امتداد خطي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة
المستوى المتقاطع هو الامتداد الخطي لـ u و v في كل من R 2 و R 3 ، كما هو موضح هنا من منظور .

في الرياضيات ، يُطلق على الامتداد الخطي (ويُسمى أيضًا الغلاف الخطي [ 1 ] أو ببساطة الامتداد ) لمجموعة ماS{\displaystyle S}عناصر فضاء متجهيV{\displaystyle V}هو أصغر فضاء خطي فرعي منV{\displaystyle V}الذي يحتويS.{\displaystyle S.}هي مجموعة جميع التراكيب الخطية المنتهية لعناصر S ، [ 2 ] وتقاطع جميع الفضاءات الخطية الجزئية التي تحتويS.{\displaystyle S.}يُشار إليه غالبًا بالرمز span( S ) [ 3 ] أو⟨S⟩.{\displaystyle \langle S\rangle .}

على سبيل المثال، في الهندسة ، يمتد متجهان مستقلان خطيًا على مستوى .

للتعبير عن أن الفضاء المتجهي V هو امتداد خطي لمجموعة جزئية S ، يستخدم المرء عادة إحدى العبارات التالية: S يمتد V ؛ S هي مجموعة ممتدة لـ V ؛ V ممتد أو مولد بواسطة S ؛ S هي مجموعة مولدة أو مجموعة مولدة لـ V.

يمكن تعميم الامتدادات لتشمل العديد من البنى الرياضية ، وفي هذه الحالة، أصغر بنية فرعية تحتوي علىS{\displaystyle S}يُطلق عليها عمومًا اسم البنية الفرعية الناتجة عنS.{\displaystyle S.}

تعريف

بفرض وجود فضاء متجهي V على حقل K ، يُعرَّف امتداد مجموعة S من المتجهات (ليست بالضرورة منتهية) بأنه تقاطع W لجميع الفضاءات الجزئية من V التي تحتوي على S. وبالتالي، فهو أصغر فضاء جزئي (لشرط احتواء المجموعة ) يحتوي على S. ويُشار إليه بالفضاء الجزئي الممتد بواسطة S ، أو بالمتجهات في S. وبالعكس، تُسمى S مجموعة ممتدة لـ W ، ونقول إن S تمتد إلى W.

يستنتج من هذا التعريف أن مدى S هو مجموعة جميع التراكيب الخطية المنتهية لعناصر (متجهات) S ، ويمكن تعريفه على هذا النحو. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] أي،فترة⁡(S)={λ1v1+λ2v2+⋯+λنvن|ن∈شمال،v1،...،vن∈S،λ1،...،λن∈ك}{\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...,\mathbf {v} _{n}\in S,\;\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}

عندما تكون المجموعة S فارغة ، فإن الاحتمال الوحيد هو n = 0 ، والتعبير السابق لـفترة⁡(S){\displaystyle \operatorname {span} (S)}يختزل إلى المجموع الفارغ . [ أ ] الاصطلاح القياسي للمجموع الفارغ يعني بالتاليفترة(∅)={0}،{\displaystyle {\text{span}}(\emptyset )=\{\mathbf {0} \},}خاصية تتطابق مباشرة مع التعريفات الأخرى. ومع ذلك، فإن العديد من الكتب التمهيدية تدرج هذه الحقيقة كجزء من التعريف.

متىS={v1،...،vن}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}إذا كان محدودًا ، فإن المرء لديه فترة⁡(S)={λ1v1+λ2v2+⋯+λنvن|λ1،...،λن∈ك}{\displaystyle \operatorname {span} (S)=\{\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid \lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K\}}

أمثلة

الفضاء المتجهي الحقيقيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}تحتوي المجموعة {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} على مجموعة مولدة. هذه المجموعة المولدة تحديدًا هي أيضًا أساس . إذا استُبدلت المجموعة (−1, 0, 0) بالمجموعة (1, 0, 0)، فإنها ستشكل أيضًا الأساس المتعارف عليه لـR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

مجموعة أخرى تمتد لنفس الفضاء معطاة بواسطة {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}، لكن هذه المجموعة ليست أساسًا، لأنها مرتبطة خطيًا .

المجموعة {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } ليست مجموعة مولدة لـR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}لأن مداها هو فضاء جميع المتجهات فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}والتي يكون عنصرها الأخير صفرًا. هذا الفضاء مُوَلَّد أيضًا بواسطة المجموعة {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}، لأن (1, 1, 0) عبارة عن توليفة خطية من (1, 0, 0) و(0, 1, 0). وبالتالي، فإن الفضاء المُوَلَّد ليسR3.{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}يمكن التعرف عليه من خلالR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}بإزالة المكونات الثالثة التي تساوي صفرًا.

المجموعة الفارغة هي مجموعة مولدة لـ {(0, 0, 0)}، لأن المجموعة الفارغة هي مجموعة جزئية من جميع الفضاءات المتجهة الممكنة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، و {(0, 0, 0)} هو تقاطع جميع هذه الفضاءات المتجهة.

مجموعة أحاديات الحدود x n ، حيث n عدد صحيح غير سالب ، تمتد على فضاء كثيرات الحدود .

النظريات

تكافؤ التعريفات

مجموعة جميع التركيبات الخطية لمجموعة جزئية S من V ، وهي فضاء متجهي فوق K ، هي أصغر فضاء خطي جزئي من V يحتوي على S.

البرهان. نبرهن أولًا أن الفضاء S هو فضاء جزئي من V. بما أن S مجموعة جزئية من V ، يكفينا إثبات وجود متجه صفري 0 في الفضاء S ، وأن الفضاء S مغلق تحت عملية الجمع، وأنه مغلق تحت عملية الضرب القياسي . بفرضS={v1،v2،...،vن}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}من البديهي أن المتجه الصفري لـ V موجود في الفضاء الممتد S ، لأن0=0v1+0v2+⋯+0vن{\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}إن جمع تركيبتين خطيتين من S ينتج عنه أيضاً تركيبة خطية من S :(λ1v1+⋯+λنvن)+(μ1v1+⋯+μنvن)=(λ1+μ1)v1+⋯+(λن+μن)vن{\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}حيث الجميعλأنا،μأنا∈ك{\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}وضرب توليفة خطية من S في عدد قياسيج∈ك{\displaystyle c\in K}سينتج عنه توليفة خطية أخرى من S :ج(λ1v1+⋯+λنvن)=جλ1v1+⋯+جλنvن{\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}وبالتالي فإن الفضاء S هو فضاء جزئي من V.
ويترتب على ذلك أنS⊆فترة⁡S{\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}بما أن كل عنصر vᵢ هو توليفة خطية من S (بشكل بديهي). لنفترض أن W فضاء جزئي خطي من V يحتوي على S. بما أن W مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي، فإن كل توليفة خطيةλ1v1+⋯+λنvن{\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}يجب أن يكون موجودًا في W. وبالتالي، فإن الفضاء S موجود في كل فضاء جزئي من V يحتوي على S ، ويكون تقاطع جميع هذه الفضاءات الجزئية، أو أصغر فضاء جزئي من هذا النوع، مساويًا لمجموعة جميع التركيبات الخطية لـ S.

حجم المجموعة الممتدة هو أصغر حجم لمجموعة مستقلة خطيًا

يجب أن تحتوي كل مجموعة ممتدة S لفضاء متجهي V على عدد من العناصر لا يقل عن عدد العناصر الموجودة في أي مجموعة متجهات مستقلة خطيًا من V.

برهان. دعS={v1،...،vم}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}أن تكون مجموعة ممتدة ودبليو={w1،...،wن}{\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}لتكن مجموعة متجهات مستقلة خطيًا من V. نريد أن نثبت أنم≥ن{\displaystyle m\geq n}.
بما أن S تمتد عبر V ، فإنS∪{w1}{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}يجب أن يمتد أيضًا على V ، وw1{\displaystyle \mathbf {w} _{1}}يجب أن يكون مزيجًا خطيًا من S. وبالتاليS∪{w1}{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}بما أن W مرتبطة خطيًا، يمكننا حذف متجه واحد من S يكون عبارة عن توليفة خطية من العناصر الأخرى. لا يمكن أن يكون هذا المتجه أيًا من wᵢ ، لأن W مستقلة خطيًا. المجموعة الناتجة هي{w1،v1،...،vأنا-1،vأنا+1،...،vم}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}وهي مجموعة شاملة لـ V. نكرر هذه الخطوة n مرة، حيث تكون المجموعة الناتجة بعد الخطوة p هي اتحاد{w1،...،wص}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}والمتجهات m - p لـ S.
يضمن حتى الخطوة رقم n أنه سيكون هناك دائمًا بعض العناصر v i لإزالتها من S لكل عنصر مرافق لـ v ، وبالتالي يوجد على الأقل عدد من v i يساوي عدد w i .م≥ن{\displaystyle m\geq n}وللتحقق من ذلك، نفترض على سبيل التناقض أنم<ن{\displaystyle m<n}ثم، في الخطوة رقم m ، نحصل على المجموعة{w1،...،wم}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}ويمكننا إضافة متجه آخرwم+1{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}لكن، بما أن{w1،...،wم}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}هي مجموعة شاملة لـ V ،wم+1{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}هو مزيج خطي من{w1،...،wم}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}وهذا تناقض، لأن W مستقل خطيًا.

يمكن اختزال مجموعة الامتداد إلى أساس

ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد. يمكن اختزال أي مجموعة من المتجهات التي تولد V إلى أساس لـ V ، وذلك بحذف المتجهات إذا لزم الأمر (أي إذا كانت هناك متجهات مرتبطة خطيًا في المجموعة). إذا تحققت بديهية الاختيار ، فإن هذا صحيح دون افتراض أن V ذو أبعاد محدودة. يشير هذا أيضًا إلى أن الأساس هو مجموعة مولدة دنيا عندما يكون V محدود الأبعاد.

التعميمات

بتعميم تعريف مدى النقاط في الفضاء، تسمى مجموعة جزئية X من المجموعة الأرضية للماترويد مجموعة ممتدة إذا كانت رتبة X تساوي رتبة المجموعة الأرضية بأكملها [ 7 ].

يمكن تعميم تعريف الفضاء المتجهي ليشمل الوحدات النمطية. [ 8 ] [ 9 ] بفرض وجود وحدة نمطية A على المستوى R ومجموعة من العناصر a1 ، ...، an من A ، فإن الوحدة النمطية الفرعية من A التي تولدها a1 ، ...، an هي مجموع الوحدات النمطية الدورية .Rأ1+⋯+Rأن={∑ك=1نركأك|رك∈R}{\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}} يتكون من جميع التركيبات الخطية R للعناصر a i . كما هو الحال في فضاءات المتجهات، فإن الوحدة الفرعية لـ A التي تمتد بواسطة أي مجموعة جزئية من A هي تقاطع جميع الوحدات الفرعية التي تحتوي على تلك المجموعة الجزئية.

المدى الخطي المغلق (التحليل الوظيفي)

في التحليل الوظيفي ، يمثل الامتداد الخطي المغلق لمجموعة من المتجهات أصغر مجموعة مغلقة تحتوي على الامتداد الخطي لتلك المجموعة.

لنفترض أن X فضاء متجهي معياري، ولتكن E أي مجموعة جزئية غير فارغة من X. يُرمز إلى الامتداد الخطي المغلق لـ E بـSp¯(هـ){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}أوفترة¯(هـ){\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}، هو تقاطع جميع الفضاءات الخطية المغلقة لـ X التي تحتوي على E.

إحدى الصيغ الرياضية لهذا هي

Sp¯(هـ)={u∈X|∀ε>0∃x∈Sp⁡(هـ):‖x-u‖<ε}.{\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}

يعتمد الفضاء الخطي المغلق لمجموعة الدوال xⁿ على الفترة [0, 1]، حيث n عدد صحيح غير سالب ، على المعيار المستخدم. فإذا استُخدم معيار L² ، يكون الفضاء الخطي المغلق هو فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة. أما إذا استُخدم معيار القيمة القصوى ، فيكون الفضاء الخطي المغلق هو فضاء الدوال المتصلة على الفترة. في كلتا الحالتين، يحتوي الفضاء الخطي المغلق على دوال ليست كثيرات حدود، وبالتالي لا تنتمي إلى الفضاء الخطي نفسه. مع ذلك، فإن عدد عناصر مجموعة الدوال في الفضاء الخطي المغلق هو عدد عناصر الفضاء المتصل ، وهو نفس عدد عناصر مجموعة كثيرات الحدود.

ملحوظات

إنّ الامتداد الخطي لمجموعة ما كثيف في الامتداد الخطي المغلق. علاوة على ذلك، وكما هو مذكور في اللمة أدناه، فإنّ الامتداد الخطي المغلق هو في الواقع إغلاق الامتداد الخطي.

تعتبر الامتدادات الخطية المغلقة مهمة عند التعامل مع الفضاءات الفرعية الخطية المغلقة (وهي في حد ذاتها مهمة للغاية، انظر إلى ليمّا ريز ).

معضلة مفيدة

ليكن X فضاءً معياريًا، وليكن E أي مجموعة جزئية غير فارغة من X.

  1. Sp¯(هـ){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}هي فضاء خطي مغلق جزئي من X يحتوي على E ،
  2. Sp¯(هـ)=Sp⁡(هـ)¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}، أيSp¯(هـ){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}هل إغلاقSp⁡(هـ){\displaystyle \operatorname {Sp} (E)}،
  3. هـ⊥=(Sp⁡(هـ))⊥=(Sp⁡(هـ)¯)⊥.{\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}
  4. (هـ⊥)⊥=((Sp⁡(هـ))⊥)⊥=Sp⁡(هـ)¯.{\displaystyle (E^{\perp })^{\perp }=((\operatorname {Sp} (E))^{\perp })^{\perp }={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}.}

(لذا فإن الطريقة المعتادة لإيجاد الامتداد الخطي المغلق هي إيجاد الامتداد الخطي أولاً، ثم إيجاد إغلاق ذلك الامتداد الخطي.)

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ هذا صحيح منطقياً لأنه عندما n = 0 ، تكون شروط المتجهات والثوابت فارغة، وبالتالي يتم استيفاؤها بشكل فارغ .

الاقتباسات

  1. ↑ موسوعة الرياضيات (2020) . الغلاف الخطي.
  2. ↑ أكسلر (2015) ص 29، § 2.7
  3. ↑ أكسلر (2015) الصفحات 29-30، §§ 2.5، 2.8
  4. ↑ هيفرون (2020) ص 100، الفصل 2، التعريف 2.13
  5. ↑ أكسلر (2015) الصفحات 29-30، §§ 2.5، 2.8
  6. ↑ رومان (2005) ص 41-42
  7. ↑ أوكسلي (2011) ، ص 28.
  8. ↑ رومان (2005) ص 96، الفصل 4
  9. ↑ ماك لين وبيركوف (1999) ص 193، الفصل 6

مصادر

الكتب الدراسية

الويب