حقل المتجه

في حساب المتجهات والفيزياء ، الحقل المتجه هو تعيين متجه لكل نقطة في الفضاء ، والأكثر شيوعًا الفضاء الإقليدي . ^[1] يمكن تصور الحقل المتجه على المستوى كمجموعة من الأسهم ذات الأحجام والاتجاهات المعينة، كل منها متصل بنقطة على المستوى. غالبًا ما تُستخدم الحقول المتجهة للنمذجة، على سبيل المثال، سرعة واتجاه سائل متحرك عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد ، مثل الرياح ، أو قوة واتجاه بعض القوى ، مثل القوة المغناطيسية أو الجاذبية ، أثناء تغيرها من نقطة إلى أخرى. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

تمتد عناصر حساب التفاضل والتكامل بشكل طبيعي إلى الحقول المتجهة. عندما يمثل الحقل المتجه القوة ، يمثل التكامل الخطي للحقل المتجه العمل الذي تقوم به قوة تتحرك على طول مسار، وتحت هذا التفسير، يتم عرض الحفاظ على الطاقة كحالة خاصة للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل . يمكن التفكير في الحقول المتجهة بشكل مفيد على أنها تمثل سرعة التدفق المتحرك في الفضاء، وتؤدي هذه الحدس الفيزيائي إلى مفاهيم مثل التباعد (الذي يمثل معدل تغير حجم التدفق) والتجعيد ( الذي يمثل دوران التدفق).

حقل المتجه هو حالة خاصة لدالة ذات قيمة متجهية ، حيث لا علاقة لبعد مجالها ببعد نطاقها؛ على سبيل المثال، يتم تعريف متجه الموضع لمنحنى الفضاء فقط لمجموعة فرعية أصغر من الفضاء المحيط. وبالمثل، يمكن تمثيل حقل متجه على مجال في فضاء إقليدي ذي أبعاد n كدالة ذات قيمة متجهية تربط مجموعة من الأرقام الحقيقية n بكل نقطة من المجال. يعتمد تمثيل حقل المتجه هذا على نظام الإحداثيات، وهناك قانون تحويل محدد جيدًا ( التغاير والتضاد للمتجهات ) في الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

غالبًا ما تتم مناقشة حقول المتجهات على مجموعات فرعية مفتوحة من الفضاء الإقليدي، ولكنها أيضًا منطقية على مجموعات فرعية أخرى مثل الأسطح ، حيث تربط مماسًا سهميًا بالسطح عند كل نقطة ( متجه مماس ). بشكل عام، يتم تعريف حقول المتجهات على متعددات الشعب القابلة للتفاضل ، وهي مساحات تبدو مثل الفضاء الإقليدي على نطاقات صغيرة، ولكن قد يكون لها بنية أكثر تعقيدًا على نطاقات أكبر. في هذا الإعداد، يعطي حقل المتجه متجهًا مماسًا عند كل نقطة من متعدد الشعب (أي قسم من حزمة الظل لمتعدد الشعب). حقول المتجهات هي نوع من حقول الموتر .

بالنظر إلى مجموعة فرعية S من R ⁿ ، يتم تمثيل حقل المتجه بواسطة دالة ذات قيمة متجهية V : S → R ⁿ في إحداثيات ديكارتية قياسية ( x ₁ ، …، x _n ) . إذا كان كل مكون من V متصلًا، فإن V هو حقل متجه متصل. من الشائع التركيز على حقول المتجهات السلسة ، مما يعني أن كل مكون عبارة عن دالة سلسة (قابلة للاشتقاق أي عدد من المرات). يمكن تصور حقل المتجه على أنه تعيين متجه لنقاط فردية داخل فضاء ذي أبعاد n . ^[1]

أحد الطرق القياسية لكتابة متجهات الوحدة في اتجاهات الإحداثيات. وفقًا لهذه المصطلحات، يمكن كتابة كل حقل متجه سلس في مجموعة فرعية مفتوحة على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

لبعض الدوال السلسة على . ^[2] والسبب وراء هذا الترميز هو أن حقل المتجه يحدد خريطة خطية من فضاء الدوال السلسة إلى نفسه، ، والتي يتم إعطاؤها عن طريق التفاضل في اتجاه حقل المتجه. ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$

مثال : يصف حقل المتجه دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول الأصل في . لإظهار أن الدالة ثابتة دورانيًا، احسب: ${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$

بالنظر إلى حقول المتجهات V و W المعرفة على S و الدالة السلسة f المعرفة على S ، فإن عمليات الضرب القياسي وجمع المتجهات تجعل حقول المتجهات السلسة في نموذج فوق حلقة الدوال السلسة، حيث يتم تعريف ضرب الدوال نقطة بنقطة. $${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$$ $${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p),}$$

في الفيزياء، يتم تمييز المتجه أيضًا من خلال كيفية تغير إحداثياته ​​عندما يتم قياس نفس المتجه بالنسبة إلى نظام إحداثيات خلفية مختلف. تميز خصائص تحويل المتجهات المتجه ككيان مميز هندسيًا عن قائمة بسيطة من المقاييس القياسية، أو عن متجه مساعد .

وبالتالي، افترض أن ( x ₁ , ..., x _n ) هو اختيار لإحداثيات ديكارتية، والتي تكون مكونات المتجه V من حيث هذه الإحداثيات هي ، وافترض أن ( y ₁ ,..., y _n ) هي n دالة للمتجه x _i تحدد نظام إحداثيات مختلفًا. إذن، تكون مكونات المتجه V في الإحداثيات الجديدة مطلوبة لتلبية قانون التحويل $${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$

$${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$$

( 1 )

يُطلق على قانون التحويل هذا اسم التغاير المعاكس . يميز قانون تحويل مماثل حقول المتجهات في الفيزياء: على وجه التحديد، حقل المتجهات هو تحديد لـ n وظيفة في كل نظام إحداثيات يخضع لقانون التحويل ( 1 ) الذي يربط أنظمة الإحداثيات المختلفة.

وبالتالي، يتم مقارنة الحقول المتجهة بالحقول القياسية ، والتي تربط رقمًا أو عددًا قياسيًا بكل نقطة في الفضاء، كما يتم مقارنتها أيضًا بقوائم بسيطة من الحقول القياسية، والتي لا تتحول عند تغير الإحداثيات.

بالنظر إلى متعدد الشعب القابل للاشتقاق ، فإن حقل المتجه على هو تعيين لمتجه مماس لكل نقطة في . ^[2] وبشكل أكثر دقة، فإن حقل المتجه هو تعيين من إلى الحزمة المماسية بحيث يكون تعيين الهوية حيث يشير إلى الإسقاط من إلى . بعبارة أخرى، حقل المتجه هو قسم من الحزمة المماسية . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle p\circ F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

تعريف بديل: حقل متجه سلس على متعدد الشعب هو خريطة خطية بحيث يكون اشتقاقًا : لجميع . ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

إذا كان متعدد الشعب سلسًا أو تحليليًا — أي أن تغيير الإحداثيات سلس (تحليلي) — فيمكن للمرء أن يفهم مفهوم حقول المتجهات السلسة (التحليلية). غالبًا ما يشار إلى مجموعة كل حقول المتجهات السلسة على متعدد الشعب السلس بواسطة أو (خاصة عند التفكير في حقول المتجهات كأقسام ) ؛ كما يشار إلى مجموعة كل حقول المتجهات السلسة بواسطة ( كسر "X"). ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

• سيربط حقل متجه لحركة الهواء على الأرض لكل نقطة على سطح الأرض متجهًا بسرعة الرياح واتجاهها لتلك النقطة. يمكن رسم ذلك باستخدام الأسهم لتمثيل الرياح؛ سيكون طول ( مقدار ) السهم مؤشرًا لسرعة الرياح. عندئذٍ يعمل "الارتفاع" على خريطة الضغط الجوي المعتادة كمصدر (الأسهم تشير بعيدًا)، وسيكون "الانخفاض" بمثابة هبوط (الأسهم تشير نحو)، حيث يميل الهواء إلى التحرك من مناطق الضغط العالي إلى مناطق الضغط المنخفض.
• مجال السرعة لسائل متحرك . في هذه الحالة، يرتبط متجه السرعة بكل نقطة في السائل.
• الخطوط الانسيابية وخطوط الخطوط وخطوط المسارات هي ثلاثة أنواع من الخطوط التي يمكن إنشاؤها من حقول متجهة (تعتمد على الوقت). وهي:
  • الخطوط المتقطعة: الخط الناتج عن مرور الجسيمات عبر نقطة ثابتة محددة على مدى فترات زمنية مختلفة
  • خطوط المسار: تُظهر المسار الذي يتبعه جسيم معين (ذو كتلة صفرية).
  • الخطوط الانسيابية (أو خطوط المجال): مسار الجسيم المتأثر بالحقل اللحظي (أي مسار الجسيم إذا ظل المجال ثابتًا).
• المجالات المغناطيسية . يمكن الكشف عن خطوط المجال باستخدام برادة الحديد الصغيرة .
• تسمح لنا معادلات ماكسويل باستخدام مجموعة معينة من الشروط الأولية والحدودية لاستنتاج، لكل نقطة في الفضاء الإقليدي ، مقدار واتجاه القوة التي يتعرض لها جسيم اختبار مشحون عند تلك النقطة؛ ويكون مجال المتجه الناتج هو المجال الكهربائي .
• إن المجال الجاذبي الذي يولده أي جسم ضخم هو أيضًا مجال متجه. على سبيل المثال، فإن متجهات المجال الجاذبي لجسم متماثل كرويًا ستشير جميعها إلى مركز الكرة مع تناقص حجم المتجهات مع زيادة المسافة الشعاعية من الجسم.

يمكن إنشاء حقول المتجهات من حقول قياسية باستخدام عامل التدرج (المشار إليه بواسطة del : ∇). ^[4]

يُطلق على حقل المتجه V المُعرف على مجموعة مفتوحة S اسم حقل التدرج أو الحقل المحافظ إذا كانت هناك دالة ذات قيمة حقيقية (حقل قياسي) f على S بحيث $${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

ويسمى التدفق المرتبط بـالتدفق المتدرج ، ويستخدم في طريقةالانحدار المتدرج.

التكامل المساري على طول أي منحنى مغلق γ ( γ (0) = γ (1)) في مجال محافظ يساوي صفرًا: $${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

يُطلق على حقل متجه C ^∞ على R ⁿ \ {0} اسم الحقل المركزي إذا كانت O( n , R ) هي المجموعة المتعامدة . نقول إن الحقول المركزية ثابتة تحت التحويلات المتعامدة حول 0. $${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$

تسمى النقطة 0 بمركز المجال .

نظرًا لأن التحويلات المتعامدة هي في الواقع دورانات وانعكاسات، فإن شروط الثبات تعني أن متجهات الحقل المركزي تتجه دائمًا نحو 0 أو بعيدًا عنه؛ وهذا تعريف بديل (وأبسط). الحقل المركزي هو دائمًا حقل تدرج، لأن تعريفه على نصف محور واحد وتكامله يعطي تدرجًا معاكسًا.

تتمثل إحدى التقنيات الشائعة في الفيزياء في تكامل حقل متجه على طول منحنى ، ويُطلق عليه أيضًا تحديد تكامله الخطي . وبشكل بديهي، فإن هذا يلخص جميع مكونات المتجه بما يتماشى مع مماسات المنحنى، معبرًا عنها بمنتجاتها القياسية. على سبيل المثال، إذا كان هناك جسيم في مجال قوة (مثل الجاذبية)، حيث يمثل كل متجه في نقطة ما في الفضاء القوة المؤثرة هناك على الجسيم، فإن التكامل الخطي على طول مسار معين هو العمل المبذول على الجسيم، عندما يسافر على طول هذا المسار. وبشكل بديهي، فهو مجموع المنتجات القياسية لمتجه القوة ومتجه المماس الصغير في كل نقطة على طول المنحنى.

يتم إنشاء التكامل الخطي بشكل مشابه لتكامل ريمان ويوجد إذا كان المنحنى قابلاً للتصحيح (له طول محدود) وكان حقل المتجه مستمرًا.

بالنظر إلى حقل متجه V ومنحنى γ ، معلمة بواسطة t في [ a ، b ] (حيث a و b أعداد حقيقية )، يتم تعريف التكامل الخطي على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

لإظهار طوبولوجيا الحقل المتجه يمكننا استخدام التفاف التكامل الخطي .

تباعد حقل متجه على الفضاء الإقليدي هو دالة (أو حقل قياسي ) . في الأبعاد الثلاثة، يتم تعريف التباعد بواسطة $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

مع التعميم الواضح للأبعاد التعسفية. يمثل التباعد عند نقطة ما الدرجة التي يكون بها حجم صغير حول النقطة مصدرًا أو مصبًا لتدفق المتجه، وهي النتيجة التي يتم تحديدها بدقة من خلال نظرية التباعد .

يمكن أيضًا تعريف التباعد على متعدد الشعب الريماني ، أي متعدد الشعب بمقياس ريماني يقيس طول المتجهات.

إن curl هي عملية تأخذ حقل متجه وتنتج حقل متجه آخر. يتم تعريف curl في ثلاثة أبعاد فقط، ولكن يمكن التقاط بعض خصائص curl في أبعاد أعلى باستخدام المشتق الخارجي . في ثلاثة أبعاد، يتم تعريفه بواسطة $${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

يقيس التجعيد كثافة الزخم الزاوي للتدفق المتجه عند نقطة ما، أي مقدار دوران التدفق حول محور ثابت. يتم جعل هذا الوصف البديهي دقيقًا من خلال نظرية ستوكس .

مؤشر حقل المتجه هو عدد صحيح يساعد في وصف سلوكه حول صفر معزول (أي تفرد معزول للحقل). في المستوى، يأخذ المؤشر القيمة -1 عند تفرد السرج ولكنه +1 عند تفرد المصدر أو المصب.

ليكن n بُعد متعدد الشعب الذي يُعرَّف عليه حقل المتجه. خذ سطحًا مغلقًا (متماثل الشكل للكرة (n-1)) S حول الصفر، بحيث لا توجد أصفار أخرى في الجزء الداخلي من S. يمكن إنشاء خريطة من هذه الكرة إلى كرة وحدة ذات بعد n  − 1 عن طريق قسمة كل متجه على هذه الكرة على طوله لتشكيل متجه بطول الوحدة، وهو نقطة على كرة الوحدة S ^{n −1} . يحدد هذا خريطة متصلة من S إلى S ^{n −1} . مؤشر حقل المتجه عند النقطة هو درجة هذه الخريطة. يمكن إظهار أن هذا العدد الصحيح لا يعتمد على اختيار S، وبالتالي يعتمد فقط على حقل المتجه نفسه.

لا يتم تعريف المؤشر عند أي نقطة غير مفردة (أي النقطة التي يكون فيها المتجه غير صفري). وهو يساوي +1 حول المصدر، وبشكل عام يساوي (-1) ^k حول السرج الذي يحتوي على k أبعاد انكماش و n − k أبعاد توسع.

يتم تعريف مؤشر حقل المتجه ككل عندما يكون به عدد محدود من الأصفار. في هذه الحالة، يتم عزل جميع الأصفار، ويتم تعريف مؤشر حقل المتجه ليكون مجموع المؤشرات عند جميع الأصفار.

بالنسبة لكرة عادية (ثنائية الأبعاد) في فضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن إثبات أن مؤشر أي حقل متجه على الكرة يجب أن يكون 2. وهذا يوضح أن كل حقل متجه من هذا القبيل يجب أن يكون له صفر. وهذا يعني نظرية الكرة المشعرة .

بالنسبة لحقل متجه على متعدد الشعب المدمج ذو عدد محدود من الأصفار، تنص نظرية بوانكاريه-هوبف على أن مؤشر حقل المتجه هو خاصية أويلر لمتعدد الشعب .

أكد مايكل فاراداي ، في مفهومه لخطوط القوة ، أن المجال نفسه يجب أن يكون موضوعًا للدراسة، وهو ما أصبح عليه في جميع أنحاء الفيزياء في شكل نظرية المجال .

بالإضافة إلى المجال المغناطيسي، هناك ظواهر أخرى تم نمذجتها بواسطة فاراداي، مثل المجال الكهربائي ومجال الضوء .

في العقود الأخيرة، تقاربت العديد من الصياغات الظاهراتية لمعادلات الديناميكية غير القابلة للعكس والتطور في الفيزياء، من ميكانيكا السوائل والمواد الصلبة المعقدة إلى الحركية الكيميائية والديناميكا الحرارية الكمومية، نحو الفكرة الهندسية "لأعلى صعود للإنتروبيا" أو "تدفق التدرج" كإطار نمذجة عالمي متسق يضمن التوافق مع القانون الثاني للديناميكا الحرارية ويمتد نتائج التوازن شبه المعروفة مثل معاملة أونساجر بالمثل إلى عالم عدم التوازن البعيد. ^[5]

لنتأمل تدفق سائل عبر منطقة من الفضاء. في أي وقت معين، ترتبط أي نقطة من السائل بسرعة معينة؛ وبالتالي يوجد مجال متجه مرتبط بأي تدفق. والعكس صحيح أيضًا: فمن الممكن ربط تدفق بحقل متجه يتمتع بهذا المجال المتجه كسرعته.

بالنظر إلى حقل متجه محدد على ، يتم تعريف المنحنيات على بحيث لكل منها في الفاصل الزمني ، ${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$$

وفقًا لنظرية بيكارد-ليندلوف ، إذا كانت معادلة ليبشيتز متصلة، فهناك منحنى - فريد لكل نقطة في بحيث، بالنسبة لبعض ، ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \gamma _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon >0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

تسمى المنحنيات بالمنحنيات المتكاملة أو المسارات (أو بشكل أقل شيوعًا، خطوط التدفق) لحقل المتجه وتنقسم إلى فئات التكافؤ . ليس من الممكن دائمًا تمديد الفاصل إلى خط الأعداد الحقيقية بالكامل . قد يصل التدفق على سبيل المثال إلى حافة في وقت محدود. في بعدين أو ثلاثة أبعاد، يمكن للمرء أن يتصور حقل المتجه على أنه يؤدي إلى تدفق على . إذا أسقطنا جسيمًا في هذا التدفق عند نقطة ما، فسوف يتحرك على طول المنحنى في التدفق اعتمادًا على النقطة الأولية . إذا كانت نقطة ثابتة لـ (أي أن حقل المتجه يساوي المتجه الصفري عند النقطة )، فسيظل الجسيم عند . ${\displaystyle \gamma _{x}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (-\varepsilon ,+\varepsilon )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

التطبيقات النموذجية هي خط المسار في السوائل ، والتدفق الجيوديسي ، والمجموعات الفرعية ذات المعلمة الواحدة والخريطة الأسيّة في مجموعات لاي .

حسب التعريف، يُطلق على حقل المتجه on اسم الحقل الكامل إذا كان كل منحنيات التدفق الخاصة به موجودة طوال الوقت. ^[6] على وجه الخصوص، تكون حقول المتجهات المدعومة بشكل مضغوط على متعدد الشعب كاملة. إذا كان حقل متجه كامل on ، فإن مجموعة التماثلات التفاضلية ذات المعلمة الواحدة التي يتم إنشاؤها بواسطة التدفق على طول موجودة طوال الوقت؛ يتم وصفها من خلال تعيين سلس ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$

في متعدد الشعب المضغوط بدون حدود، يكون كل حقل متجه سلس كاملاً. مثال لحقل متجه غير كامل على الخط الحقيقي هو . بالنسبة إلى المعادلة التفاضلية ، مع الشرط الأولي ، لها حلها الوحيد إذا ( ولكل إذا ). وبالتالي بالنسبة إلى ، غير معرف عند وبالتالي لا يمكن تعريفه لجميع قيم . ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\textstyle x'(t)=x^{2}}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)}$${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$${\displaystyle t}$

لا يلزم أن تتبادل التدفقات المرتبطة بحقلين متجهين مع بعضهما البعض. ويُوصَف فشلهما في التبادل بواسطة قوس لي لحقلين متجهين، وهو حقل متجه مرة أخرى. يحتوي قوس لي على تعريف بسيط من حيث عمل الحقول المتجهة على الدوال السلسة : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$

بالنظر إلى دالة سلسة بين متعددات الشعب، فإن المشتقة عبارة عن خريطة مستحثة على الحزم المماسية ، . بالنظر إلى حقول المتجهات و ، نقول أن تكون مرتبطة بـ إذا كانت المعادلة صحيحة. ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f_{*}:TM\to TN}$${\displaystyle V:M\to TM}$${\displaystyle W:N\to TN}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W\circ f=f_{*}\circ V}$

إذا كان مرتبطًا بـ ، ، فإن قوس الكذب مرتبط بـ . ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle [V_{1},V_{2}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [W_{1},W_{2}]}$

يؤدي استبدال المتجهات بمتجهات p ( القوة الخارجية p للمتجهات) إلى حقول متجهات p ؛ يؤدي أخذ الفضاء المزدوج والقوى الخارجية إلى أشكال k التفاضلية ، والجمع بينهما يؤدي إلى حقول موتر عامة .

جبريًا، يمكن وصف الحقول المتجهة بأنها مشتقات لجبر الدوال السلسة على متعدد الشعب، مما يؤدي إلى تعريف الحقل المتجه في الجبر التبادلي باعتباره مشتقًا من الجبر، والذي تم تطويره في نظرية حساب التفاضل والتكامل على الجبر التبادلي .

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Vector field" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2012) (Learn how and when to remove this message)

• هوبارد، جيه إتش ؛ هوبارد، بي بي (1999). حساب المتجهات، والجبر الخطي، والأشكال التفاضلية. نهج موحد . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. رقم ISBN 0-13-657446-7.
• وارنر، فرانك (1983) [1971]. أسس المتشعبات القابلة للتفاضل ومجموعات لي . نيويورك-برلين: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-90894-3.
• Boothby, William (1986). مقدمة إلى المتشعبات القابلة للتفاضل والهندسة الريمانية . الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 120 (الطبعة الثانية). أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك بريس. ISBN 0-12-116053-X.

• محرر حقل المتجهات عبر الإنترنت
• "حقل المتجهات"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• حقل المتجهات — Mathworld
• حقل المتجه — PlanetMath
• عارض المجال المغناطيسي ثلاثي الأبعاد
• الحقول المتجهة وخطوط الحقل
• محاكاة الحقول المتجهة تطبيق تفاعلي لإظهار تأثيرات الحقول المتجهة