المسار الجيوديسي

في الهندسة ، يُعرَّف الخط الجيوديسي ( يُلفظ /ˌdʒiː.əˈdɛsɪk , -oʊ- , -ˈdiːsɪk , -zɪk / ) [ 1 ] [ 2 ] بأنه منحنى يُمثل ، بمعنى ما ، ^أقصرمسار^محليًا ( ^قوس⁾^بين^نقطتين على سطح ، أو ^بشكل أعم، على مشعب ريماني . ويُستخدم المصطلح أيضًا في أي مشعب قابل ^{للتفاضل مع}^اتصال^. وهو تعميم لمفهوم ^" الخط المستقيم " .

يُشتق الاسم "جيوديسي" والصفة "جيوديسي" من علم الجيوديسيا ، وهو علم قياس حجم وشكل الأرض ، مع أن العديد من المبادئ الأساسية قابلة للتطبيق على أي شكل هندسي بيضاوي . في الأصل، كان الجيوديسي أقصر مسار بين نقطتين على سطح الأرض . بالنسبة للأرض الكروية ، فهو جزء من دائرة عظمى (انظر أيضًا مسافة الدائرة العظمى ). وقد عُمِّم المصطلح لاحقًا ليشمل فضاءات رياضية أكثر تجريدًا؛ على سبيل المثال، في نظرية المخططات ، يمكن اعتبار الجيوديسي بين رأسين /عقدتين في مخطط .

في فضاء ريماني أو فضاء فرعي ريماني، تتميز الخطوط الجيوديسية بخاصية انعدام انحنائها . وبشكل أعم، في وجود اتصال أفيني ، يُعرَّف الخط الجيوديسي بأنه منحنى تبقى متجهاته المماسية متوازية إذا نُقلت على طوله. بتطبيق هذا على اتصال ليفي-تشيفيتا لمقياس ريماني، يُستعاد المفهوم السابق.

تُعدّ الخطوط الجيوديسية ذات أهمية خاصة في النسبية العامة . وتصف الخطوط الجيوديسية الزمنية في النسبية العامة حركة جسيمات الاختبار الساقطة سقوطاً حراً .

مقدمة

يمكن تعريف أقصر مسار محلي بين نقطتين معطيتين في فضاء منحني، بافتراض أنه متعدد شعب ريماني، باستخدام معادلة طول المنحنى ⁽ دالة ^f^من فترة مفتوحة من R إلى الفضاء ) ، ثم تقليل هذا الطول بين النقطتين باستخدام حساب التفاضل والتكامل . يُعاني هذا من بعض المشاكل التقنية البسيطة نظرًا لوجود فضاء لانهائي الأبعاد من الطرق المختلفة لتمثيل أقصر مسار. من الأسهل حصر مجموعة المنحنيات بتلك التي تُمثل "بسرعة ثابتة" 1، أي أن المسافة من f ( s ) إلى f ( t ) على طول المنحنى تساوي | s - t |. وبالمثل، يمكن استخدام كمية مختلفة تُسمى طاقة المنحنى؛ يؤدي تقليل الطاقة إلى نفس المعادلات للمسار الجيوديسي (حيث "السرعة الثابتة" هي نتيجة للتقليل). يمكن فهم هذه الصيغة الثانية بشكل بديهي من خلال ملاحظة أن الشريط المطاطي المشدود بين نقطتين سيتقلص عرضه، وبالتالي سيقلل من طاقته. والشكل الناتج للشريط هو خط جيوديسي.

من الممكن أن تُقلل عدة منحنيات مختلفة المسافة بين نقطتين، كما هو الحال بالنسبة لنقطتين متقابلتين قطريًا على سطح الكرة. في هذه الحالة، يُعد أي من هذه المنحنيات خطًا جيوديسيًا.

الجزء المتصل من الخط الجيوديسي هو أيضاً خط جيوديسي.

بشكل عام، لا تُعدّ الخطوط الجيوديسية هي نفسها "أقصر المنحنيات" بين نقطتين، على الرغم من ترابط المفهومين. يكمن الفرق في أن الخطوط الجيوديسية تمثل أقصر مسافة بين النقاط محليًا فقط ، وتُحدد بمعامل "سرعة ثابتة". أما السير "في أطول مسار" على دائرة عظمى بين نقطتين على سطح الكرة فهو خط جيوديسي، ولكنه ليس أقصر مسار بين النقطتين. الخريطة $t\to t^{2}$ إن الانتقال من الفترة 1 على خط الأعداد الحقيقية إلى نفسها يعطي أقصر مسار بين 0 و 1، ولكنه ليس مسارًا جيوديسيًا لأن سرعة الحركة المقابلة لنقطة ما ليست ثابتة.

تُستخدم الخطوط الجيوديسية بكثرة في دراسة الهندسة الريمانية ، وبشكل أعم في الهندسة المترية . في النسبية العامة ، تصف الخطوط الجيوديسية في الزمكان حركة الجسيمات النقطية تحت تأثير الجاذبية فقط. على وجه الخصوص، يُعد مسار صخرة ساقطة، أو قمر صناعي يدور في مدار ، أو شكل مدار كوكب ^، جميعها خطوطًا جيوديسية ^في^{الزمكان} المنحني. وبشكل أعم، يتناول موضوع الهندسة شبه الريمانية المسارات التي قد تسلكها الأجسام عندما لا تكون حرة الحركة، وتكون حركتها مقيدة بطرق مختلفة.

تُقدّم هذه المقالة الصياغة الرياضية المستخدمة في تعريف وإيجاد وإثبات وجود الخطوط الجيوديسية، في حالة المشعبات الريمانية. وتناقش مقالة " علاقة ليفي-تشيفيتا" الحالة الأكثر عمومية للمشعب الريماني الزائف والخط الجيوديسي (النسبية العامة) بتفصيل أكبر الحالة الخاصة للنسبية العامة.

أمثلة

من أكثر الأمثلة شيوعًا الخطوط المستقيمة في الهندسة الإقليدية . على سطح الكرة ، تُمثل الدوائر العظمى الخطوط الجيوديسية . أقصر مسار من النقطة أ إلى النقطة ب على سطح الكرة هو القوس الأقصر من الدائرة العظمى المار بالنقطتين أ و ب . إذا كانت أ و ب نقطتين متقابلتين ، فإنه يوجد عدد لا نهائي من أقصر المسارات بينهما. أما الخطوط الجيوديسية على سطح القطع الناقص فتتصرف بطريقة أكثر تعقيدًا من نظيرتها على سطح الكرة؛ فهي ليست مغلقة بشكل عام (انظر الشكل).

المثلثات

يتشكل المثلث الجيوديسي من خلال الخطوط الجيوديسية التي تربط كل زوج من النقاط الثلاث على سطح معين. أما على الكرة، فتكون الخطوط الجيوديسية عبارة عن أقواس دوائر عظمى ، لتشكل مثلثًا كرويًا .

الهندسة المترية

في الهندسة المترية ، يُعرَّف الخط الجيوديسي بأنه منحنى يُصغِّر المسافة محليًا في كل مكان . بتعبير أدق، يكون المنحنى γ : I → M من فترة I من الأعداد الحقيقية إلى الفضاء المتري M خطًا جيوديسيًا إذا وُجد ثابت v ≥ 0 بحيث أنه لأي t ∈ I توجد جوار J لـ t في I بحيث أنه لأي t ₁ , t ₂ ∈ J لدينا

d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.

هذا يعمم مفهوم الجيوديسية للمشعبات الريمانية. مع ذلك، في الهندسة المترية، غالبًا ما تكون الجيوديسية المدروسة مزودة بمعاملات طبيعية ، أي في المتطابقة أعلاه v = 1 و

d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.

إذا تحققت المساواة الأخيرة لجميع t ₁ ، t ₂ ∈ I ، فإن المسار الجيوديسي يسمى المسار الجيوديسي الأدنى أو أقصر مسار .

بشكل عام، قد لا يحتوي الفضاء المتري على أي خطوط جيوديسية، باستثناء المنحنيات الثابتة. وعلى النقيض من ذلك، فإن أي نقطتين في فضاء متري طولي تتصلان بسلسلة متناقصة من المسارات القابلة للتصحيح ، مع العلم أن هذه السلسلة المتناقصة لا تتقارب بالضرورة إلى خط جيوديسي. وتُبين نظرية هوبف-رينو المترية حالات يكون فيها الفضاء الطولي تلقائيًا فضاءً جيوديسيًا.

تشمل الأمثلة الشائعة للفضاءات المترية الجيوديسية التي غالباً ما لا تكون متعددة الشعب الرسوم البيانية المترية ، والمجمعات متعددة السطوح المترية (المدمجة محلياً) ، وفضاءات ما قبل هيلبرت اللانهائية الأبعاد ، والأشجار الحقيقية .

الهندسة الريمانية

في فضاء ريماني متعدد الشعب $M$ مع موتر متري $g$ الطول $L$ لمنحنى قابل للتفاضل باستمرار ${\displaystyle \gamma$ يتم تعريف ${[a,b]\to M} بواسطة$

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.

المسافة $d(p,q)$ بين نقطتين $p$ و $q$ ل $M$ يُعرَّف بأنه الحد الأدنى للطول المأخوذ على جميع المنحنيات المتصلة والقابلة للتفاضل بشكل مستمر جزئيًا ${\displaystyle \gamma$ بحيث $\gamma (a)=p$ و $\gamma (b)=q$ في الهندسة الريمانية، جميع الخطوط الجيوديسية هي مسارات تُقلل المسافة محليًا، ولكن العكس ليس صحيحًا. في الواقع، المسارات التي تُقلل المسافة محليًا وتُحدد معلماتها بما يتناسب مع طول القوس هي فقط خطوط جيوديسية.

ثمة طريقة أخرى مكافئة لتعريف الخطوط الجيوديسية على مشعب ريماني، وهي تعريفها على أنها الحد الأدنى للدالة الوظيفية للفعل أو الطاقة التالية

E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.

جميع الحد الأدنى من $E$ وهي أيضًا الحد الأدنى من $L$ ، لكن $L$ هي مجموعة أكبر لأن المسارات التي تمثل الحد الأدنى من $L$ يمكن إعادة تحديد معلمات هذه الدوال بشكل تعسفي (دون تغيير طولها)، بينما تظل القيم الدنيا لـ $E$ لا يمكن. بالنسبة لـ... $C^{1}$ منحنى (بشكل عام، أ) $W^{1,2}$ (المنحنى)، تعطي متباينة كوشي-شفارتز

L(\gamma )^{2}\leq 2(ba)E(\gamma )

مع المساواة إذا وفقط إذا $g(\gamma ',\gamma ')$ يساوي ثابتًا ae؛ يجب السير في المسار بسرعة ثابتة. يحدث أن القيم الدنيا لـ $E(\gamma )$ كما يجب تقليل $L(\gamma )$ لأنها تُصبح ذات معلمات خطية، والمتباينة هي مساواة. تكمن فائدة هذا النهج في أن مشكلة البحث عن القيم الصغرى لـ $E$ إنها مسألة حسابية تباينية أكثر قوة. في الواقع، $E(\gamma )$ هي "دالة محدبة" لـ $\gamma$ وبالتالي، فإنه ضمن كل فئة تماثلية من "الدوال المعقولة"، ينبغي توقع وجود قيم صغرى، وتفردها، وانتظامها. في المقابل، فإن "القيم الصغرى" للدالة $L(\gamma )$ لا تكون منتظمة بشكل عام، لأن إعادة تحديد المعلمات بشكل عشوائي مسموح بها.

معادلات أويلر -لاغرانج للحركة الوظيفية $E$ ثم يتم تحديدها في الإحداثيات المحلية بواسطة

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

أين $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ هي رموز كريستوفيل للقياس المتري. هذه هي معادلة الخط الجيوديسي ، التي سيتم شرحها أدناه .

حساب التفاضل والتكامل

يمكن تطبيق تقنيات حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي لدراسة دالة الطاقة $E$ يُعرَّف التغير الأول للطاقة في الإحداثيات المحلية بواسطة

\delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).

تتمثل النقاط الحرجة في التباين الأول تحديدًا في الخطوط الجيوديسية. أما التباين الثاني فيُعرَّف بواسطة

\delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).

بمعنى مناسب، أصفار التغير الثاني على طول خط جيوديسي $\gamma$ تنشأ على طول حقول جاكوبي . وبالتالي، تُعتبر حقول جاكوبي بمثابة اختلافات عبر الخطوط الجيوديسية.

بتطبيق تقنيات حساب التفاضل والتكامل من الميكانيكا الكلاسيكية ، يمكن اعتبار الخطوط الجيوديسية بمثابة تدفقات هاميلتونية . وهي حلول لمعادلات هاميلتون المرتبطة بها ، مع اعتبار المقياس الريماني (الزائف) هو المقياس الهاميلتوني .

الخطوط الجيوديسية الأفينية

خط جيوديسي على سطح مستوٍ أملس $M$ مع اتصال أفيني $\nabla$ يُعرَّف بأنه منحنى $\gamma (t)$ بحيث يحافظ النقل الموازي على طول المنحنى على متجه المماس للمنحنى، لذلك

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0

1

عند كل نقطة على طول المنحنى، حيث ${\dot {\gamma }}$ هي المشتقة بالنسبة إلى $t$ وبشكل أدق، من أجل تعريف المشتقة المتغيرة لـ ${\dot {\gamma }}$ من الضروري أولاً التمديد ${\dot {\gamma }}$ إلى حقل متجه قابل للتفاضل باستمرار في مجموعة مفتوحة . ومع ذلك، فإن القيمة الناتجة لـ ( 1 ) مستقلة عن اختيار التمديد.

استخدام الإحداثيات المحلية على $M$ يمكننا كتابة معادلة الخط الجيوديسي (باستخدام اصطلاح الجمع ) على النحو التالي:

{\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,

أين $\gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)$ هي إحداثيات المنحنى $\gamma (t)$ و $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ تُمثل رموز كريستوفيل الصلة $\nabla$ هذه معادلة تفاضلية عادية للإحداثيات. ولها حل وحيد، بمعلومية الموضع الابتدائي والسرعة الابتدائية. لذلك، من وجهة نظر الميكانيكا الكلاسيكية ، يمكن اعتبار الخطوط الجيوديسية مسارات لجزيئات حرة في فضاء متعدد الأبعاد. في الواقع، المعادلة $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ يعني هذا أن متجه تسارع المنحنى لا يحتوي على مركبات في اتجاه السطح (وبالتالي يكون عموديًا على المستوى المماس للسطح عند كل نقطة من المنحنى). لذا، فإن الحركة تتحدد كليًا بانحناء السطح. وهذه هي أيضًا فكرة النسبية العامة، حيث تتحرك الجسيمات على مسارات جيوديسية، ويكون الانحناء ناتجًا عن الجاذبية.

الوجود والتفرد

تنص نظرية الوجود المحلي والتفرد للخطوط الجيوديسية على أن الخطوط الجيوديسية على مشعب أملس ذي اتصال تآلفي موجودة، وهي فريدة. بتعبير أدق:

لكل نقطة p في M ولكل متجه V في T _p M ( الفضاء المماسي لـ M عند p ) يوجد خط جيوديسي وحيد

\gamma \,

: أنا → م بحيث

\gamma (0)=p\,

و

{\dot {\gamma }}(0)=V,

حيث I هي فترة مفتوحة قصوى في R تحتوي على 0.

يُستنتج برهان هذه النظرية من نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، بملاحظة أن معادلة الجيوديسية هي معادلة تفاضلية عادية من الرتبة الثانية. ومن ثم، يُستنتج وجود الحل ووحدانيته من نظرية بيكارد-ليندلوف لحلول المعادلات التفاضلية العادية ذات الشروط الابتدائية المحددة. وتعتمد قيمة γ بسلاسة على كل من p و V.

بشكل عام، قد لا يكون I هو كل R كما هو الحال مثلاً بالنسبة لقرص مفتوح في R ^2. أي $γ$ يمتد إلى كل $ℝ$ إذا وفقط إذا كانت $M$ كاملة جيوديسياً .

التدفق الجيوديسي

التدفق الجيوديسي هو تأثير R محلي على الحزمة المماسية TM لمتشعب M مُعرَّف بالطريقة التالية

G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)

حيث t ∈ R و V ∈ TM و $\gamma _{V}$ يشير إلى المسار الجيوديسي الذي يحتوي على البيانات الأولية ${\dot {\gamma}} _ {V}(0)=V$ . هكذا، $G^{t}(V)=\exp(tV)$ هي الخريطة الأسية للمتجه tV . يتوافق المدار المغلق للتدفق الجيوديسي مع مسار جيوديسي مغلق على M.

على مشعب (شبه) ريماني، يُعرَّف التدفق الجيوديسي بتدفق هاميلتوني على حزمة الظل المشترك. ويُعطى الهاميلتوني حينها بمعكوس المقياس (شبه) الريماني، مُقَيَّمًا مقابل الشكل التفاضلي الأحادي المتعارف عليه . وعلى وجه الخصوص، يحافظ التدفق على المقياس (شبه) الريماني. $g$ ، أي

g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,

على وجه الخصوص، عندما يكون V متجه وحدة، $\gamma _{V}$ تبقى السرعة ثابتة طوال العملية، لذا فإن التدفق الجيوديسي يكون مماساً لحزمة المماس الوحدوية . تنص نظرية ليوفيل على ثبات المقياس الحركي على حزمة المماس الوحدوية.

رذاذ جيوديسي

يُعرّف التدفق الجيوديسي مجموعة من المنحنيات في الحزمة المماسية . وتُعرّف مشتقات هذه المنحنيات حقلاً متجهياً على الفضاء الكلي للحزمة المماسية، يُعرف باسم الرذاذ الجيوديسي .

وبشكل أدق، يؤدي الاتصال الأفيني إلى انقسام حزمة المماس المزدوج TT M إلى حزم أفقية ورأسية :

TTM=H\oplus V.

يمكن تصور حزمة المماس المزدوج على أنها مساحة للتغيرات المتزامنة لكل من نقطة الأساس والسرعة، دون الالتزام بأي طريقة لنقل السرعة عبر نقاط الأساس.

لأي $x\in M,\;v\in T_{x}M$ الألياف العمودية $V_{(x,v)}$ يتم تحديده بواسطة خريطة الإسقاط $\pi :TM\to M$ وهي تتضمن جميع الطرق لتغيير السرعة. $v$ أثناء تثبيت نقطة الأساس $x$ وهي في الأساس نسخة من $T_{x}M$ مترجم من $(x,0)$ ل $(x,v)$ ثم يحدد الاتصال الأفيني المكان $(x,v)$ سيهبط عند تغيير نقطة الأساس مع "تثبيت" السرعة، التي تمتد عبر الألياف الأفقية $H_{(x,v)}$ . وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى الانقسام، فإن نقل متجه $v$ على طول مسار $\gamma$ ببساطة يعني ذلك سحب المتجه على طول الحزمة الأفقية، أي رفع المسار مرتين، من $\gamma (t)$ في $M$ ل $(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))$ في $TM$ ل $(\gamma (t),v(t),a(t))$ في $H$ ، بشرط أن $d\pi (\gamma (t),v,a(t))=(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))$ .

الرذاذ الجيوديسي هو حقل متجه أفقي فريد W يحقق

d\pi W_{(x,v)}=(x,v)

عند كل نقطة $x\in M,\;v\in T_{x}M$ ، هنا $d\pi :TTM\to TM$ يشير إلى الدفع الأمامي (التفاضلي) على طول الإسقاط $\pi :TM\to M$ بشكل بديهي، $d\pi$ يتجاهل التغيير في السرعة ويحافظ على التغيير في نقطة الأساس.

بشكل أعم، يسمح نفس البناء بإنشاء حقل متجهي لأي اتصال إهرسمان على الحزمة المماسية. ولكي يكون الحقل المتجهي الناتج عبارة عن رذاذ (على الحزمة المماسية المحذوفة T M \ {0})، يكفي أن يكون الاتصال متغيرًا تحت عمليات إعادة التحجيم الموجبة، أي يكفي أن يكون، إذا $w\in T_{x}M$ يتم نقلها بواسطة $\gamma$ ل $w'\in T_{x'}M$ ، ثم $kw$ يجب نقلها إلى $kw'$ لأي $k>0$ ليس بالضرورة أن يكون كذلك، إذا $u\in T_{x}M$ كما يتم نقلها إلى $u'\in T_{x'}M$ ، ثم $w+u$ يجب نقلها $w'+u'$ .

أي (انظر: اتصال إهرسمان# حزم المتجهات والمشتقات المتغيرة ) يكفي أن يحقق التوزيع الأفقي

H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,

لكل X ∈ T M \ {0} و λ > 0. هنا d ( S _λ ) هو الدفع الأمامي على طول التماثل القياسي $S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.$ ومن الحالات الخاصة للاتصال غير الخطي الذي ينشأ بهذه الطريقة هو ذلك المرتبط بمتشعب فينسلر .

يُعدّ التباين في ظل عمليات إعادة التحجيم الموجبة ضروريًا لضمان أن يكون نقل المتجهات مُعرّفًا جيدًا على طول المسارات الموجهة، أي بالنظر إلى أي معلمات. $\gamma :I\to M$ من المنحنى، وأي "تغيير في التوقيت" متزايد بشكل رتيب تمامًا $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ، المعايرة الجديدة $\gamma \circ f$ لا يزال ينتج نفس نقل المتجهات. وبدون التكافؤ تحت عمليات إعادة التحجيم الموجبة، يعتمد نقل المتجهات على طول مسار موجه على المعلمات المحددة.

الخطوط الجيوديسية الأفينية والإسقاطية

المعادلة ( 1 ) ثابتة تحت إعادة التحديدات الخطية؛ أي، التحديدات من الشكل

t\mapsto at+b

حيث a و b عددان حقيقيان ثابتان. وبالتالي، فإنه بالإضافة إلى تحديد فئة معينة من المنحنيات المضمنة، تحدد معادلة الجيوديسية أيضًا فئة مفضلة من المعاملات على كل منحنى. وبناءً على ذلك، تُسمى حلول المعادلة ( 1 ) بالجيوديسيات ذات المعامل الأفيني .

يُحدد الاتصال الأفيني بمجموعة خطوطه الجيوديسية ذات المعاملات الأفينية، حتى الالتواء ( سبيفاك 1999 ، الفصل 6، الملحق الأول) . في الواقع، لا يؤثر الالتواء نفسه على مجموعة الخطوط الجيوديسية، لأن معادلة الخط الجيوديسي تعتمد فقط على الجزء المتناظر من الاتصال. بتعبير أدق، إذا $\nabla ,{\bar {\nabla }}$ يوجد اتصالان بحيث يكون موتر الفرق

D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y

إذا كان متماثلًا معكوسًا ، $\nabla$ و ${\bar {\nabla }}$ لها نفس المسارات الجيوديسية، بنفس المعاملات الخطية. علاوة على ذلك، هناك اتصال فريد يجمعها بنفس المسارات الجيوديسية مثل $\nabla$ ولكن مع التواء متلاشٍ.

يتم وصف المسارات الجيوديسية التي لا تخضع لمعاملات محددة بواسطة اتصال إسقاطي .

الأساليب الحسابية

تتضمن الحلول الفعالة لمشكلة الجيوديسية الدنيا على الأسطح عدة مناهج متميزة، بما في ذلك انتشار الجبهة الموجية التوافقية، والحل العددي المباشر لمعادلة الإيكونال ، والأساليب القائمة على انتشار الحرارة؛ والأساليب الثلاثة أدناه هي تمثيلية وليست شاملة.

خوارزمية ميتشل-ماونت-باباديمتريو

تناول ميتشل ، وماونت ، وباباديميتريو مسألة الجيوديسية المنفصلة : إيجاد أقصر مسار بين نقطتين على سطح متعدد السطوح مثلثي. ^{[ 3 ]} تستخدم خوارزميتهم، التي غالبًا ما تُختصر إلى MMP، نهج "دايجسترا المتصل"، حيث تنشر جبهة موجة المسافة عبر الشبكة بطريقة مماثلة لخوارزمية دايجسترا على مجال متصل؛ وغالبًا ما تُوصف حالة جبهة الموجة هذه على كل حافة باستخدام مصطلح "النافذة". ^{[ 4 ]} $تحسب MMP المسافة الجيوديسية$ والمسار بدقة في زمن $O (n² log n) ومساحة$ $O (n²$ $)$ $،$ حيث $n$ هو عدد حواف السطح.

أسلوب المسير السريع

تُكيّف طريقة كيميل وسيثيان للتقدم السريع مع الأسطح المثلثية خوارزمية حل معادلة إيكونال، التي صِيغت في الأصل على شبكات منتظمة: حيث تقوم خوارزمية الفروق المحدودة الرتيبة ذات الاتجاه المعاكس ببناء دالة المسافة عن طريق المسح الخارجي من المصدر بترتيب تزايد المسافة - وهي علاقة سببية مماثلة لخوارزمية ديكسترا على مجال متصل. [ ^{5 ] تعمل} هذه الطريقة في زمن $O (n log n) ، حيث$ $n$ هو عدد نقاط الشبكة، وذلك بتكلفة تقريب المسافة الجيوديسية الحقيقية فقط. وقد وسّعت أعمال لاحقة إطار عمل التقدم السريع ليشمل الأسطح الضمنية وسحب النقاط. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

طريقة التسخين

تقسم طريقة الحرارة لكرين، وويشيدل، ووردتزكي حساب المسافة إلى مرحلتين: أولاً، تحديد اتجاه تزايد المسافة، ثم حساب المسافة نفسها. ^{[ 8 ]} يستند هذا النهج إلى صيغة فارادان ، التي تربط سلوك نواة الحرارة على المدى القصير بمربع المسافة الجيوديسية؛ إلا أن تطبيق هذه الصيغة على تقريب عددي لنواة الحرارة يُعطي نتائج غير دقيقة، لذا تستخدم الطريقة بدلاً من ذلك اتجاه تدرج الحرارة المنتشرة فقط، مع تطبيعه للحصول على حقل متجه وحدة على طول الخطوط الجيوديسية. ثم تُستعاد دالة المسافة بحل معادلة بواسون مقابل هذا الحقل. ولأن كلتا المرحلتين تُختزلان إلى أنظمة خطية متفرقة يمكن تحليلها مسبقًا مرة واحدة، فإن هذه الطريقة مناسبة تمامًا لاستعلامات المسافة المتكررة من مصادر مختلفة على شبكة ثابتة.

اختبار الشريط

يُعد اختبار الشريط طريقةً لإيجاد خط جيوديسي على سطح مادي. ^{[ 9 ]} وتتلخص الفكرة في وضع قطعة من الورق حول خط مستقيم (شريط) على سطح منحني بأقرب ما يمكن دون شد الشريط أو ضغطه (دون تغيير شكله الهندسي الداخلي).

على سبيل المثال، عندما يُلف شريط على شكل حلقة حول مخروط، فإن الشريط لن يلامس سطح المخروط بل سيبرز منه، وبالتالي فإن الدائرة ليست خطًا جيوديسيًا على المخروط. أما إذا تم تعديل الشريط بحيث تلامس جميع أجزائه سطح المخروط، فإنه سيعطي تقريبًا خطًا جيوديسيًا.

رياضياً، يمكن صياغة اختبار الشريط على أنه إيجاد دالة $f:N(\ell )\to S$ في حي $N$ من خط $\ell$ في مستوى داخل سطح $S$ بحيث يكون التخطيط $f$ "لا يغير المسافات حول $\ell$ "بشكل كبير"؛ أي على مسافة $\varepsilon$ من $l$ لدينا $g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})$ أين $g_{N}$ و $g_{S}$ هي مقاييس على $N$ و $S$ .

أمثلة على التطبيقات

على الرغم من طبيعتها الهندسية، فإن فكرة أقصر مسار عامة لدرجة أنها تجد استخدامًا واسع النطاق في جميع العلوم تقريبًا، وفي بعض التخصصات الأخرى أيضًا.

الطوبولوجيا ونظرية الزمر الهندسية

في سطح ذي خاصية أويلر سالبة ، تحدد أي فئة تماثل (حرة) مسارًا جيوديسيًا (مغلقًا) فريدًا لمقياس زائدي . تساهم هذه المسارات الجيوديسية بشكل كبير في الفهم الهندسي لتأثير فئات التعيين .
تتفاعل الفضاءات المترية الجيوديسية وفضاءات الطول بشكل ممتاز مع تأثيرات الزمر المتساوية القياس ( مثل مبرهنة شفارتس-ميلنور ، ومبرهنة هوبف-رينو ، ومبرهنة مورس، إلخ). وغالبًا ما تُشكّل هذه الفضاءات إطارًا مناسبًا لتعميم نتائج الهندسة الريمانية على الإنشاءات التي تعكس هندسة الزمرة. فعلى سبيل المثال، يمكن فهم خاصية غروموف-القطع الزائد من خلال رقة المثلثات الجيوديسية، ويمكن التعبير عن CAT(0) بدلالة الزوايا بين الجيوديسيات.

الاحتمالات والإحصاء والتعلم الآلي

يمكن فهم النقل الأمثل على أنه مشكلة إيجاد المسارات الجيوديسية في فضاءات القياسات.
في هندسة المعلومات ، تلعب التباعدات مثل تباعد كولباك-لايبير دورًا مشابهًا لدور المقياس الريماني، مما يسمح بإجراء مقارنات للاتصالات والجيوديسيات .

الفيزياء

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُقلل المسارات الطاقة وفقًا لمعادلة هاميلتون-جاكوبي ، والتي يمكن اعتبارها فكرة مشابهة للجيوديسية. وفي بعض الحالات الخاصة، يتطابق المفهومان تمامًا .
تُصوّر نظرية النسبية الزمكان على أنه متعدد الشعب اللورنتزي ، حيث يتبع الضوء الجيوديسيات اللورنتزي.

كيمياء

في الكيمياء النظرية والحسابية ، يمكن حساب إحداثيات التفاعل الجوهرية لسطح طاقة الوضع (PES) كخط جيوديسي بين الحد الأدنى المحلي ( الحالات الوسيطة ) ونقاط السرج ( حالات الانتقال ). ^[¹⁰^]^[¹¹^]
في الديناميكا الجزيئية ، يمكن التعامل مع تشكيلات البروتين كنقاط على سطح منحني، حيث تمثل الخطوط الجيوديسية أقصر المسارات وأقلها تشويهاً بين الهياكل، ويمكن أن تساعد في تقريب التحولات المرصودة والتفاعلات داخل الجزيئية. ^{[ 12 ]}

علم الأحياء

يمكن تناول دراسة كيفية قيام الجهاز العصبي بتحسين الحركة العضلية من خلال تزويد فضاء تكوين الجسم بمقياس ريماني يقيس الجهد، بحيث يمكن صياغة المشكلة من حيث الجيوديسيا. ^{[ 13 ]}
تُستخدم المسافة الجيوديسية غالبًا لقياس طول مسارات انتشار الإشارات في الخلايا العصبية. ^{[ 14 ]}
تلعب هياكل الجيوديسية في الجزيئات الكبيرة دورًا في دراسة طيات البروتين . ^{[ 15 ]}
^[¹⁶^] بنية العيون المركبة ، حيث يتم تثبيت ودعم أجزاء كثيرة منها بواسطة شبكة قبة جيوديسية على السطح الخارجي للعين.

هندسة

تُستخدم الخطوط الجيوديسية كأساس لحساب ما يلي:

هياكل الطائرات الجيوديسية؛ انظر هيكل الطائرة الجيوديسي أو هيكل الطائرة الجيوديسي
المسافات الأفقية على سطح الأرض أو بالقرب منه؛ انظر: الجيوديسيات الأرضية
رسم الصور على الأسطح لأغراض العرض؛ انظر رسم الخرائط فوق البنفسجية
تخطيط حركة الروبوت (على سبيل المثال، عند طلاء أجزاء السيارة)؛ انظر مشكلة أقصر مسار
تصحيح أقصر مسار جيوديسي (GSP) على إعادة بناء سطح بواسون (مثلًا في طب الأسنان الرقمي )؛ بدون إعادة بناء GSP غالبًا ما ينتج عنه تقاطعات ذاتية داخل السطح

انظر أيضاً

مقدمة في رياضيات النسبية العامة
علاقة كليروت – صيغة في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة للأهداف المعاد توجيهها.
المنحنى القابل للتفاضل – دراسة المنحنيات من منظور تفاضلي
الهندسة التفاضلية للأسطح
الدائرة الجيوديسية
نظرية هوبف – رينو – تعطي عبارات مكافئة حول اكتمال الخطوط الجيوديسية في مشعبات ريمان.
المقياس الجوهري – مفهوم في الهندسة/الطوبولوجيا
الخط المتساوي الخواص – الخط الذي تكون عنده قيمة الإزاحة التربيعية المطبقة على أي نقطتين تساوي صفرًا
حقل جاكوبي – حقل متجه في الهندسة الريمانية
نظرية مورس – تحلل طوبولوجيا متعدد الشعب من خلال دراسة الدوال القابلة للتفاضل على ذلك متعدد الشعب
سطح زول – سطح متماثل الشكل مع الكرة
مشكلة العنكبوت والذبابة – مشكلة الجيوديسيا الترفيهية

ملحوظات

↑ بالنسبة لنقطتين على الكرة ليستا متقابلتين، يوجد قوسان دائريان عظيمان بأطوال مختلفة يربطان بينهما، وكلاهما جيوديسي.
1 2 بالنسبة للمتشعب شبه الريماني ، على سبيل المثال، المتشعب اللورنتزي ، يكون التعريف أكثر تعقيدًا.
↑ المسار هو قيمة عظمى محلية للفترة k بدلاً من قيمة صغرى محلية.

مراجع

↑ "جيوديسي" . قاموس ليكسيكو الإنجليزي البريطاني . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-03-2020.
↑ "جيوديسي" . قاموس Merriam-Webster.com . Merriam-Webster. OCLC 1032680871 .
↑ ميتشل، ج.؛ ماونت، د.؛ باباديميتريو، س. (1987). "مسألة الجيوديسية المنفصلة" . مجلة SIAM للحوسبة . 16 (4): 647-668 . doi : 10.1137/0216045 .
↑ شين، س.-ك.؛ وانغ، ج.-ج. (2009). "تحسين خوارزمية تشين وهان في مسألة الجيوديسية المنفصلة". معاملات ACM في الرسومات . 28 (4): 104:1–104:8. doi : 10.1145/1559755.1559761 .
↑ كيميل، ر.؛ سيثيان، ج. أ. (1998). "حساب المسارات الجيوديسية على المشعبات" (ملف PDF) . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 95 (15): 8431-8435 . رمز Bibcode : 1998PNAS...95.8431K . doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092. PMID 9671694. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09 .
↑ ميمولي، ف.؛ سابيرو، ج. (2001). "الحساب السريع لدوال المسافة الموزونة والجيوديسيات على الأسطح الفائقة الضمنية". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 173 (2): 730-764 . doi : 10.1006/jcph.2001.6910 .
↑ ميمولي، ف.؛ سابيرو، ج. (2005). "دوال المسافة والجيوديسيات على الفضاءات الفرعية من R ^d والسحب النقطية". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 65 (4): 1227-1260 . doi : 10.1137/S003613990342877X .
↑ كرين، ك.؛ فايشيدل، س.؛ واردتزكي، م. (2017). "طريقة الحرارة لحساب المسافة" . اتصالات رابطة مكائن الحوسبة . 60 (11): 90-99 . doi : 10.1145/3131280 . S2CID 7078650 .
↑ Vsauce (2017-11-02). أي اتجاه هو الأسفل؟ . تم الاسترجاع في 2025-03-26 – عبر يوتيوب.
↑ أغيلار-موغاس، أنطوني؛ خيمينيز، خافيير؛ بوفيل، جوزيب ماريا (14 مارس 2008). "إيجاد مسارات التفاعل باستخدام طاقة الوضع كإحداثية للتفاعل". مجلة الفيزياء الكيميائية . 128 (10): 104102. doi : 10.1063/1.2834930 . ISSN 0021-9606 . PMID 18345872 .
↑ هايت، ديبتاركا؛ إسترادا بابون، جان د.؛ ستور، مارتن؛ مارتينيز، تود ج. (25-11-2025). "تحديد حالات الانتقال الأولية عبر بناء جيوديسي على أسطح طاقة كامنة مُتعلمة آليًا". مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 21 (22): 11632-11644 . arXiv : 2507.17968 . doi : 10.1021/acs.jctc.5c01221 . ISSN 1549-9626 . PMID 41190940 .
↑ ديبيفين، ويليم؛ إستيف-ياغوي، كارلوس؛ ليلمان، يان؛ أوكتيم، أوزان؛ شونليب، كارولا-بيبيان (13 أغسطس 2024). " الهندسة الريمانية لتحليل بيانات ديناميكيات البروتين بكفاءة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 121 (33) e2318951121. doi : 10.1073/pnas.2318951121 . ISSN 1091-6490 . PMC 11331106. PMID 39121160 .
↑ نيلسون، بيتر د.؛ نيلسون، ميغان د.؛ باي، روبن ت. (2015-12-01). "نظرية هندسية ريمانية لحركة الإنسان: فرضية التآزر الجيوديسي" . علم حركة الإنسان . 44 : 42-72 . doi : 10.1016/j.humov.2015.08.010 . ISSN 0167-9457 . PMID 26302481 .
↑ بيشكوف، كوسيو؛ تيسينغا، بول (2022-02-01). "المسافة القائمة على الجيوديسية تكشف عن خصائص طوبولوجية غير خطية في النشاط العصبي من القشرة البصرية للفأر" . علم التحكم الآلي البيولوجي . 116 (1): 53-68 . doi : 10.1007/s00422-021-00906-5 . ISSN 1432-0770 . PMID 34816322 .
↑ زانوتي، جوزيبي؛ غيرا، كونشيتينا (16 يناير 2003). "هل يُعدّ مفهوم التنسيغريتي مفهومًا موحدًا لطيات البروتين؟" . رسائل FEBS . 534 (1): 7-10 . Bibcode : 2003FEBSL.534....7Z . doi : 10.1016/S0014-5793(02)03853-X . ISSN 0014-5793 . PMID 12527354 .
^ كلاسين، فيليز؛ كروننبرج ، روبرت (10 مارس 2006). البيئات القابلة للنقل 3 . تايلور وفرانسيس. ص. 175. ردمك 978-1-134-28879-3.

سبيفاك، مايكل (1999)، مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية (المجلد 2) ، هيوستن، تكساس: دار النشر Publish or Perish، رقم ISBN 978-0-914098-71-3

للمزيد من القراءة

أدلر، رونالد؛ بازين، موريس؛ شيفر، مناحيم (1975)، مقدمة في النسبية العامة (الطبعة الثانية )، نيويورك: ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-000423-8انظر الفصل الثاني .
أبراهام، رالف هـ.؛ مارسدن ، جيرولد إي. (1978)، أسس الميكانيكا ، لندن: بنجامين-كامينغز، رمز Bibcode : 1978fome.book.....A ، ISBN 978-0-8053-0102-1انظر القسم 2.7 .
جوست، يورغن (2002)، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-42627-1انظر القسم 1.4 .
كوباياشي، شوشيتشي ؛ نوميزو، كاتسومي (1996)، أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد 1 ( طبعة جديدة)، وايلي-إنترساينس، ISBN 0-471-15733-3.
لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1975)، النظرية الكلاسيكية للحقول ، أكسفورد: بيرغامون، رمز Bibcode : 1975ctf..book.....L ، ISBN 978-0-08-018176-9انظر القسم 87 .
ميسنر، تشارلز دبليو ؛ ثورن، كيب ؛ ويلر، جون أرشيبالد (1973)، الجاذبية ، دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-0344-0
أورتين ، توماس (2004)، الجاذبية والأوتار ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-82475-0لاحظ بشكل خاص الصفحتين 7 و 10.
فولكوف، يو. أ. (2001) [1994]، "الخط الجيوديسي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
واينبرغ، ستيفن (1972)، الجاذبية وعلم الكونيات: مبادئ وتطبيقات النظرية النسبية العامة ، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رمز Bibcode : 1972gcpa.book.....W ، رقم ISBN 978-0-471-92567-5انظر الفصل 3 .

روابط خارجية

إعادة النظر في الجيوديسيات - مقدمة عن الجيوديسيات بما في ذلك طريقتان لاشتقاق معادلة الجيوديسية مع تطبيقات في الهندسة (الجيوديسية على الكرة وعلى الطارة )، والميكانيكا ( البراكيستوكرون ) والبصريات (شعاع الضوء في وسط غير متجانس).
مشعب فرعي جيوديسي بالكامل. مؤرشف بتاريخ 10 أغسطس 2015 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) ضمن أطلس المشعبات.

[3] بالنسبة لنقطتين على الكرة ليستا متقابلتين، يوجد قوسان دائريان عظيمان بأطوال مختلفة يربطان بينهما، وكلاهما جيوديسي.

[pseudo-4] 1 2 بالنسبة للمتشعب شبه الريماني ، على سبيل المثال، المتشعب اللورنتزي ، يكون التعريف أكثر تعقيدًا.

[5] المسار هو قيمة عظمى محلية للفترة k بدلاً من قيمة صغرى محلية.

[1] "جيوديسي" . قاموس ليكسيكو الإنجليزي البريطاني . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-03-2020.

[2] "جيوديسي" . قاموس Merriam-Webster.com . Merriam-Webster. OCLC 1032680871 .

[6] ميتشل، ج.؛ ماونت، د.؛ باباديميتريو، س. (1987). "مسألة الجيوديسية المنفصلة" . مجلة SIAM للحوسبة . 16 (4): 647-668 . doi : 10.1137/0216045 .

[7] شين، س.-ك.؛ وانغ، ج.-ج. (2009). "تحسين خوارزمية تشين وهان في مسألة الجيوديسية المنفصلة". معاملات ACM في الرسومات . 28 (4): 104:1–104:8. doi : 10.1145/1559755.1559761 .

[8] كيميل، ر.؛ سيثيان، ج. أ. (1998). "حساب المسارات الجيوديسية على المشعبات" (ملف PDF) . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 95 (15): 8431-8435 . رمز Bibcode : 1998PNAS...95.8431K . doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092. PMID 9671694. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2022-10-09 .

[9] ميمولي، ف.؛ سابيرو، ج. (2001). "الحساب السريع لدوال المسافة الموزونة والجيوديسيات على الأسطح الفائقة الضمنية". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 173 (2): 730-764 . doi : 10.1006/jcph.2001.6910 .

[10] ميمولي، ف.؛ سابيرو، ج. (2005). "دوال المسافة والجيوديسيات على الفضاءات الفرعية من R ^d والسحب النقطية". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 65 (4): 1227-1260 . doi : 10.1137/S003613990342877X .

[11] كرين، ك.؛ فايشيدل، س.؛ واردتزكي، م. (2017). "طريقة الحرارة لحساب المسافة" . اتصالات رابطة مكائن الحوسبة . 60 (11): 90-99 . doi : 10.1145/3131280 . S2CID 7078650 .

[12] Vsauce (2017-11-02). أي اتجاه هو الأسفل؟ . تم الاسترجاع في 2025-03-26 – عبر يوتيوب.

[13] أغيلار-موغاس، أنطوني؛ خيمينيز، خافيير؛ بوفيل، جوزيب ماريا (14 مارس 2008). "إيجاد مسارات التفاعل باستخدام طاقة الوضع كإحداثية للتفاعل". مجلة الفيزياء الكيميائية . 128 (10): 104102. doi : 10.1063/1.2834930 . ISSN 0021-9606 . PMID 18345872 .

[14] هايت، ديبتاركا؛ إسترادا بابون، جان د.؛ ستور، مارتن؛ مارتينيز، تود ج. (25-11-2025). "تحديد حالات الانتقال الأولية عبر بناء جيوديسي على أسطح طاقة كامنة مُتعلمة آليًا". مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 21 (22): 11632-11644 . arXiv : 2507.17968 . doi : 10.1021/acs.jctc.5c01221 . ISSN 1549-9626 . PMID 41190940 .

[15] ديبيفين، ويليم؛ إستيف-ياغوي، كارلوس؛ ليلمان، يان؛ أوكتيم، أوزان؛ شونليب، كارولا-بيبيان (13 أغسطس 2024). " الهندسة الريمانية لتحليل بيانات ديناميكيات البروتين بكفاءة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 121 (33) e2318951121. doi : 10.1073/pnas.2318951121 . ISSN 1091-6490 . PMC 11331106. PMID 39121160 .

[16] نيلسون، بيتر د.؛ نيلسون، ميغان د.؛ باي، روبن ت. (2015-12-01). "نظرية هندسية ريمانية لحركة الإنسان: فرضية التآزر الجيوديسي" . علم حركة الإنسان . 44 : 42-72 . doi : 10.1016/j.humov.2015.08.010 . ISSN 0167-9457 . PMID 26302481 .

[17] بيشكوف، كوسيو؛ تيسينغا، بول (2022-02-01). "المسافة القائمة على الجيوديسية تكشف عن خصائص طوبولوجية غير خطية في النشاط العصبي من القشرة البصرية للفأر" . علم التحكم الآلي البيولوجي . 116 (1): 53-68 . doi : 10.1007/s00422-021-00906-5 . ISSN 1432-0770 . PMID 34816322 .

[18] زانوتي، جوزيبي؛ غيرا، كونشيتينا (16 يناير 2003). "هل يُعدّ مفهوم التنسيغريتي مفهومًا موحدًا لطيات البروتين؟" . رسائل FEBS . 534 (1): 7-10 . Bibcode : 2003FEBSL.534....7Z . doi : 10.1016/S0014-5793(02)03853-X . ISSN 0014-5793 . PMID 12527354 .

[19] كلاسين، فيليز؛ كروننبرج ، روبرت (10 مارس 2006). البيئات القابلة للنقل 3 . تايلور وفرانسيس. ص. 175. ردمك 978-1-134-28879-3.

أقصر

)

بشكل

للتفاضل مع

،

[ 3 ]

[ 4 ]

5 ] تعمل

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗