نظرية فروبينيوس (الطوبولوجيا التفاضلية)

لنفترض أننا نريد إيجاد مسار جسيم في مجموعة جزئية من الفضاء ثلاثي الأبعاد، لكننا لا نعرف صيغة مساره. بدلاً من ذلك، نعرف فقط أن مساره يحقق${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$، أين${\displaystyle a,b,c}$هي دوال سلسة لـ${\displaystyle (x,y,z)}$وبالتالي، فإن يقيننا الوحيد هو أنه إذا كان الجسيم في لحظة ما من الزمن موجودًا في الموقع${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ثم تكون سرعته في تلك اللحظة محصورة داخل المستوى بالمعادلة$${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

بمعنى آخر، يمكننا رسم "مستوى محلي" عند كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ونعلم أن مسار الجسيم يجب أن يكون مماسًا للمستوى المحلي في جميع الأوقات.

إذا كان لدينا معادلتان$${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$عندئذٍ، يمكننا رسم مستويين محليين عند كل نقطة، ويكون تقاطعهما عادةً خطًا مستقيمًا، مما يسمح لنا بحل المنحنى بشكل فريد بدءًا من أي نقطة. بعبارة أخرى، باستخدام شكلين تفاضليين من الدرجة الأولى، يمكننا تقسيم المجال إلى منحنيات.

إذا كان لدينا معادلة واحدة فقط${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$عندها قد نتمكن من التغطية بالأوراق${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$في حالة الأسطح، يمكننا التأكد من أن المنحنى الذي يبدأ من سطح معين يجب أن يقتصر على التجول داخل ذلك السطح. وإلا، فقد ينتهي المنحنى الذي يبدأ من أي نقطة عند أي نقطة أخرى.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

يمكن للمرء أن يتخيل البدء بمجموعة من الأسطح الصغيرة، ثم دمجها معًا لتشكيل سطح كامل. يكمن الخطر الرئيسي في أنه إذا قمنا بدمج هذه الأسطح الصغيرة اثنين اثنين، فقد ندخل في حلقة مفرغة ونعود إلى نقطة البداية، ولكن مع إزاحة طفيفة. إذا حدث هذا، فلن نحصل على سطح ثنائي الأبعاد، بل على شكل ثلاثي الأبعاد. يوضح الرسم البياني على اليمين مثالًا على ذلك.

إذا كان الشكل التفاضلي أحادي البعد قابلاً للتكامل، فإن الحلقات تغلق تمامًا على نفسها، وسيكون كل سطح ثنائي الأبعاد. تنص نظرية فروبينيوس على أن هذا يحدث تحديدًا عندما${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$على كامل النطاق، حيث${\displaystyle \omega$ :=adx+bdy+cdz} . تم تعريف الترميز في المقالة المتعلقة بالأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى .

أثبت كاراثيودوري خلال تطويره للديناميكا الحرارية البديهية أنه إذا${\displaystyle \omega }$هي شكل تفاضلي قابل للتكامل على مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle \omega =fdg}$بالنسبة لبعض الدوال العددية${\displaystyle f,g}$على المجموعة الجزئية. يُطلق على هذا عادةً اسم نظرية كاراثيودوري في الديناميكا الحرارية البديهية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يمكن إثبات ذلك بشكل بديهي عن طريق إنشاء المستويات الصغيرة أولاً وفقًا لـ${\displaystyle \omega }$ثم يتم تجميعها معًا لتشكيل طبقات متداخلة، ثم يتم تعيين تسمية عددية لكل سطح في هذه الطبقات. الآن لكل نقطة${\displaystyle p}$، يُعرِّف${\displaystyle g(p)}$ليكون الملصق القياسي للسطح الذي يحتوي على النقطة${\displaystyle p}$.

الآن،${\displaystyle dg}$هو شكل أحادي له نفس المستويات تمامًا مثل${\displaystyle \omega }$ومع ذلك، فإن سمكه متساوٍ في كل مكان، بينما${\displaystyle \omega }$قد يكون له "سماكة غير متساوية". يمكن إصلاح ذلك عن طريق تغيير المقياس القياسي بواسطة${\displaystyle f}$، إعطاء${\displaystyle \omega =fdg}$وهذا موضح على اليمين.

في أبسط صورها، تتناول النظرية مشكلة إيجاد مجموعة قصوى من الحلول المستقلة لنظام منتظم من المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى .

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \$ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}

لتكن مجموعة من الدوال من ^الرتبة C1 ، حيث r < n ، بحيث تكون رتبة المصفوفة ( fik ₎  هي r عند تقييمها عند أي نقطة من ^Rn . ^لنعتبر نظام المعادلات التفاضلية الجزئية التالي لدالة ^{من الرتبة} C2 u : Rn → R : 

$(1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

يسعى المرء إلى إيجاد شروط على وجود مجموعة من الحلول u ₁ ، ... ، u _{n − r} بحيث تكون التدرجات ∇ u ₁ ، ... ، ∇ u _{n − r} مستقلة خطيًا .

تنص نظرية فروبينيوس على أن هذه المسألة تقبل حلاً محلياً ^{[ 3 ]} إذا، وفقط إذا، حققت المؤثرات L _k شرطاً معيناً للتكامل يُعرف باسم الانعكاسية . وبالتحديد، يجب أن تحقق علاقات من الشكل التالي:

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

لكل i ≤ i ، j ≤ r ، ولكل دوال u من الفئة C² ، ولبعض المعاملات c k ij ( x ) التي يُسمح لها بالاعتماد على x . بعبارة أخرى، يجب أن تقع المبدلات [ Li , L j  ] في الفضاء الخطي الممتد لـ L k عند كل نقطة. شرط الانعكاسية هو تعميم لشرط تبادلية المشتقات الجزئية. في الواقع، تتمثل استراتيجية إثبات نظرية فروبينيوس في تكوين تراكيب خطية بين المؤثرات Li بحيث تتبادل المؤثرات الناتجة، ثم إثبات وجود نظام إحداثيات y i تكون فيه هذه التراكيب هي تحديدًا المشتقات الجزئية بالنسبة إلى y  1  ، ...، y r .

على الرغم من أن النظام مُفرط التحديد، إلا أن هناك عادةً عددًا لا نهائيًا من الحلول. على سبيل المثال، نظام المعادلات التفاضلية

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

_{يسمح هذا بوضوح بوجود حلول متعددة. ومع ذلك} ، لا تزال هذه الحلول تتمتع ببنية كافية لوصفها وصفًا كاملًا. الملاحظة الأولى هي أنه حتى لو كان f1 و f2 حلين مختلفين، فلا بد أن تتداخل أسطحهما المستوية. في الواقع، جميع الأسطح المستوية لهذا النظام هي مستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ على _{الصورة x} - ^y + z = C ، حيث C ثابت . الملاحظة الثانية هي أنه بمجرد معرفة الأسطح المستوية، يمكن التعبير عن جميع الحلول بدلالة دالة اختيارية. بما أن قيمة الحل f على سطح مستوٍ ثابتة بحكم التعريف، نُعرّف الدالة C ( t ) كما يلي:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ عندما }}x-y+z=t.}$

على النقيض من ذلك، إذا عُلمت دالة C ( t ) ، فإن كل دالة f مُعطاة بهذه الدالة تُعد حلاً للمعادلة الأصلية. وبالتالي، وبسبب وجود مجموعة من الأسطح المستوية، فإن حلول المعادلة الأصلية تتطابق تطابقاً تاماً مع أي دالة لمتغير واحد.

_تسمح نظرية فروبينيوس بإثبات تطابق مماثل للحالة الأكثر عمومية لحلول المعادلة (1). لنفترض أن u₁ , ..., uₙ₋ₚ هي حلول للمسألة (1) تحقق شرط استقلال التدرجات. لنعتبر مجموعات المستوى ^{[ 4 ]} لـ ( u₁ _, ..., uₙ₋ₚ ) كدوال ذات قيم في Rₙ₋ₚ . إذا كانت _v₁ , ..., _vₙ₋ₚ مجموعة أخرى من هذه الحلول، فيمكن إثبات (باستخدام بعض الجبر الخطي ونظرية القيمة المتوسطة ₎ أن لها نفس عائلة مجموعات المستوى ، ولكن مع اختيار مختلف محتمل للثوابت لكل مجموعة. ^{وبالتالي} ، على الرغم من أن الحلول المستقلة للمعادلة ( ₁ ) ليست فريدة، فإن المعادلة (1) تحدد مع ذلك عائلة فريدة من مجموعات المستوى. وكما هو الحال في المثال، فإن الحلول العامة u للمعادلة (1) تتطابق تطابقًا تامًا مع الدوال (القابلة للتفاضل باستمرار) على عائلة مجموعات المستوى. ^{[ 5 ]}

تُسمى مجموعات المستويات التي تُقابل مجموعات الحلول المستقلة القصوى للمعادلة (1) بالمتشعبات التكاملية، لأن الدوال على مجموعة جميع المتشعبات التكاملية تُقابل، بمعنى ما، ثوابت التكامل . وبمجرد معرفة أحد ثوابت التكامل هذه، يُعرف الحل المقابل لها.

في صياغة حقل المتجهات، تنص النظرية على أن حزمة فرعية من الحزمة المماسية لمتشعب تكون قابلة للتكامل (أو انعكاسية) إذا وفقط إذا نشأت من توريق منتظم . في هذا السياق، تربط نظرية فروبينيوس التكامل بالتوريق؛ ولصياغة النظرية، يجب تعريف كلا المفهومين تعريفًا واضحًا.

يبدأ المرء بملاحظة أن حقل متجه أملس عشوائي${\displaystyle X}$على مشعب${\displaystyle M}$يُعرّف عائلة من المنحنيات ، ومنحنياتها التكاملية${\displaystyle u:I\to M}$(للفترات)${\displaystyle I}$هذه هي حلول ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$وهو نظام من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى ، والتي يضمن حلها نظرية بيكارد-ليندلوف . إذا كان حقل المتجهات${\displaystyle X}$إذا لم يكن يساوي صفرًا في أي مكان، فإنه يُعرّف حزمة فرعية أحادية البعد من الحزمة المماسية لـ${\displaystyle M}$وتشكل المنحنيات التكاملية توريقًا منتظمًا من${\displaystyle M}$وبالتالي، فإن الحزم الفرعية أحادية البعد تكون قابلة للتكامل دائمًا.

إذا كان للحزمة الفرعية بُعد أكبر من واحد، فيجب فرض شرط. ينص أحد هذه الشروط على أن الحزمة الفرعية${\displaystyle E\subset TM}$حزمة المماس${\displaystyle TM}$تكون قابلة للتكامل (أو انعكاسية )، إذا كان لأي حقلين متجهين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$أخذ القيم في${\displaystyle E}$قوس لي${\displaystyle [X,Y]}$يأخذ القيم في${\displaystyle E}$كذلك. لا يلزم تعريف مفهوم التكامل هذا محليًا إلا؛ أي وجود حقول المتجهات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$ولا يلزم تعريف قابلية تكاملها إلا على مجموعات فرعية من${\displaystyle M}$.

توجد عدة تعريفات للتوريق . سنستخدم هنا التعريف التالي:

التعريف: التوريق من الفئة Cr ذو البعد p لمتشعب M ذي البعد n ^هو تفكيك لـ M إلى اتحاد متشعبات فرعية منفصلة متصلة { Lα _} ، _{حيث α ∈ A} ، وتُسمى أوراق التوريق، ولها الخاصية التالية: لكل نقطة في M جوار U ونظام إحداثيات محلية من _الفئة Cr ^، x = ( x₁ ^, ..., xₙ ⁾ : U → Rₙ ^، بحيث تُوصف مكونات U ∩ _Lα لكل ورقة Lα بالمعادلات xₚ ^{+ 1 =} ثابت، ...، xₙ = ثابت ^. يُرمز للتوريق بـ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$={ L _α } _{α∈ A} . ^{[ 7 ]}

وبكل بساطة، أي توريق من${\displaystyle M}$يُعرّف حزمة فرعية قابلة للتكامل، لأنه إذا${\displaystyle p\in M}$و${\displaystyle N\subset M}$هي ورقة التوريق التي تمر عبر${\displaystyle p}$ثم ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$قابلة للتكامل. تنص نظرية فروبينيوس على أن العكس صحيح أيضاً:

بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، تنص نظرية فروبينيوس على أن الحزمة الفرعية${\displaystyle E}$تكون قابلة للتكامل إذا وفقط إذا كانت الحزمة الفرعية${\displaystyle E}$ينشأ من تورق منتظم لـ${\displaystyle M}$.

ليكن U مجموعة مفتوحة في مشعب M ، ^{وليكن Ω₁} ( U ) فضاء الأشكال التفاضلية الملساء من ^الرتبة 1 على U ، وليكن F وحدة فرعية من Ω₁ ( U ) من الرتبة r ، حيث تكون الرتبة ثابتة على U. تنص نظرية فروبينيوس على أن F قابلة للتكامل إذا وفقط إذا كان لكل p في U، فإن الجذع Fp مُوَلَّد بواسطة _r من الأشكال التفاضلية التامة .

هندسيًا، تنص النظرية على أن وحدة قابلة للتكامل من الأشكال التفاضلية من الرتبة r هي نفسها توريق ذو بُعد مشترك r . وينتج التوافق مع التعريف الوارد في المقدمة، والمُستخدم بدلالة حقول المتجهات، عن العلاقة الوثيقة بين الأشكال التفاضلية ومشتقات لي . تُعد نظرية فروبينيوس إحدى الأدوات الأساسية لدراسة حقول المتجهات والتوريقات.

وبالتالي، توجد صيغتان للنظرية: إحداهما تعمل مع التوزيعات ، أي الحزم الفرعية الملساء D للحزمة المماسية TM ؛ والأخرى تعمل مع الحزم الفرعية للحلقة المتدرجة Ω( M ) لجميع الأشكال على M. وترتبط هاتان الصيغتان بالازدواجية. إذا كان D توزيعًا مماسًا أملسًا على M ، فإن مُفني D ، I ( D )، يتكون من جميع الأشكال.${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$(لأي${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$) بحيث

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

للجميع${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$تشكل المجموعة I ( D ) حلقةً جزئيةً، بل ومثالاً مثالياً في Ω( M ) . علاوةً على ذلك، باستخدام تعريف المشتقة الخارجية ، يمكن إثبات أن I ( D ) مغلقة تحت التفاضل الخارجي (أي أنها مثالية تفاضلية ) إذا وفقط إذا كانت D دالة انعكاسية. بالتالي، تأخذ نظرية فروبينيوس الشكل المكافئ التالي: I ( D ) مغلقة تحت التفاضل الخارجي إذا وفقط إذا كانت D قابلة للتكامل.

أحد التعميمات اللانهائية الأبعاد هو كما يلي. ^{[ 8 ]} ليكن X و Y فضاءين من فضاءات باناخ ، و A ⊂ X و B ⊂ Y زوجًا من المجموعات المفتوحة .

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

لتكن دالة قابلة للتفاضل باستمرار للجداء الديكارتي (الذي يرث بنية قابلة للتفاضل من تضمينه في X × Y ) في فضاء التحويلات الخطية المستمرة L ( X , Y ) من X إلى Y. التطبيق القابل للتفاضل u : A → B هو حل للمعادلة التفاضلية 

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

لو

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

تكون المعادلة (1) قابلة للتكامل تمامًا إذا كان لكل${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$، هناك جوار U لـ x ₀ بحيث يكون للمعادلة (1) حل وحيد u ( x ) معرف على U بحيث يكون u ( x ₀ )= y ₀ .

تعتمد شروط نظرية فروبينيوس على ما إذا كان الحقل الأساسي R أو C. إذا كان R ، فافترض أن F قابلة للتفاضل باستمرار. إذا كان C ، فافترض أن F قابلة للتفاضل مرتين باستمرار. عندئذٍ، تكون المعادلة (1) قابلة للتكامل تمامًا عند كل نقطة من A × B إذا وفقط إذا

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

لكل s ₁ ، s ₂ ∈ X. هنا D ₁ (على التوالي D ₂ ) تشير إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير الأول (على التوالي الثاني)؛ يشير الضرب النقطي إلى تأثير المؤثر الخطي F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) ، بالإضافة إلى تأثيرات المؤثرين D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y )) و D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

يظل نص النظرية صحيحًا بالنسبة للأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى الهولومورفية على المشعبات المعقدة - المشعبات فوق C ذات دوال الانتقال ثنائية الهولومورفية . ^{[ 10 ]}

على وجه التحديد، إذا${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$هي r أشكال هولومورفية خطية مستقلة من الدرجة الأولى على مجموعة مفتوحة في C ⁿ بحيث

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

بالنسبة لنظام ما من الأشكال التفاضلية التامة الشكلية من الدرجة الأولى ψ ^j _i ، 1 ≤ i ، j ≤ r ، فإنه توجد دوال تامة الشكلية f _i ^j و g ⁱ بحيث، على نطاق أصغر محتمل،

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

تنطبق هذه النتيجة محليًا بنفس معنى الصيغ الأخرى لنظرية فروبينيوس. وعلى وجه الخصوص، فإن حقيقة ذكرها لمجالات في C ⁿ ليست تقييدية.

لا يمكن تعميم هذا البيان على أشكال الدرجة الأعلى، على الرغم من وجود عدد من النتائج الجزئية مثل نظرية داربو ونظرية كارتان-كاهلر .

في الديناميكا الحرارية الكلاسيكية ، يمكن استخدام نظرية فروبينيوس لبناء الإنتروبيا ودرجة الحرارة في صيغة كاراثيودوري. ^{[ 1 ] [ 11 ]}

على وجه التحديد، درس كاراثيودوري نظامًا ديناميكيًا حراريًا (يمكن تخيله عمليًا على شكل مكبس غاز) يتفاعل مع العالم الخارجي إما عن طريق التوصيل الحراري (مثل إشعال المكبس) أو عن طريق الشغل الميكانيكي (دفع المكبس). ثم عرّف "العملية الأديباتية" بأنها أي عملية قد يخضع لها النظام دون توصيل حراري، وحدد علاقة " إمكانية الوصول الأديباتية " على النحو التالي: إذا كان النظام قادرًا على الانتقال من الحالة أ إلى الحالة ب بعد عملية أديباتية، فإن${\displaystyle B}$يمكن الوصول إليه بشكل أديباتي من${\displaystyle A}$اكتبها على النحو التالي:${\displaystyle A\succeq B}$.

والآن افترض أن

• لأي زوج من الولايات${\displaystyle A,B}$، واحد على الأقل من${\displaystyle A\succeq B}$و${\displaystyle B\succeq A}$يحجز.
• لأي ولاية${\displaystyle A}$وأي حي من أحياء${\displaystyle A}$توجد دولة${\displaystyle B}$في الحي، بحيث${\displaystyle B}$لا يمكن الوصول إليه بشكل أديباتي من${\displaystyle A}$.

بعد ذلك، يمكننا تقسيم فضاء الحالة إلى مجموعات فرعية من الحالات التي يمكن الوصول إليها بشكل متبادل بشكل أديباتي. مع افتراضات بسيطة حول سلاسة${\displaystyle \succeq }$، كل مجموعة فرعية هي متعددة الشعب ذات البعد المشترك 1. أطلق على هذه متعددات الشعب اسم "الأسطح الأديباتية".

بحسب القانون الأول للديناميكا الحرارية ، توجد دالة قياسية${\displaystyle U}$(الطاقة الداخلية) على فضاء الحالة، بحيث$${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$أين${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$هذه هي الطرق الممكنة لإجراء عمل ميكانيكي على النظام. على سبيل المثال، إذا كان النظام عبارة عن خزان غاز مثالي، فإن${\displaystyle \delta W=-pdV}$.

الآن، عرّف الشكل التفاضلي الأحادي على فضاء الحالة$${\displaystyle \omega$$ :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}} الآن، بما أن الأسطح الأديباتية مماسية لـ${\displaystyle \omega }$في كل نقطة في فضاء الحالة،${\displaystyle \omega }$بما أن الدالة قابلة للتكامل، فبحسب نظرية كاراثيودوري، توجد دالتان قياسيتان${\displaystyle T,S}$في فضاء الحالة، بحيث${\displaystyle \omega =TdS}$هذه هي دوال درجة الحرارة والإنتروبيا، حتى ثابت ضربي.

بتطبيق قوانين الغاز المثالي، مع ملاحظة أن تمدد جول هو عملية كظيمة (غير قابلة للانعكاس)، يمكننا تحديد إشارة${\displaystyle dS}$، واكتشف ذلك${\displaystyle A\succeq B}$وسائل${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$أي أن الإنتروبيا محفوظة في العمليات الأديباتية العكوسة، وتزداد أثناء العمليات الأديباتية غير العكوسة.