حزمة ألياف

في الرياضيات ، وخاصة في علم الطوبولوجيا ، تُعرف الحزمة الليفية ( بالإنجليزية : fiber bundle ) بأنها فضاء يكون محليًا فضاءً ضربيًا ، ولكنه قد يمتلك بنية طوبولوجية مختلفة على المستوى العالمي . وبالتحديد، فإن التشابه بين فضاء${\displaystyle E}$ومساحة للمنتجات${\displaystyle B\times F}$يتم تعريفها باستخدام خريطة شاملة متصلة ،${\displaystyle \pi :E\to B,}$ذلك في مناطق صغيرة من${\displaystyle E}$يتصرف تمامًا مثل إسقاط من المناطق المقابلة لـ${\displaystyle B\times F}$ل${\displaystyle B.}$ الخريطة${\displaystyle \pi ,}$يُطلق على هذه الظاهرة اسم بروز أو غمر الحزمة، وتُعتبر جزءًا من بنية الحزمة.${\displaystyle E}$يُعرف باسم المساحة الكلية لحزمة الألياف،${\displaystyle B}$باعتبارها المساحة الأساسية ، و${\displaystyle F}$الألياف .​

في الحالة البسيطة ،${\displaystyle E}$هو مجرد${\displaystyle B\times F,}$والخريطة${\displaystyle \pi }$هي مجرد إسقاط من فضاء الضرب إلى العامل الأول. تُسمى هذه الحزمة بالحزمة التافهة . من أمثلة حزم الألياف غير التافهة شريط موبيوس وزجاجة كلاين ، بالإضافة إلى فضاءات التغطية غير التافهة . تلعب حزم الألياف، مثل حزمة المماس لمتشعب وحزم المتجهات الأكثر عمومية ، دورًا مهمًا في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية ، كما هو الحال مع الحزم الرئيسية .

تُعرف التطبيقات بين الفضاءات الكلية لحزم الألياف التي "تتبادل" مع تطبيقات الإسقاط باسم تطبيقات الحزم ، وتشكل فئة حزم الألياف فئةً بالنسبة لهذه التطبيقات. تطبيق حزمة من الفضاء الأساسي نفسه (مع تطبيق التطابق كإسقاط) إلى${\displaystyle E}$يُطلق عليه قسم من${\displaystyle E.}$ يمكن تخصيص حزم الألياف بعدة طرق، وأكثرها شيوعًا هو اشتراط أن تقع خرائط الانتقال بين الرقع التافهة المحلية في مجموعة طوبولوجية معينة ، تُعرف باسم مجموعة البنية ، والتي تؤثر على الألياف.${\displaystyle F}$.

في علم الطوبولوجيا ، ظهر مصطلحا "الألياف" (بالألمانية: Faser ) و "الفضاء الليفي " ( gefaserter Raum ) لأول مرة في ورقة بحثية لهيربرت سيفيرت عام 1933، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} إلا أن تعريفاته كانت محصورة في حالة خاصة جدًا. ويكمن الاختلاف الرئيسي عن المفهوم الحالي للفضاء الليفي في أن ما يُعرف الآن بالفضاء الأساسي (الفضاء الطوبولوجي) للفضاء الليفي (الطوبولوجي) E، لم يكن جزءًا من البنية، بل مُشتقًا منها كفضاء خارج قسمة E. وقدّم هاسلر ويتني أول تعريف للفضاء الليفي عام 1935 ^{[ 4 ]} تحت اسم " الفضاء الكروي" ، لكنه غيّر الاسم عام 1940 إلى "الحزمة الكروية" . ^{[ 5 ]}

تُنسب نظرية الفضاءات الليفية، التي تعتبر حزم المتجهات والحزم الرئيسية والتليفات الطوبولوجية والمشعبات الليفية حالة خاصة منها، إلى هربرت سيفرت ، وهاينز هوبف ، وجاك فيلدباو ، ^{[ 6 ]} وويتني، ونورمان ستينرود ، وتشارلز إهريسمان ، ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} وجان بيير سير ، ^{[ 10 ]} وآخرين.

أصبحت حزم الألياف موضوعًا للدراسة في الفترة 1935-1940. ظهر أول تعريف عام لها في أعمال ويتني. ^{[ 11 ]}

توصل ويتني إلى التعريف العام لحزمة الألياف من خلال دراسته لمفهوم أكثر تحديدًا لحزمة الكرة ، ^{[ 12 ]} وهي حزمة ألياف تكون أليافها كرة ذات أبعاد عشوائية . ^{[ 13 ]}

حزمة الألياف هي رباعية${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$أين${\displaystyle E,B,}$و${\displaystyle F}$هي فضاءات طوبولوجية و${\displaystyle \pi :E\to B}$هو تطبيق شامل متصل يحقق شرط التفاهة المحلية الموضح أدناه. الفضاء${\displaystyle B}$يُطلق عليه اسمالمساحة الأساسية للحزمة،${\displaystyle E}$الالمساحة الكلية ، و${\displaystyle F}$الالألياف . الخريطة${\displaystyle \pi }$يُطلق عليه اسمخريطة إسقاط (أوإسقاط الحزمة ). سنفترض فيما يلي أن الفضاء الأساسي${\displaystyle B}$متصل .​

نحن نشترط ذلك لكل${\displaystyle x\in B}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle U\subseteq B}$ل${\displaystyle x}$(والتي ستُسمى جوارًا مُبسطًا) بحيث يوجد تماثل شكلي${\displaystyle \varphi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times F} (حيث${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$يتم تحديد طوبولوجيا الفضاء الجزئي ، و${\displaystyle U\times F}$(مساحة المنتج) بطريقة تجعل${\displaystyle \pi }$يتفق مع الإسقاط على العامل الأول. أي أن المخطط التالي يجب أن يكون تبادليًا :

أين${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$هو الإسقاط الطبيعي. مجموعة جميع${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$يُطلق عليه اسمالتبسيط المحلي للحزمة.

وبالتالي بالنسبة لأي${\displaystyle p\in B}$، الصورة الأصلية${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$متماثل الشكل مع${\displaystyle F}$(لأن هذا ينطبق على${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$ويُطلق عليه اسم الألياف فوق${\displaystyle p}$كل حزمة ألياف${\displaystyle \pi :E\to B}$هي خريطة مفتوحة ، لأن إسقاطات المنتجات هي خرائط مفتوحة. لذلك${\displaystyle B}$يحمل طوبولوجيا القسمة المحددة بواسطة الخريطة${\displaystyle \pi .}$

حزمة ألياف${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$يُشار إليه غالبًا بـ $${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$$ وهذا، قياساً على متتالية دقيقة قصيرة ، يشير إلى أي فضاء هو الليف، والفضاء الكلي، والفضاء الأساسي، بالإضافة إلى الخريطة من الفضاء الكلي إلى الفضاء الأساسي.

أحزمة الألياف الملساء هي حزمة ألياف تندرج ضمنفئةالمشعباتالملساء. أي،${\displaystyle E}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle F}$يجب أن تكون مشعبات سلسة، ويجب أن تكون جميع الدوال المذكورة أعلاه خرائط سلسة .

أمقطع (أومقطع عرضي) من حزمة ألياف${\displaystyle \pi }$هي خريطة متصلة${\displaystyle f:B\to E}$بحيث${\displaystyle \pi (f(x))=x}$لكل x في B. بما أن الحزم لا تمتلك عمومًا مقاطع مُعرَّفة عالميًا، فإن أحد أهداف هذه النظرية هو تفسير وجودها. غالبًا ما يُمكن قياس العائق أمام وجود مقطع بواسطة فئة التماثل، مما يؤدي إلى نظرية الفئات المميزة في الطوبولوجيا الجبرية .

المثال الأكثر شهرة هو نظرية الكرة المشعرة ، حيث تمثل فئة أويلر العائق أمام الحزمة المماسية للكرة ثنائية الأبعاد التي لها مقطع لا يتلاشى في أي مكان.

في كثير من الأحيان، يرغب المرء في تحديد المقاطع محليًا فقط (خاصةً عندما لا توجد مقاطع عامة). المقطع المحلي لحزمة الألياف هو خريطة متصلة${\displaystyle f:U\to E}$حيث U هي مجموعة مفتوحة في B و${\displaystyle \pi (f(x))=x}$لكل x في U. إذا${\displaystyle (U,\,\varphi )}$إذا كان مخطط التبسيط المحلي موجودًا، فإن المقاطع المحلية موجودة دائمًا على U. وتتطابق هذه المقاطع تطابقًا تامًا مع الخرائط المتصلة.${\displaystyle U\to F}$تشكل الأقسام حزمة .

غالبًا ما تأتي حزم الألياف مصحوبة بمجموعة من التناظرات التي تصف شروط المطابقة بين مخططات التبسيط المحلية المتداخلة. تحديدًا، لنفترض أن G هي زمرة طوبولوجية تعمل بشكل مستمر على فضاء الألياف F على اليسار. لا نفقد شيئًا إذا اشترطنا أن تعمل G بأمانة على F بحيث يمكن اعتبارها زمرة من التشاكلات المتماثلة لـ F. أطلس G للحزمة${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$هي مجموعة من مخططات التبسيط المحلي${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$بحيث يكون لأي${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$بالنسبة للرسوم البيانية المتداخلة${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$و${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$الوظيفة $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$ يُعطى بواسطة $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$ أين${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$هي خريطة متصلة تسمىدالة الانتقال .Gمتكافئين إذا كان اتحادهما أيضًاأطلسG.الحزمة G هي حزمة ليفية ذات فئة تكافؤ منG.تُسمىالمجموعةGمجموعة البنية للحزمة. يرتبط هذابمجموعة القياسفيالفيزياء، وهي مجموعة التشاكلات الذاتية للحزمة الرئيسيةGالتي لا تغير الفضاء الأساسي.

في الفئة السلسة، فإن حزمة G هي حزمة ألياف سلسة حيث G هي مجموعة لي ويكون التأثير المقابل على F سلسًا وتكون دوال الانتقال كلها خرائط سلسة.

دوال الانتقال${\displaystyle t_{ij}}$استيفاء الشروط التالية

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

ينطبق الشرط الثالث على التداخلات الثلاثية U _i ∩ U _j ∩ U _k ويُسمى شرط الدورة المشتركة (تشيك) ​​(انظر أيضًا علم التماثل تشيك ). تكمن أهمية هذا الشرط في أن دوال الانتقال تُحدد حزمة الألياف (بافتراض شرط الدورة المشتركة).

الحزمة الرئيسية G هي حزمة G حيث يمثل الليف F فضاءً متجانسًا رئيسيًا للفعل الأيسر لـ G نفسها (بصورة مكافئة، يمكن تحديد أن فعل G على الليف F حر ومتعدٍ، أي منتظم ). في هذه الحالة، غالبًا ما يكون من الملائم تعريف F بـ G ، وبالتالي الحصول على فعل (يميني) لـ G على الحزمة الرئيسية.

من المفيد وجود مفاهيم عن الربط بين حزمتين من الألياف. لنفترض أن${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$هي مساحات أساسية، و${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$و${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$حزم الألياف فوق${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$على التوالي. أخريطة الحزمة أويتكون تشاكل الحزمة من زوج من الدوالالمتصلة ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$ بحيث${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$أي أن المخطط التالي تبادلي :

بالنسبة لحزم الألياف ذات المجموعة الهيكلية${\displaystyle G}$ومساحاتها الإجمالية (يمينًا)${\displaystyle G}$في الفضاءات (مثل الحزمة الرئيسية)، يُشترط أيضًا أن تكون تشاكلات الحزم${\displaystyle G}$- متغيرة على الألياف. هذا يعني أن${\displaystyle \varphi :E\to F}$وهو أيضًا${\displaystyle G}$- تشاكل من واحد${\displaystyle G}$المسافة إلى أخرى، أي${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$للجميع${\displaystyle x\in E}$و${\displaystyle s\in G}$.

في حالة المساحات الأساسية${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$يتطابقان، ثم يكون هناك تشاكل حزمي فوق${\displaystyle M}$من حزمة الألياف${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ل${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$هي خريطة${\displaystyle \varphi :E\to F}$بحيث${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$وهذا يعني أن خريطة الحزمة${\displaystyle \varphi :E\to F}$يغطي هوية${\displaystyle M}$. إنه،${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$والمخطط التالي يتبادل:

افترض أن كلا${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$و${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$يتم تعريفها على نفس الفضاء الأساسي${\displaystyle M}$تماثل الحزمة هو تطبيق حزمة${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$بين${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$و${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$بحيث${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ومثل ذلك${\displaystyle \varphi }$وهو أيضًا تماثل شكلي. ^{[ 15 ]}

في فئة المتشعبات القابلة للتفاضل ، تنشأ حزم الألياف بشكل طبيعي نتيجة غمر متشعب في آخر. ليس كل غمر (قابل للتفاضل)${\displaystyle f:M\to N}$الانتقال من مشعب قابل للتفاضل M إلى مشعب آخر قابل للتفاضل N يُنتج حزمة ليفية قابلة للتفاضل. أولًا، يجب أن يكون التطبيق شاملًا، و${\displaystyle (M,N,f)}$يُطلق عليه اسم مشعب الألياف . ومع ذلك، فإن هذا الشرط الضروري ليس كافياً تماماً، وهناك مجموعة متنوعة من الشروط الكافية الشائعة الاستخدام.

إذا كانت M و N متراصتين ومتصلتين ، فإن أي غمر${\displaystyle f:M\to N}$ينتج عن ذلك حزمة ليفية بمعنى أن هناك فضاء ليفي F متماثل الشكل لكل ليف من الألياف بحيث${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$هي حزمة من الألياف. (شمولية${\displaystyle f}$(يتبع ذلك الافتراضات المذكورة سابقًا في هذه الحالة). وبشكل عام، يمكن التخلي عن افتراض التراص إذا كان الغمر${\displaystyle f:M\to N}$يُفترض أن تكون دالة شاملة مناسبة ، مما يعني أن${\displaystyle f^{-1}(K)}$تكون المجموعة N متراصة لكل مجموعة جزئية متراصة K من N. وهناك شرط كافٍ آخر، وفقًا لإهريسمان (1951) ، وهو أنه إذا${\displaystyle f:M\to N}$هي عملية غمر شاملة ذات M و N من المشعبات القابلة للتفاضل بحيث تكون الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$صغير الحجم ومتصل للجميع${\displaystyle x\in N,}$ثم${\displaystyle f}$يسمح ببنية حزمة ألياف متوافقة ( ميشور 2008 ، §17) .

• ينطبق مفهوم الحزمة على العديد من الفئات الأخرى في الرياضيات، على حساب تعديل شرط التفاهة المحلية بشكل مناسب؛ انظر الفضاء المتجانس الرئيسي والتورسور (الهندسة الجبرية) .
• في علم الطوبولوجيا، التليف هو عملية تحويل${\displaystyle \pi :E\to B}$تشترك هذه البنية مع حزم الألياف في بعض الخصائص المتعلقة بنظرية التماثل . تحديدًا، في ظل افتراضات تقنية بسيطة، تتمتع حزمة الألياف دائمًا بخاصية رفع التماثل أو خاصية تغطية التماثل (انظر ستينرود (1951 ، 11.7) لمزيد من التفاصيل). هذه هي الخاصية المميزة للتليف.
• يُعتبر جزء من حزمة الألياف "دالة يعتمد نطاق إخراجها باستمرار على المدخلات". يتم التقاط هذه الخاصية رسميًا في مفهوم النوع التابع .

• ستينرود، نورمان (1951)، طوبولوجيا حزم الألياف ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-08055-0{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ستينرود، نورمان (5 أبريل 1999). طوبولوجيا حزم الألياف . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد  14. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875 . 
• بليكر، ديفيد (1981)، نظرية القياس ومبادئ التباين ، ريدينغ، ماساتشوستس: دار نشر أديسون-ويسلي، رقم ISBN 978-0-201-10096-9
• إرسمان، تشارلز (1951). "الاتصالات اللانهائية في مساحة ألياف مختلفة". Colloque de Topologie (Espaces fibrés)، بروكسل، 1950 . باريس: جورج ثون، لييج؛ ماسون وآخرون، ص 29 – 55. 
• هوسمولر، ديل (1994)، حزم الألياف ، سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-94087-8
• ميشور، بيتر دبليو. (2008)، موضوعات في الهندسة التفاضلية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  93، بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-2003-2
• فويتسيكوفسكي، إم آي (2001) [1994]، "الفضاء الليفي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس

• باقة الألياف الضوئية ، بلانيت ماث
• رولاند، تود. "حزمة الألياف" . عالم الرياضيات .
• صنع منحوتة جون روبنسون الرمزية "الأبدية"
• سارداناشفيلي، جينادي ، حزم الألياف، ومتشعبات النفاثات، ونظرية لاغرانج. محاضرات للمنظرين، arXiv : 0908.1886