرة لقوس لي لحقول المتجهات، لكن هذا صحيح فقط حتى دالة ثابتة محليًا. مع ذلك، لإثبات متطابقة جاكوبي لقوس بواسون، يكفي أن نُبين ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$ حيث المشغل${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$يتم تعريف الدوال الملساء على M بواسطة${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$والقوس الموجود على الجانب الأيمن هو مبدل المؤثرات،${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$بحسب (1) ، فإن العامل${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$يساوي المؤثر X _g . ويتبع برهان متطابقة جاكوبي من (3) لأنه، حتى العامل -1، فإن قوس لي لحقول المتجهات هو ببساطة مبدلها كمؤثرات تفاضلية.

يشكل جبر الدوال الملساء على M، بالإضافة إلى قوس بواسون، جبر بواسون ، لأنه جبر لي تحت قوس بواسون، والذي يحقق أيضًا قاعدة لايبنتز (2) . لقد بيّنا أن كل مشعب تماثلي هو مشعب بواسون ، أي مشعب ذو مؤثر "قوس معقوف" على الدوال الملساء بحيث تشكل هذه الدوال جبر بواسون. مع ذلك، لا ينشأ كل مشعب بواسون بهذه الطريقة، لأن مشعبات بواسون تسمح بالانحلال الذي لا يمكن أن يحدث في الحالة التماثلية.

بالنظر إلى حقل متجهي أملس${\displaystyle X}$في مساحة التكوين، دع${\displaystyle P_{X}}$ليكن زخمها المرافق . إن تطبيق الزخم المرافق هو تماثل مضاد لجبر لي من قوس لي إلى قوس بواسون: $${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

هذه النتيجة المهمة تستحق برهانًا موجزًا. اكتب حقلًا متجهيًا${\displaystyle X}$عند النقطة${\displaystyle q}$في مساحة التكوين كـ $${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$ أين${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$هو إطار الإحداثيات المحلي. الزخم المرافق لـ${\displaystyle X}$يحتوي على التعبير $${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$ حيث${\displaystyle p_{i}}$هي دوال الزخم المترافقة مع الإحداثيات. عندئذٍ، يكون لدينا، بالنسبة لنقطة ما،${\displaystyle (q,p)}$في فضاء الطور ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

ينطبق ما سبق على الجميع${\displaystyle (q,p)}$مما يؤدي إلى النتيجة المرجوة.

تتحول أقواس بواسون إلى أقواس مويال عند التكميم ، أي أنها تعمم إلى جبر لي مختلف، وهو جبر مويال ، أو ما يعادله في فضاء هيلبرت ، المبدلات الكمومية . ويؤدي انكماش مجموعة ويغنر-إينونو لهذه الأقواس (الحد الكلاسيكي، ħ → 0 ) إلى جبر لي المذكور أعلاه.

بصورة أوضح وأدق، فإن الجبر الشامل المُغلِّف لجبر هايزنبرغ هو جبر فايل (مع مراعاة أن يكون المركز هو الوحدة). وبالتالي، فإن جداء مويال هو حالة خاصة من الجداء النجمي على جبر الرموز. يرد تعريف صريح لجبر الرموز والجداء النجمي في مقالة الجبر الشامل المُغلِّف .

• أرنولد، فلاديمير آي. (1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-96890-2.
• لاندو، ليف د .؛ ليفشيتز، إيفجيني م. (1982). الميكانيكا . سلسلة محاضرات في الفيزياء النظرية . المجلد  1 (  الطبعة الثالثة). باتروورث-هاينمان. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• كاراسيف، ميخائيل ف.؛ ماسلوف، فيكتور ب. (1993). أقواس بواسون غير الخطية، الهندسة والتكميم . ترجمات من دراسات رياضية. المجلد  119. ترجمة: سوسينسكي، أليكسي؛ شيشكوفا، ماجستير. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0821887967MR 1214142 .​ 
• موريتي، فالتر (2023). الميكانيكا التحليلية، الميكانيكا الكلاسيكية، ميكانيكا لاغرانج وهاملتون، نظرية الاستقرار، النسبية الخاصة . سلسلة يونيتكست. المجلد  150. سبرينغر. ISBN 978-3-031-27612-5.
• بواسون، سيمون دينيس (1809). "Mémoire sur lavariation des Constantes Arbitaires dans les questions de Mécanique" (PDF) . مجلة المدرسة متعددة التقنيات، المجلد 15 . 8 : 266-344.
• مارل، شارل ميشيل (2009). "نشأة الهندسة التبسيطية: أعمال لاغرانج وبواسون خلال الفترة 1808-1810". رسائل في الفيزياء الرياضية . 90 ( 1-3 ): 3-21. arXiv : 0902.0685 . Bibcode : 2009LMaPh..90....3M . doi : 10.1007/s11005-009-0347-y .

• "أقواس بواسون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• إريك دبليو. وايسشتاين . "قوس بواسون" . عالم الرياضيات .