حزمة أفين

في الرياضيات، الحزمة الأفينية هي حزمة ليفية تكون أليافها النموذجية وأليافها ومورفيزمات التبسيط ودوال الانتقال أفينية. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$أن تكون حزمة متجهة ذات ليف نموذجي فضاء متجهي${\displaystyle {\overline {F}}}$حزمة أفينية مصممة على غرار حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$هي حزمة من الألياف${\displaystyle \pi :Y\to X}$أليافه النموذجية${\displaystyle F}$هو فضاء أفيني مصمم على${\displaystyle {\overline {F}}}$بحيث تتحقق الشروط التالية:

(أ) كل ليف${\displaystyle Y_{x}}$ل${\displaystyle Y}$هو فضاء أفيني مصمم على الألياف المقابلة${\displaystyle {\overline {Y}}_{x}}$من حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {Y}}}$.

(ii) يوجد أطلس حزم أفيني لـ${\displaystyle Y\to X}$والتي تكون عمليات التبسيط المحلية ووظائف الانتقال الخاصة بها عبارة عن تماثلات خطية .

عند التعامل مع الحزم الأفينية، يتم استخدام إحداثيات الحزمة الأفينية فقط.${\displaystyle (x^{\mu },y^{i})}$تمتلك دوال انتقال خطية

${\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).}$

توجد تشاكلات الحزم

${\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},}$

${\displaystyle Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},}$

أين${\displaystyle ({\overline {y}}^{i})}$هي إحداثيات الحزمة الخطية على حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {Y}}}$، التي تمتلك دوال انتقال خطية${\displaystyle {\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}}$.

للحزمة الأفينية مقطع عالمي ، ولكن على عكس الحزم المتجهة، لا يوجد مقطع عالمي معياري للحزمة الأفينية.${\displaystyle \pi :Y\to X}$ليكن حزمة أفينية مصممة على غرار حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$كل قسم عالمي${\displaystyle s}$من حزمة أفينية${\displaystyle Y\to X}$ينتج عنه تشاكلات الحزم

${\displaystyle Y\ni y\to ys(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\pi (y))+{\overline {y}}\in Y.}$

على وجه الخصوص، كل حزمة متجهة${\displaystyle Y}$تتمتع ببنية طبيعية لحزمة أفينية بسبب هذه التشكلات حيث${\displaystyle s=0}$هو المقطع القياسي ذو القيمة الصفرية لـ${\displaystyle Y}$على سبيل المثال، حزمة المماس${\displaystyle TX}$من مشعب${\displaystyle X}$بطبيعة الحال، هي حزمة خطية.

حزمة أفينية${\displaystyle Y\to X}$هي حزمة ألياف ذات مجموعة بنية أفينية عامة${\displaystyle GA(m,\mathbb {R} )}$من التحولات الأفينية لأليافها النموذجية${\displaystyle V}$من الأبعاد${\displaystyle m}$يمكن اختزال هذه المجموعة البنيوية دائمًا إلى مجموعة خطية عامة .${\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )}$أي أن الحزمة الأفينية تقبل أطلسًا مع دوال انتقال خطية.

والمقصود بتشاكل الحزم الأفينية هو تشاكل الحزم${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$التي يقتصر على كل ليف من${\displaystyle Y}$هي دالة خطية. كل تشاكل حزم خطي${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$من حزمة أفينية${\displaystyle Y}$مصمم على غرار حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {Y}}}$إلى حزمة أفينية${\displaystyle Y'}$مصمم على غرار حزمة متجهة${\displaystyle {\overline {Y}}'}$ينتج عنه تشاكل حزمة خطي فريد

${\displaystyle {\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},}$

يُطلق عليه اسم المشتق الخطي لـ${\displaystyle \Phi }$.

• حزمة ألياف
• مشعب ألياف
• حزمة المتجهات
• الفضاء الأفيني

• إس. كوباياشي ، ك. نوميزو ، أسس الهندسة التفاضلية ، المجلدان 1 و2، وايلي-إنترساينس، 1996، رقم ISBN 0-471-15733-3.
• كولار، إيفان؛ ميخور، بيتر؛ سلوفاك، يان (1993)، المؤثرات الطبيعية في الهندسة التفاضلية (ملف PDF) ، سبرينغر-فيرلاغ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 30 مارس 2017 ، تم استرجاعه بتاريخ 28 مايو 2013
• سارداناشفيلي، ج. ، الهندسة التفاضلية المتقدمة للمنظرين: حزم الألياف، ومتشعبات النفاثات، ونظرية لاغرانج ، دار لامبرت للنشر الأكاديمي، 2013، رقم ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv : 0908.1886 .
• ساوندرز، دي جيه (1989)، هندسة حزم النفاثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-36948-7