حزمة المماس الموحد

في الهندسة الريمانية ، تُعرف حزمة المماس الوحدوي لمتشعب ريماني ( M , g )، والتي يُرمز لها بـ T1M ^أو UT( M ) أو UTM أو SM ، بأنها حزمة الكرة الوحدوية لحزمة المماس T( M ). وهي حزمة ليفية فوق M، حيث تكون أليافها عند كل نقطة هي الكرة الوحدوية في الفضاء المماسي.

${\displaystyle \mathrm {UT} (M):=\coprod _{x\in M}\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|g_{x}(v,v)=1\right.\right\},}$

حيث يرمز T _x ( M ) إلى الفضاء المماسي لـ M عند x . وبالتالي، فإن عناصر UT( M ) هي أزواج ( x , v )، حيث x هي نقطة ما على المتشعب و v هو اتجاه مماس (طوله وحدة واحدة) للمتشعب عند x . حزمة المماس الواحدية مزودة بإسقاط طبيعي .

${\displaystyle \pi$ UT (M) إلى M

${\displaystyle \pi$ :(x,v)\mapsto x,}

والتي تنقل كل نقطة من الحزمة إلى نقطة قاعدتها. الليف π ^{− 1} ( x ) فوق كل نقطة x ∈ M هو كرة ( n − 1)- S ^{n − 1} ، حيث n هو بُعد M. وبالتالي، فإن حزمة المماس الوحدوية هي حزمة كروية فوق M ذات ليف S ^{n − 1} .

يمكن تعريف حزمة الكرة الوحدوية بسهولة لتشمل مشعبات فينسلر أيضًا. تحديدًا، إذا كان M مشعبًا مزودًا بمقياس فينسلر F  :  T M  → R ، فإن حزمة الكرة الوحدوية هي الحزمة الفرعية من حزمة المماس التي يكون ليفها عند x هو مؤشر F : 

${\displaystyle \mathrm {UT} _{x}(M)=\left\{v\in \mathrm {T} _{x}(M)\left|F(v)=1\right.\right\}.}$

إذا كان M متعدد الشعب ذو أبعاد لا نهائية (على سبيل المثال، متعدد الشعب Banach أو Fréchet أو Hilbert )، فإنه لا يزال من الممكن اعتبار UT( M ) بمثابة حزمة الكرة الوحدوية لحزمة المماس T( M )، ولكن الألياف π ^{− 1} ( x ) فوق x هي الكرة الوحدوية ذات الأبعاد اللانهائية في فضاء المماس.

تحمل حزمة المماس الوحدوي مجموعة متنوعة من البنى الهندسية التفاضلية. يُولِّد المقياس على M بنية تماس على UT M. ويُعطى هذا بدلالة شكل تفاضلي أحادي ، مُعرَّف عند نقطة u من UT M (متجه مماس وحدوي لـ M ) بواسطة

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g(u,\pi _{*}v)\,}$

أين${\displaystyle \pi _{*}}$هو الدفع الأمامي على طول π للمتجه v  ∈  Tu _UTM .

هندسيًا، يمكن اعتبار بنية التماس هذه بمثابة توزيع لـ (2n − 2 ) مستوى، والتي تمثل، عند متجه الوحدة u ، سحبًا عكسيًا للمكمل المتعامد لـ u في الفضاء المماسي لـ M. هذه بنية تماس، لأن ألياف UT M هي بوضوح مشعب تكاملي (الحزمة الرأسية موجودة في كل مكان في نواة θ)، ويتم ملء الاتجاهات المماسية المتبقية بالتحرك لأعلى ألياف UT M. وبالتالي، فإن المشعب التكاملي الأقصى لـ θ هو (مجموعة مفتوحة من) M نفسه.

على مشعب فينسلر، يتم تعريف شكل التماس بواسطة الصيغة المماثلة

${\displaystyle \theta _{u}(v)=g_{u}(u,\pi _{*}v)\,}$

حيث يمثل g _u الموتر الأساسي ( مصفوفة هيسيان لمقياس فينسلر). هندسيًا، فإن التوزيع المرتبط بالمستويات الفائقة عند النقطة u  ∈  UT _x M هو الصورة العكسية تحت π _* للمستوى الفائق المماس للكرة الوحدة في T _x M عند u .

يُعرّف الشكل الحجمي θ∧ d θ ^{n − 1} مقياسًا على M ، يُعرف بالمقياس الحركي أو مقياس ليوفيل ، وهو ثابت تحت التدفق الجيوديسي لـ M. وباعتباره مقياس رادون ، يُعرّف المقياس الحركي μ على الدوال المتصلة ذات الدعم المحدود ƒ على UT M بواسطة

${\displaystyle \int _{UTM}f\,d\mu =\int _{M}dV(p)\int _{UT_{p}M}\left.f\right|_{UT_{p}M}\,d\mu _{p}}$

حيث d V هو عنصر الحجم على M ، و μ p _هو مقياس بوريل القياسي الثابت دورانيًا على الكرة الإقليدية UT _p M.

يؤدي اتصال ليفي -تشيفيتا لـ M إلى انقسام الحزمة المماسية

${\displaystyle T(UTM)=H\oplus V}$

إلى فضاء رأسي V  =  kerπ _* وفضاء أفقي H حيث π _* هو تماثل خطي عند كل نقطة من UT M. هذا التقسيم يُنشئ مقياسًا على UT M من خلال تعريف أن هذا التقسيم هو مجموع مباشر متعامد، وتعريف المقياس على H عن طريق السحب العكسي:

${\displaystyle g_{H}(v,w)=g(v,w),\quad v,w\in H}$

وتعريف المقياس على V على أنه المقياس المستحث من تضمين الليف UT _x M في الفضاء الإقليدي T _x M. وباستخدام هذا المقياس وشكل التماس، يصبح UT M متعدد الشعب الساساكي .

• جيفري إم. لي: المتشعبات والهندسة التفاضلية . دراسات عليا في الرياضيات، المجلد 107، الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
• يورغن جوست : الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، (2002) دار نشر سبرينغر، برلين. ISBN 3-540-42627-2
• رالف أبراهام وجيرولد مارسدن : أسس الميكانيكا ، (1978) بنيامين كامينغز، لندن. رقم ISBN 0-8053-0102-X