حقل متجهي سيمبليكتيكي

في الفيزياء والرياضيات ، يُعرف حقل المتجهات التبسيطي بأنه حقل يحافظ تدفقه على شكل تبسيطي . أي، إذا${\displaystyle (M,\omega )}$هو متعدد شعب سيمبليكتيكي ذو متعدد شعب أملس${\displaystyle M}$والشكل التبسيطي${\displaystyle \omega }$ثم حقل متجه${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ في جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$من حقول المتجهات السلسة على${\displaystyle M}$يكون النظام متماثلاً إذا حافظ تدفقه على البنية المتماثلة. بعبارة أخرى، يجب أن تتلاشى مشتقة لي للحقل المتجهي.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$[ ^{1 ]​}

يُعرَّف الحقل المتجهي تعريفًا بديلًا بأنه حقل تماثلي إذا كان حاصل ضربه الداخلي مع الشكل التماثلي مغلقًا. ^{[ 1 ]} (يُعطي حاصل الضرب الداخلي تطبيقًا من الحقول المتجهة إلى الأشكال التفاضلية من الرتبة 1، وهو تماثل ناتج عن عدم انحلال الشكل التماثلي من الرتبة 2). وينتج تكافؤ التعريفين من انغلاق الشكل التماثلي وصيغة كارتان السحرية لمشتقة لي بدلالة المشتقة الخارجية .

إذا كان حاصل الضرب الداخلي لحقل متجهي ذي شكل تماثلي شكلاً دقيقاً (وخاصةً شكلاً مغلقاً)، فإنه يُسمى حقلاً متجهياً هاميلتونياً . إذا كانت مجموعة التماثل الأولى لدي رام${\displaystyle H^{1}(M)}$بما أن حساب التشعب تافه، فإن جميع الصيغ المغلقة دقيقة، وبالتالي فإن جميع حقول المتجهات التبادلية هي حقول هاميلتونية. أي أن العائق أمام كون حقل المتجهات التبادلي هاميلتونيًا يكمن في${\displaystyle H^{1}(M)}$. على وجه الخصوص، فإن حقول المتجهات التبسيطية على المشعبات المتصلة ببساطة هي حقول هاميلتونية.

إن قوس لي لحقلين متجهين متماثلين هو هاميلتوني، وبالتالي فإن مجموعة الحقول المتجهة المتماثلة ومجموعة الحقول المتجهة الهاميلتونية تشكلان جبر لي .

تتضمن هذه المقالة مواد من حقل المتجهات التبسيطي على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

• حقل متجهي سيمبليكتيكي على nLab