صلة إهرسمان

صلة إهرسمان​${\displaystyle E}$هي حزمة فرعية سلسة${\displaystyle H}$ل${\displaystyle TE}$، والتي تسمى الحزمة الأفقية للاتصال، وهي مكملة لـ V ، بمعنى أنها تحدد تحليل المجموع المباشر${\displaystyle TE=H\oplus V}$[ ^{2 ] بمزيد من التفصيل، فإن} الحزمة الأفقية لها الخصائص التالية.

• لكل نقطة${\displaystyle e\in E}$،${\displaystyle H_{e}}$هو فضاء متجهي جزئي من الفضاء المماسي${\displaystyle T_{e}E}$ ل${\displaystyle E}$في${\displaystyle e}$، والتي تسمى الفضاء الفرعي الأفقي للاتصال عند${\displaystyle e}$.
• ${\displaystyle H_{e}}$يعتمد بسلاسة على${\displaystyle e}$.
• لكل${\displaystyle e\in E}$،${\displaystyle H_{e}\cap V_{e}=\{0\}}$.
• أي متجه مماس في${\displaystyle T_{e}E}$(لأي${\displaystyle e\in E}$) هو مجموع مركبة أفقية ومركبة رأسية، بحيث${\displaystyle T_{e}E=H_{e}+V_{e}}$.

بصورة أكثر دقة، فإن هذا التخصيص للمساحات الأفقية التي تحقق هذه الخصائص يتوافق تمامًا مع مقطع أملس لحزمة النفاثات${\displaystyle J^{1}E\rightarrow E}$.

بصورة مكافئة، ليكن Φ الإسقاط على الحزمة الرأسية V على طول H (بحيث H = ker Φ ). يتم تحديد هذا من خلال تحليل المجموع المباشر لـ TE إلى جزأين أفقي ورأسي، ويُسمى أحيانًا شكل اتصال إهرسمان. بالتالي، فإن Φ هو تشاكل حزمة متجهة من TE إلى نفسه، وله الخصائص التالية (للإسقاطات بشكل عام):

• Φ ² = Φ ;
• Φ هي المتطابقة على V = Im Φ .

وعلى العكس من ذلك، إذا كان Φ عبارة عن تشاكل حزمة متجهة لـ TE يحقق هاتين الخاصيتين، فإن H = ker Φ هو الحزمة الفرعية الأفقية لوصلة إهرسمان.

وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى أن Φ ، باعتبارها تطبيقًا خطيًا لكل فضاء مماس على نفسه، يمكن اعتبارها أيضًا شكلًا تفاضليًا من الدرجة الأولى ذي قيم TE على E. وسيكون هذا منظورًا مفيدًا في الأقسام القادمة.

يُحدد اتصال إهرسمان أيضًا طريقة لرفع المنحنيات من الفضاء الأساسي M إلى الفضاء الكلي لحزمة الألياف E بحيث تكون المماسات للمنحنى أفقية. ^{[ 2 ] [ 3 ]} تُعد عمليات الرفع الأفقية هذه نظيرًا مباشرًا للنقل المتوازي في إصدارات أخرى من صيغة الاتصال.

على وجه التحديد، لنفترض أن γ ( t ) منحنى أملس في M يمر بالنقطة x  = γ (0). ولتكن e ∈ E _x نقطة في الليف فوق x . رفع γ عبر e هو منحنى   ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$في الفضاء الكلي E بحيث

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=e}$، و${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).}$

يكون المصعد أفقيًا إذا كان كل مماس للمنحنى يقع في الحزمة الفرعية الأفقية من TE :

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}$

يمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية الرتبة والفراغ المطبقة على π و Φ، حيث أن لكل متجه X ∈ T _x M رفعًا أفقيًا فريدًا إلى متجه${\displaystyle {\tilde {X}}\in T_{e}E}$على وجه الخصوص، يُولّد الحقل المماسي لـ γ حقلاً متجهياً أفقياً في الفضاء الكلي لحزمة السحب العكسي γ * E. وبحسب نظرية بيكارد-ليندلوف ، فإن هذا الحقل المتجهي قابل للتكامل . وبالتالي، لأي منحنى γ ونقطة e على x  = γ (0)، يوجد رفع أفقي وحيد لـ γ يمر عبر e عند الزمن t الصغير . 

_{لاحظ أنه بالنسبة لوصلات إهرسمان العامة، فإن} الرفع الأفقي يعتمد على المسار. فعندما يُرفع منحنيان أملسان في M _، متطابقان عند γ₁ (0) = γ₂ ( ₀ ) = x₀ ويتقاطعان أيضًا عند نقطة أخرى x₁ ∈ M ، أفقيًا إلى _E عبر نفس النقطة e ∈ π⁻¹ ( ^x₀ ₎ ، فإنهما سيمران عمومًا بنقاط مختلفة من ^{π⁻¹ (} x₁ ) . ولهذا تبعات _مهمة على الهندسة التفاضلية لحزم الألياف: ففضاء مقاطع H ليس جبرًا جزئيًا من جبر لي ^لفضاء حقول المتجهات على E ، لأنه ليس (عمومًا) مغلقًا تحت قوس لي لحقول المتجهات . ويُقاس هذا القصور في الإغلاق تحت قوس لي بالانحناء .      

ليكن Φ اتصال إهرسمان. عندئذٍ يُعطى انحناء Φ بالعلاقة ^{[ 4 ].}

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]}$

حيث يرمز [-,-] إلى قوس فروليشر-نايجنهاوس لـ Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) مع نفسه. وبالتالي، فإن R ∈ Ω ² ( E , TE ) هو الشكل الثنائي على E بقيم في TE معرفة بواسطة

${\displaystyle R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)}$،

أو بعبارة أخرى،

${\displaystyle R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}}$،

حيث يرمز X = X _H + X _V إلى تحليل المجموع المباشر إلى مركبتين H و V على التوالي. من هذا التعبير الأخير للانحناء، يتضح أنه يتلاشى تمامًا إذا، وفقط إذا، كانت الحزمة الفرعية الأفقية قابلة للتكامل وفقًا لفروبينيوس . وبالتالي ، فإن الانحناء هو شرط التكامل اللازم للحزمة الفرعية الأفقية لإنتاج مقاطع عرضية لحزمة الألياف E → M.

كما أن انحناء وصلة إهرسمان يفي بنسخة من هوية بيانكي :

${\displaystyle \left[\varPhi ,R\right]=0}$

حيث [-,-] مرة أخرى هو قوس Frölicher-Nijenhuis لـ Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) و R ∈ Ω ² ( E , TE ).

تسمح وصلة إهرسمان للمنحنيات برفع أفقي فريد محليًا . أما بالنسبة لوصلة إهرسمان الكاملة ، فيمكن رفع المنحنى أفقيًا على كامل نطاقه.

يتوافق تسطح الاتصال محليًا مع قابلية التكامل لفروبينيوس للفراغات الأفقية. وعلى النقيض من ذلك، فإن الانحناء غير المتلاشي يعني وجود تكاملية الاتصال. ^{[ 5 ]}

لنفترض أن E عبارة عن حزمة رئيسية ملساء من النوع G على M. عندئذٍ، يُقال إن اتصال إهرسمان H على E هو اتصال رئيسي (إهرسمان) ^{[ 3 ]} إذا كان ثابتًا بالنسبة لتأثير G على E بالمعنى التالي:

${\displaystyle H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})}$لأي e ∈ E و g ∈ G ؛ هنا${\displaystyle \mathrm {d} (R_{g})_{e}}$يشير إلى تفاضل الفعل الأيمن لـ g على E at e .

تؤثر المجموعات الفرعية ذات المعامل الواحد من G عموديًا على E. يسمح تفاضل هذا التأثير بتحديد الفضاء الجزئي${\displaystyle V_{e}}$باستخدام جبر لي g للمجموعة G ، على سبيل المثال بواسطة الخريطة${\displaystyle \iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}}$. يمكن بعد ذلك اعتبار شكل الاتصال Φ لاتصال Ehresmann بمثابة شكل 1 ω على E مع قيم في g معرفة بواسطة ω ( X )= ι ( Φ ( X )).

وبهذا التفسير الجديد، فإن شكل الاتصال ω يحقق الخاصيتين التاليتين:

• يتحول بشكل متكافئ تحت تأثير فعل G :${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$ لكل h ∈ G ، حيث R _h ^* هو السحب الخلفي تحت الفعل الأيمن و Ad هو التمثيل المرافق لـ G على جبر لي الخاص به.
• إنها تربط حقول المتجهات الرأسية بعناصرها المرتبطة بها في جبر لي: ω ( X )= ι ( X ) لجميع X ∈ V .

وعلى العكس من ذلك، يمكن إثبات أن مثل هذا الشكل 1 ذو القيم g على حزمة رئيسية يولد توزيعًا أفقيًا يحقق الخصائص المذكورة أعلاه.

بفرض تبسيط محلي، يمكن اختزال ω إلى حقول المتجهات الأفقية (في هذا التبسيط). يُعرّف هذا التبسيط شكلاً من الدرجة الأولى ω' على M عبر السحب العكسي . يُحدد الشكل ω' الشكل ω بشكل كامل، ولكنه يعتمد على اختيار التبسيط. (يُطلق على هذا الشكل غالبًا اسم شكل الاتصال ويُرمز إليه ببساطة بـ ω ).

لنفترض أن E حزمة متجهات ملساء على M. يُقال إن اتصال إهرسمان H على E هو اتصال خطي (إهرسمان) إذا كان _He يعتمد خطيًا على e ∈ E _x لكل x ∈ M. ولتوضيح ذلك بدقة، لنرمز _بـ Sλ إلى الضرب القياسي بـ λ على E. عندئذٍ يكون H خطيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})}$لأي e ∈ E وعدد قياسي λ.

بما أن E حزمة متجهة، فإن حزمتها الرأسية V متماثلة مع π * E. بالتالي، إذا كان s مقطعًا من E ، فإن Φ (ds ) : TM → s * V = s * π * E = E. وهو تشاكل حزمة متجهة، وبالتالي يُعطى بواسطة مقطع ∇s من الحزمة المتجهة Hom( TM , E ). ولأن اتصال إهرسمان خطي، فإنه يتحقق أيضًا لكل دالة.${\displaystyle f}$على${\displaystyle M}$قاعدة لايبنتز، أي${\displaystyle \nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s}$وبالتالي فهو مشتق متغاير لـ s .

وعلى العكس من ذلك، فإن المشتق المتغير ∇ على حزمة متجهة يحدد اتصال إهرسمان الخطي عن طريق تعريف H _e ، لـ e ∈ E مع x = π ( e )، ليكون الصورة d s _x ( T _x M ) حيث s هو مقطع من E مع s ( x ) = e و ∇ _X s = 0 لجميع X ∈ T _x M .

لاحظ أنه (لأسباب تاريخية) يتم استخدام مصطلح الخطي عند تطبيقه على الاتصالات، في بعض الأحيان (مثل كلمة أفيني  - انظر الاتصال الأفيني ) للإشارة إلى الاتصالات المعرفة على حزمة المماس أو حزمة الإطار .

قد يؤدي اتصال إهرسمان على حزمة ليفية (مزودة بمجموعة هيكلية) أحيانًا إلى اتصال إهرسمان على حزمة مرتبطة بها . على سبيل المثال، يُنشئ اتصال (خطي) في حزمة متجهة E ، يُفترض أنه يُعطي توازيًا لـ E كما ذُكر سابقًا، اتصالًا على حزمة الإطارات المرتبطة بـ E، P_E . وبالعكس، يُنشئ اتصال في P_E اتصالًا (خطيًا) في E بشرط أن يكون هذا الاتصال في P_E متغيرًا بالنسبة لتأثير المجموعة الخطية العامة على الإطارات (وبالتالي اتصالًا رئيسيًا ). ليس من الممكن دائمًا أن يُنشئ اتصال إهرسمان، بطريقة طبيعية، اتصالًا على حزمة مرتبطة بها. على سبيل المثال، قد لا يُنشئ اتصال إهرسمان غير المتغير على حزمة إطارات لحزمة متجهة اتصالًا على حزمة المتجهات نفسها.

لنفترض أن E حزمة مرتبطة بـ P ، بحيث E = P × _GF . الاتصال G على E هو اتصال إهرسمان بحيث تُعطى خريطة النقل المتوازي τ : F _x → F _{x ′} بتحويل G للألياف (على النقاط x و x ′ القريبة بما فيه الكفاية في M المتصلة بمنحنى). ^{[ 6 ]} 

بالنظر إلى اتصال رئيسي على P ، يحصل المرء على اتصال G على حزمة الألياف المرتبطة E = P × _G F عن طريق السحب للخلف .

على النقيض، إذا توفر اتصال G على E، فمن الممكن استعادة الاتصال الرئيسي على الحزمة الرئيسية المرتبطة به P. لاستعادة هذا الاتصال الرئيسي، يُعرَّف مفهوم الإطار على الليف النموذجي F. بما أن G زمرة لي محدودة الأبعاد ^{[ 7 ]} تؤثر فعليًا على F ، فلا بد من وجود تكوين محدود من النقاط ( y1 , ..., ym ₎ داخل F بحيث يكون مدار G، R = {( gy1 _, ..., gym ) | g ∈ _{G } ،} فضاءً متجانسًا رئيسيًا لـ G. يمكن اعتبار R تعميمًا لمفهوم الإطار لتأثير G على F. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن R فضاء متجانس رئيسي لـ G ، فإن حزمة الألياف E ( R ) المرتبطة بـ E مع الليف النموذجي R هي (مكافئة) للحزمة الرئيسية المرتبطة بـ E. وهي أيضًا حزمة فرعية من حزمة الضرب m- المضاعفة لـ E مع نفسها. يؤدي توزيع الفضاءات الأفقية على E إلى توزيع الفضاءات على حزمة الضرب هذه. وبما أن خرائط النقل المتوازية المرتبطة بالاتصال هي خرائط G ، فإنها تحافظ على الفضاء الجزئي E ( R )، وبالتالي ينحدر اتصال G إلى اتصال G رئيسي على E ( R ).

باختصار، توجد علاقة تناظرية (حتى التكافؤ) بين مسارات الوصلات الرئيسية إلى حزم الألياف المرتبطة بها، ووصلات G على حزم الألياف المرتبطة. ولهذا السبب، في فئة حزم الألياف ذات المجموعة البنيوية G ، تحتوي الوصلة الرئيسية على جميع المعلومات ذات الصلة بوصلات G على الحزم المرتبطة. وبالتالي، ما لم يكن هناك سببٌ مُلِحٌّ للنظر في الوصلات على الحزم المرتبطة (كما هو الحال، على سبيل المثال، في وصلات كارتان )، فإن المرء عادةً ما يتعامل مباشرةً مع الوصلة الرئيسية.