قوس لي لحقول المتجهات

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الطوبولوجيا التفاضلية الرياضية ، يُعرف قوس لي للحقول المتجهة ، أو قوس جاكوبي - لي، أو مبدل الحقول المتجهة ، بأنه مؤثر يُسند إلى أي حقلين متجهينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}على مشعب أملسم{\displaystyle M}حقل متجه ثالث يُشار إليه بـ[X،Y]{\displaystyle [X,Y]}.

من الناحية المفاهيمية، قوس لي[X،Y]{\displaystyle [X,Y]}هو مشتق منY{\displaystyle Y}على طول التدفق الناتج عنX{\displaystyle X}ويُشار إليه أحيانًا بـلXY{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}(مشتقة لي لـ Y على طول X). يُعمم هذا ليشمل مشتقة لي لأي حقل موتر على طول التدفق الناتج عنX{\displaystyle X}.

قوس لي هو عملية ثنائية الخطية من النوع R ، ويقوم بعكس مجموعة جميع حقول المتجهات الملساء على المتشعبم{\displaystyle M}إلى جبر لي (لا نهائي الأبعاد) .

يلعب قوس لي دورًا مهمًا في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية ، على سبيل المثال في نظرية التكامل لفروبينيوس ، وهو أيضًا أساسي في النظرية الهندسية لأنظمة التحكم غير الخطية . [ 1 ]

يشير في. آي. أرنولد إلى هذا باسم "مشتق الصياد"، حيث يمكن للمرء أن يتخيل نفسه صيادًا، ممسكًا بصنارة صيد، جالسًا في قارب. يتحرك كل من القارب والعوامة وفقًا لحقل متجهي.X{\displaystyle X}ويقوم الصياد بتطويل/تقصير وتدوير صنارة الصيد وفقًا لحقل المتجهات.Y{\displaystyle Y}يمثل قوس الرفع مقدار السحب على عوامة الصيد بالنسبة للماء المحيط. [ 2 ]

التعريفات

هناك ثلاثة مناهج مختلفة من حيث المفهوم ولكنها متكافئة لتعريف قوس لي:

حقول المتجهات كمشتقات

كل حقل متجه سلسX:م→تيم{\displaystyle X:M\rightarrow TM}على مشعبم{\displaystyle M}يمكن اعتبارها مؤثرًا تفاضليًا يعمل على دوال سلسة و(ص){\displaystyle f(p)}(أينص∈م{\displaystyle p\in M}وو{\displaystyle f}من فئةج∞(م){\displaystyle C^{\infty }(M)}) عندما نحددX(و){\displaystyle X(f)}أن تكون دالة أخرى قيمتها عند نقطةص{\displaystyle p}هي المشتقة الاتجاهية لـو{\displaystyle f}فيص{\displaystyle p}في الاتجاهX(ص){\displaystyle X(p)}وبهذه الطريقة، كل حقل متجه سلسX{\displaystyle X}يصبح اشتقاقًا منج∞(م){\displaystyle C^{\infty }(M)}علاوة على ذلك، أي اشتقاق علىج∞(م){\displaystyle C^{\infty }(M)}ينشأ من حقل متجهي أملس فريدX{\displaystyle X}.

بشكل عام، المبدلدلتا1∘دلتا2-دلتا2∘دلتا1{\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}من أي مشتقيندلتا1{\displaystyle \delta _{1}}ودلتا2{\displaystyle \delta _{2}}وهو اشتقاق آخر، حيث∘{\displaystyle \circ }يشير إلى تركيب المؤثرات. ويمكن استخدام هذا لتعريف قوس لي على أنه حقل متجهي يناظر اشتقاق المبدل:

[X،Y](و)=X(Y(و))-Y(X(و)) للجميع و∈ج∞(م).{\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ لجميع }}f\in C^{\infty }(M).}

التدفقات والحدود

يتركΦتX{\displaystyle \Phi _{t}^{X}}ليكن التدفق المرتبط بحقل المتجهاتX{\displaystyle X}ودعد{\displaystyle D}لنرمز إلى مشتقة الخريطة المماسية . عندئذٍ يكون قوس لي لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}عند النقطةx∈م{\displaystyle x\in M}يمكن تعريفها بأنها مشتقة لي :

[X،Y]x = (لXY)x := ليمت→0(دΦ-تX)YΦتX(x)-Yxت = ددت|ت=0(دΦ-تX)YΦتX(x).{\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}

ويقيس هذا أيضًا فشل التدفق في الاتجاهات المتتاليةX،Y،-X،-Y{\displaystyle X,Y,-X,-Y}لنعود إلى النقطةx{\displaystyle x}:

[X،Y]x = 12د2دت2|ت=0(Φ-تY∘Φ-تX∘ΦتY∘ΦتX)(x) = ددت|ت=0(Φ-تY∘Φ-تX∘ΦتY∘ΦتX)(x).// _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {ر}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}

في الإحداثيات

على الرغم من أن التعريفات المذكورة أعلاه لأقواس لي هي تعريفات جوهرية (مستقلة عن اختيار الإحداثيات على المتشعب)م{\displaystyle M})، عمليًا، غالبًا ما يرغب المرء في حساب القوس بدلالة نظام إحداثيات محدد{xأنا}{\displaystyle \{x^{i}\}}نكتب∂أنا=∂∂xأنا{\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}بالنسبة للأساس المحلي المرتبط بحزمة المماس، بحيث يمكن كتابة حقول المتجهات العامةX=∑أنا=1نXأنا∂أنا{\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}وY=∑أنا=1نYأنا∂أنا{\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}لوظائف سلسةXأنا،Yأنا:م→R{\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }ثم يمكن حساب قوس لي على النحو التالي:

[X،Y]:=∑أنا=1ن(X(Yأنا)-Y(Xأنا))∂أنا=∑أنا=1ن∑ج=1ن(Xج∂جYأنا-Yج∂جXأنا)∂أنا.{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}

لوم{\displaystyle M}هي (مجموعة فرعية مفتوحة من)Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ثم حقول المتجهاتX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يمكن كتابتها كخرائط سلسة من الشكلX:م→Rن{\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}وY:م→Rن{\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}وقوس لي[X،Y]:م→Rن{\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}يُعطى بواسطة:

[X،Y]:=جYX-جXY{\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}

أينجY{\displaystyle J_{Y}}وجX{\displaystyle J_{X}}نكونن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفات جاكوبيان (∂جYأنا{\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}و∂جXأنا{\displaystyle \partial _{j}X^{i}}(باستخدام ترميز الفهرس على التوالي) ضربن×1{\displaystyle n\times 1}متجهات عموديةX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}.

ملكيات

قوس لي لحقول المتجهات يجهز الفضاء المتجهي الحقيقيV=Γ(تيم){\displaystyle V=\Gamma (TM)}من جميع حقول المتجهات علىم{\displaystyle M}(أي، الأجزاء الملساء من الحزمة المماسية)تيم→م{\displaystyle ™\to M}) ببنية جبر لي ، مما يعني أن [ • ، • ] عبارة عن دالةV×V→V{\displaystyle V\times V\to V}مع:

ومن النتائج المباشرة للخاصية الثانية أن[X،X]=0{\displaystyle [X,X]=0}لأيX{\displaystyle X}.

علاوة على ذلك، توجد " قاعدة الضرب " لأقواس لي. بالنظر إلى دالة سلسة (ذات قيمة عددية)و{\displaystyle f}علىم{\displaystyle M}وحقل متجهY{\displaystyle Y}علىم{\displaystyle M}، نحصل على حقل متجه جديدوY{\displaystyle fY}عن طريق ضرب المتجهYx{\displaystyle Y_{x}}بواسطة العدد القياسيو(x){\displaystyle f(x)}عند كل نقطةx∈م{\displaystyle x\in M}. ثم:

  • [X،وY] = X(و)Y+و[X،Y]،{\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}

حيث نضرب الدالة العدديةX(و){\displaystyle X(f)}مع حقل المتجهاتY{\displaystyle Y}والدالة العدديةو{\displaystyle f}مع حقل المتجهات[X،Y]{\displaystyle [X,Y]}. هذا يحول حقول المتجهات مع قوس لي إلى جبر لي .

اختفاء قوس الكذبX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}يعني ذلك أن اتباع التدفقات في هذه الاتجاهات يحدد سطحًا مضمنًا فيم{\displaystyle M}، معX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}كحقول متجهات إحداثية:

نظرية:[X،Y]=0{\displaystyle [X,Y]=0\,}إذا كانت تدفقاتX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}التنقل محلياً، بمعنى(ΦتYΦsX)(x)=(ΦsXΦتY)(x){\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}للجميعx∈م{\displaystyle x\in M}وصغيرة بما فيه الكفايةs{\displaystyle s}،ت{\displaystyle t}.

هذه حالة خاصة من نظرية التكامل لفروبينيوس .

أمثلة

من أجل مجموعة كاذبةجي{\displaystyle G}، جبر لي المقابلز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}الفضاء المماسي عند نقطة الهويةتيهـجي{\displaystyle T_{e}G}والتي يمكن تحديدها مع فضاء المتجهات لحقول المتجهات الثابتة من اليسار علىجي{\displaystyle G}إن قوس لي لحقلين متجهين ثابتين من اليسار هو أيضًا ثابت من اليسار، وهو ما يُعرّف عملية قوس جاكوبي-لي[⋅،⋅]:ز×ز→ز{\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}.

بالنسبة لمجموعة لي المصفوفية، التي عناصرها عبارة عن مصفوفاتز∈جي⊂من×ن(R){\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}، يمكن تمثيل كل فضاء مماس على شكل مصفوفات:تيزجي=ز⋅تيأناجي⊂من×ن(R){\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}، أين⋅{\displaystyle \cdot }يعني ضرب المصفوفات وأنا{\displaystyle I}هي مصفوفة الوحدة. حقل المتجهات الثابت المقابل لـX∈ز=تيأناجي{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}يُعطى بواسطةXز=ز⋅X∈تيزجي{\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}وتُظهر الحسابات قوس لي علىز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}يتوافق مع المبدل المعتاد للمصفوفات:

[X،Y] = X⋅Y-Y⋅X.{\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}

التعميمات

كما ذُكر أعلاه، يمكن اعتبار مشتقة لي تعميمًا لقوس لي. ومن التعميمات الأخرى لقوس لي (إلى الأشكال التفاضلية ذات القيم المتجهة ) قوس فروليشر-ناينهاوس .

مراجع

  1. ↑ إشعياء 2009 ، ص 20-21 ، الأنظمة غير الهولونومية ؛ خليل 2002 ، ص 523-530 ، التخطيط الخطي للتغذية الراجعة .  
  2. ↑ أرنولد، السادس؛ خيسين، بوريس أ. (1999). الأساليب الطوبولوجية في الديناميكا المائية . العلوم الرياضية التطبيقية (الطبعة الثانية المنقحة  ). نيويورك برلين هايدلبرغ: سبرينغر. ص  6. ISBN 978-0-387-94947-5.