التمثيل المرافق

في الرياضيات ، يُعد التمثيل المرافق (أو الفعل المرافق ) لمجموعة لي G طريقةً لتمثيل عناصر المجموعة كتحويلات خطية لجبر لي الخاص بالمجموعة ، والذي يُعتبر فضاءً متجهيًا . على سبيل المثال، إذا كانت G${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$إذا كانت زمرة لي للمصفوفات الحقيقية القابلة للعكس من الرتبة n × n هي زمرة لي للمصفوفات الحقيقية القابلة للعكس من الرتبة n×n، فإن التمثيل المرافق هو تشاكل الزمرة الذي يرسل مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة n × n${\displaystyle g}$إلى تشاكل داخلي للفضاء المتجهي لجميع التحويلات الخطية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مُعرَّف بواسطة:${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$.

بالنسبة لأي زمرة لي، يُحصل على هذا التمثيل الطبيعي عن طريق تبسيط (أي أخذ التفاضل ) تأثير G على نفسها بالاقتران . ويمكن تعريف التمثيل المرافق للزمر الجبرية الخطية على أي حقول .

يترك${\displaystyle G}$كن جماعة كاذبة ، ودع

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

كن الخريطة${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$، مع${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$مجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle \Psi _{g}:G\rightarrow G}$معطى بواسطة التشاكل الداخلي (الاقتران)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

هذا${\displaystyle \Psi }$هو تماثل زمر (وهو تماثل زمر لي إذا${\displaystyle G}$متصل ^{[ 1 ]} ).

لكل${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$، يُعرِّف${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$أن يكون مشتقًا من${\displaystyle \Psi _{g}}$في الأصل:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

أين${\displaystyle d}$هو التفاضل و${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$هي الفضاء المماسي عند نقطة الأصل e ( حيث e هو العنصر المحايد للمجموعة G ). بما أن${\displaystyle \Psi _{g}}$هو تشاكل ذاتي لزمرة لي، و Ad _g هو تشاكل ذاتي لجبر لي ؛ أي تحويل خطي قابل للعكس لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إلى نفسها التي تحافظ على قوس لي . علاوة على ذلك، بما أن${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$هو تماثل زمر،${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$أيضًا هو تماثل زمر. ^{[ 2 ]} ومن ثم، فإن التطبيق

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

هو تمثيل جماعي يسمى التمثيل المرافق لـ G.

إذا كانت G زمرة لي خطية ، فإن جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتكون من مصفوفات، والخريطة الأسية هي مصفوفة أسية${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$بالنسبة للمصفوفات X ذات معايير المؤثرات الصغيرة، سنحسب مشتقة ${\displaystyle \Psi _{g}}$في${\displaystyle e}$. بالنسبة لـ g في G و X صغير في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$المنحنى${\displaystyle t\to \exp(tX)}$له مشتق${\displaystyle X}$عند t = 0، نحصل على:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

حيث يوجد على اليمين نواتج ضرب المصفوفات. إذا${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$إذا كانت G زمرة فرعية مغلقة (أي أن G زمرة لي مصفوفية)، فإن هذه الصيغة صالحة لجميع g في G وجميع X في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

باختصار، التمثيل المرافق هو تمثيل متساوي الخواص مرتبط بفعل الاقتران لـ G حول عنصر الوحدة لـ G.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي على حقل ما. بفرض عنصر x من جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، يُعرّف المرء التأثير المرافق لـ x على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$كما هو الحال في الخريطة

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

لكل y في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم التشاكل الداخلي المرافق أو الفعل المرافق .${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ويُشار إليه أيضاً في كثير من الأحيان باسم${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$بما أن القوس ثنائي الخطية، فإن هذا يحدد التحويل الخطي

${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}

معطى بواسطة x ↦ ad _x . ضمن النهاية${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$، يتم تحديد القوس، بحسب التعريف، بواسطة مبدل المعاملين:

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

أين${\displaystyle \circ }$يشير إلى تركيب التحويلات الخطية. باستخدام التعريف أعلاه للقوس، متطابقة جاكوبي

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

يأخذ الشكل

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

حيث x و y و z عناصر اختيارية من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

تُشير هذه المتطابقة الأخيرة إلى أن ad هو تشاكل جبر لي؛ أي أنه تطبيق خطي ينقل الأقواس إلى أقواس. وبالتالي، فإن ad هو تمثيل لجبر لي ويُسمى التمثيل المرافق لهذا الجبر.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وبعبارة أخرى أقرب إلى نظرية الوحدات، فإن هذا التركيب يقول إن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو وحدة نمطية فوق نفسها.

جوهر الإعلان هو مركز${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(هذا مجرد إعادة صياغة للتعريف). من ناحية أخرى، لكل عنصر z في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، التحويل الخطي${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$يلتزم بقانون لايبنتز :

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

لكل x و y في الجبر (إعادة صياغة متطابقة جاكوبي). أي أن ad _z هو اشتقاق وصورة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تحت الإعلان هو جبر فرعي من Der${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$، فضاء جميع مشتقات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

متى${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$هو جبر لي لمجموعة لي G ، و ad هو تفاضل Ad عند عنصر الوحدة في G.

توجد الصيغة التالية المشابهة لصيغة لايبنتز : للكميات القياسية${\displaystyle \alpha ,\beta }$وعناصر جبر لي${\displaystyle x,y,z}$،

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

تُعطى عناصر المصفوفة الصريحة للتمثيل المرافق بواسطة ثوابت بنية الجبر. أي، ليكن {e ⁱ } مجموعة من متجهات الأساس للجبر، مع

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

ثم تُعطى عناصر المصفوفة لـ ad _{e ^{i بالصيغة التالية}}

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

وهكذا، على سبيل المثال، فإن التمثيل المرافق لـ su(2) هو التمثيل المحدد لـ so(3) .

• إذا كانت G مجموعة تبديلية ذات بُعد n ، فإن التمثيل المرافق لـ G هو التمثيل التافه ذو البُعد n .
• إذا كانت G زمرة لي مصفوفية (أي زمرة فرعية مغلقة من${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$إذا كان لدينا جبر لي خاص بنا، فإن جبر لي الخاص بنا هو جبر من مصفوفات n × n مع مبدل لقوس لي (أي جبر فرعي من${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$). في هذه الحالة، يتم إعطاء الخريطة المرافقة بواسطة Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ .
• إذا كانت G هي SL(2, R ) (مصفوفات حقيقية 2×2 ذات محدد 1)، فإن جبر لي لـ G يتكون من مصفوفات حقيقية 2×2 ذات أثر 0. التمثيل مكافئ للتمثيل الذي يقدمه تأثير G عن طريق التعويض الخطي على فضاء الأشكال التربيعية الثنائية (أي ذات متغيرين) .

يلخص الجدول التالي خصائص الخرائط المختلفة المذكورة في التعريف.

${\displaystyle \Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,}$	${\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}$
تماثل زمرة لي: ${\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}$ ${\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}$	التماثل الذاتي لمجموعة لي: ${\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}$
${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
تماثل زمرة لي: ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}}$	التماثل الذاتي في جبر لي: ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$خطي ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]}$
${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$	${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$
تماثل جبر لي: ${\displaystyle \operatorname {ad} }$خطي ${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]}$	اشتقاق جبر لي: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$خطي ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]}$

يُرمز إلى صورة G تحت التمثيل المرافق بـ Ad( G ). إذا كانت G متصلة ، فإن نواة التمثيل المرافق تتطابق مع نواة Ψ، وهي مركز G. لذلك ، يكون التمثيل المرافق لزمرة لي متصلة G أمينًا إذا وفقط إذا كانت G بلا مركز. بشكل أعم، إذا لم تكن G متصلة، فإن نواة التطبيق المرافق هي مركز عنصر الوحدة G₀ لـ _G. وبحسب نظرية التشاكل الأولى ، لدينا

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

بفرض وجود جبر لي حقيقي ذي أبعاد منتهية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحسب نظرية لي الثالثة ، توجد مجموعة لي متصلة${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$جبر لي الخاص به هو صورة التمثيل المرافق لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(أي،${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$.) يُطلق عليها اسم المجموعة المرافقة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

الآن، إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت جبر لي لمجموعة لي متصلة G ، فإن${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$هي صورة التمثيل المرافق لـ G :${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$.

إذا كانت G شبه بسيطة ، فإن الأوزان غير الصفرية للتمثيل المرافق تُشكّل نظامًا جذريًا . ^{[ 7 ]} (بشكل عام، يجب الانتقال إلى تعقيد جبر لي قبل المتابعة). لفهم كيفية عمل ذلك، لننظر في الحالة G = SL( n , R ). يمكننا اعتبار مجموعة المصفوفات القطرية diag( t1, ... _,  tn ) _بمثابة الطارة القصوى T. يُرسل الاقتران بعنصر من T 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

وبالتالي، يؤثر T تأثيرًا تافهًا على الجزء القطري من جبر لي للمصفوفة G ، وله متجهات ذاتية t_{_i} و t_{_j} ^{- 1} على مختلف العناصر غير القطرية. جذور G هي الأوزان diag( t _₁ , ..., t _n ) → t _{_i} و t _{_j} ^{- 1.} وهذا يفسر الوصف القياسي لنظام جذور G  =  SL _{_n} ( R ) كمجموعة من المتجهات على الصورة e _{_i} - e _{_j}.

يمكن أيضًا تعريف التمثيل المرافق للمجموعات الجبرية على أي حقل.

التمثيل المرافق هو التمثيل المضاد للتمثيل المرافق. لاحظ ألكسندر كيريلوف أن مدار أي متجه في التمثيل المرافق هو متعدد شعب تماثلي . وفقًا لفلسفة نظرية التمثيل المعروفة باسم طريقة المدار (انظر أيضًا صيغة كيريلوف المميزة )، يجب فهرسة التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة لي G بطريقة ما بواسطة مداراتها المرافقة. وتكون هذه العلاقة في أوجها في حالة مجموعات لي العديمة القوة .

• حزمة متجاورة

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​  
• كوباياشي، شوشيتشي ؛ نوميزو، كاتسومي (1996). أسس الهندسة التفاضلية، المجلد 1 (  طبعة جديدة). وايلي-إنترساينس. ISBN 978-0-471-15733-5.
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.