المجموعة الجبرية

في الرياضيات ، الزمرة الجبرية هي صنف جبري مزود ببنية زمرية متوافقة مع بنيته كصنف جبري. ولذلك، فإن دراسة الزمر الجبرية تنتمي إلى كل من الهندسة الجبرية ونظرية الزمر .

تُعدّ العديد من مجموعات التحويلات الهندسية مجموعات جبرية، بما في ذلك المجموعات المتعامدة ، والمجموعات الخطية العامة ، والمجموعات الإسقاطية ، والمجموعات الإقليدية ، وغيرها. كما أن العديد من مجموعات المصفوفات جبرية أيضاً. وتظهر مجموعات جبرية أخرى بشكل طبيعي في الهندسة الجبرية، مثل المنحنيات الإهليلجية ومتنوعات جاكوبيان .

تُعدّ الزمر الجبرية الأفينية فئةً مهمةً من الزمر الجبرية ، وهي تلك التي يكون تنوعها الجبري الأساسي تنوعًا أفينيًا ؛ وهي تحديدًا الزمر الجزئية الجبرية للزمرة الخطية العامة ، ولذلك تُسمى أيضًا بالزمر الجبرية الخطية . ^{[ 1 ]} وتُشكّل الزمر الأبيلية فئةً أخرى ، وهي الزمر الجبرية التي يكون تنوعها الأساسي تنوعًا إسقاطيًا . وتنص نظرية شيڤالي للبنية على أنه يُمكن بناء أي زمرة جبرية من زمر تنتمي إلى هاتين الفئتين.

بصورة رسمية، مجموعة جبرية فوق حقل${\displaystyle k}$هو نوع جبري${\displaystyle \mathrm {G} }$زيادة${\displaystyle k}$بالإضافة إلى عنصر مميز${\displaystyle e\in \mathrm {G} (ك)}$( العنصر المحايد )، والخرائط المنتظمة${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$(عملية الضرب) و${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$(عملية الانعكاس) التي تحقق بديهيات المجموعة. ^{[ 2 ]}

يُقال عن الزمرة الجبرية أنها زمرة أفينية إذا كان صنفها الجبري الأساسي صنفًا أفينيًا. ومن الأمثلة المذكورة أعلاه، الزمر الجمعية، والضربية، والخطية العامة، والخطية الخاصة هي زمر أفينية. وباستخدام تأثير الزمرة الجبرية الأفينية على حلقة إحداثياتها ، يمكن إثبات أن كل زمرة جبرية أفينية هي زمرة خطية (أو مصفوفية)، أي أنها متماثلة مع زمرة جزئية جبرية من الزمرة الخطية العامة.

على سبيل المثال، يمكن تضمين المجموعة الإضافية في${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}$بواسطة التشاكل${\displaystyle x\mapsto \left({\begin{matrix}1&x\\0&1\end{matrix}}\right)}$.

هناك العديد من الأمثلة على هذه المجموعات بالإضافة إلى تلك المذكورة سابقًا، بما في ذلك المجموعات المتعامدة ، والمجموعات التبسيطية ، والمجموعات أحادية القوة ، والحلقات الجبرية ، وبعض المنتجات شبه المباشرة ، ^{[ 7 ]} مثل مجموعات النفاثات ، أو بعض المجموعات القابلة للحل مثل مجموعة المصفوفات المثلثية القابلة للعكس .

يمكن تصنيف الزمر الجبرية الخطية إلى حدٍ ما. تنص نظرية ليفي على أن كل زمرة جبرية خطية هي (أساسًا) حاصل ضرب شبه مباشر لزمرة أحادية القوة ( جذرها أحادي القوة ) مع زمرة اختزالية . بدورها، تُحلل الزمرة الاختزالية إلى (أساسًا أيضًا) حاصل ضرب مركزها ( سطح جبري حلقي) مع زمرة شبه بسيطة . تُصنف هذه الزمر على الحقول المغلقة جبريًا عبر جبر لي الخاص بها . ^{[ 8 ]} أما التصنيف على الحقول العشوائية فهو أكثر تعقيدًا، ولكنه لا يزال مفهومًا جيدًا. ^{[ 9 ]} ويمكن توضيحه بشكل جليّ في بعض الحالات، مثل الحقول الحقيقية أو الحقول p -adic ، وبالتالي على حقول الأعداد عبر مبادئ المحلية والعالمية .

تُعدّ المتنوعات الأبيلية مجموعات جبرية إسقاطية متصلة، مثل المنحنيات الإهليلجية. وهي دائماً تبديلية. وتنشأ بشكل طبيعي في مواقف مختلفة في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد، مثل تنوعات جاكوبيان للمنحنيات.

ليست كل الزمر الجبرية زمرًا خطية أو أصنافًا تبديلية؛ فمثلاً، بعض مخططات الزمر التي تظهر بشكل طبيعي في الهندسة الحسابية ليست أيًا منهما. ^{[ 10 ]} تنص نظرية شيڤالي للبنية على أن كل زمرة جبرية متصلة هي امتداد لصنف تبديلي بواسطة زمرة جبرية خطية . بتعبير أدق، إذا كان K حقلًا كاملًا ، و G زمرة جبرية متصلة فوق K ، فإنه يوجد زمرة جزئية مغلقة طبيعية وحيدة H في G ، بحيث تكون H زمرة جبرية خطية متصلة، ويكون G / H صنفًا تبديليًا.

كنوع جبري،${\displaystyle \mathrm {G} }$يحمل طوبولوجيا زاريسكي . وهي ليست بشكل عام طوبولوجيا زمرة ؛ أي أن عمليات الزمرة قد لا تكون متصلة لهذه الطوبولوجيا (لأن طوبولوجيا زاريسكي على المنتج ليست ناتج طوبولوجيات زاريسكي على العوامل ^{[ 11 ]} ).

يُقال إن المجموعة الجبرية متصلة إذا كانت المجموعة الجبرية الأساسية متصلة في طوبولوجيا زاريسكي. بالنسبة للمجموعة الجبرية، هذا يعني أنها ليست اتحاد مجموعتين جزئيتين جبريتين فعليتين. ^{[ 12 ]}

من أمثلة المجموعات غير المتصلة المجموعة الجبرية الفرعية لـ${\displaystyle n}$الجذور النونية للوحدة في المجموعة الضربية${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$(كل نقطة هي مجموعة فرعية مغلقة وفقًا لزاريسكي، لذا فهي غير متصلة لـ${\displaystyle n\geq 1}$). يُشار إلى هذه المجموعة عمومًا بـ${\displaystyle \mu _{n}}$من بين المجموعات غير المتصلة الأخرى، المجموعة المتعامدة في البعد الزوجي (يعطي المحدد تشاكلاً شاملاً لـ${\displaystyle \mu _{2}}$).

وبشكل أعم، فإن كل زمرة منتهية هي زمرة جبرية (يمكن تمثيلها كزمرة جزئية منتهية، وبالتالي مغلقة زاريسكي، من زمرة ما).${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$(بحسب نظرية كايلي ). إضافةً إلى ذلك، فهي دالة تآلفية وإسقاطية. لذا، ولأغراض التصنيف تحديدًا، من الطبيعي حصر العبارات في الزمر الجبرية المتصلة.

إذا كان الحقل${\displaystyle k}$هو حقل محلي (على سبيل المثال الأعداد الحقيقية أو المركبة، أو حقل p -adic) و${\displaystyle \mathrm {G} }$هو${\displaystyle k}$-المجموعة، ثم المجموعة${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$تتمتع بالطوبولوجيا التحليلية الناتجة عن أي تضمين في فضاء إسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$باعتبارها تنوعًا شبه إسقاطي. هذه طوبولوجيا زمرة، وهي تجعل${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$إلى مجموعة طوبولوجية . تُعد هذه المجموعات أمثلة مهمة في النظرية العامة للمجموعات الطوبولوجية.

لو${\displaystyle k=\mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم هذا يجعل${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$إلى زمرة لي . لا يمكن الحصول على جميع زمر لي بهذه الطريقة؛ على سبيل المثال، الغطاء الشامل لـ SL ₂ ( R ) ، أو خارج قسمة زمرة هايزنبرغ على زمرة جزئية منفصلة طبيعية لانهائية. ^{[ 13 ]} قد تحتوي الزمرة الجبرية على الأعداد الحقيقية أو المركبة على زمر جزئية مغلقة (في الطوبولوجيا التحليلية) لا تمتلك نفس المكون المتصل للعنصر المحايد لأي زمرة جزئية جبرية.

توجد عدة نتائج متشابهة بين المجموعات الجبرية ومجموعات كوكسيتر - على سبيل المثال، عدد عناصر المجموعة المتناظرة هو${\displaystyle n!}$وعدد عناصر المجموعة الخطية العامة على حقل منتهٍ هو (حتى عامل ما) مضروب q${\displaystyle [n]_{q}!}$وبالتالي، تتصرف المجموعة المتناظرة كما لو كانت مجموعة خطية على "الحقل ذي العنصر الواحد". ويتم التعبير عن ذلك رسميًا من خلال الحقل ذي العنصر الواحد ، الذي يعتبر مجموعات كوكسيتر مجموعات جبرية بسيطة على الحقل ذي العنصر الواحد.

• تنوع الشخصيات
• مجموعة بوريل الفرعية
• مجموعة ترويض
• رتبة مورلي
• تخمين تشيرلين-زيلبر
• مجموعة جبرية أديلية
• مجموعة شبه اختزالية

• شيفالي، كلود، أد. (1958)، ندوة سي. شيفالي، 1956--1958. تصنيف مجموعات الكذب الجبر ، 2 مجلدات، باريس: Secrétariat Mathématique، MR 0106966 ، أعيد طبعه في المجلد 3 من أعمال شيفالي المجمعة.، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2014-11-04 ، استرجاعها 2012-06-25 
• بوريل، أرماند (1991). الزمر الجبرية الخطية. الطبعة الثانية الموسعة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات:  x+288. Zbl 0726.20030 . 
• همفريز، جيمس إي. (1972)، الزمر الجبرية الخطية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  21، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90108-4، MR 0396773 
• لانغ، سيرج (1983)، أصناف أبيلية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90875-5
• ميلن، جيه إس (2017)، الزمر الجبرية: نظرية مخططات الزمر من النوع المحدود على حقل ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/9781316711736 ، ISBN 978-1107167483MR 3729270​ 
• ميلن، جيه إس، مخططات الزمر الأفينية؛ جبر لي؛ زمر لي؛ الزمر الاختزالية؛ الزمر الجزئية الحسابية
• مومفورد، ديفيد (1970)، أصناف أبيلية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-560528-0، OCLC 138290 
• سبرينغر، توني أ. (1998)، الزمر الجبرية الخطية ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  9 (الطبعة الثانية  )، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، ISBN 978-0-8176-4021-7MR 1642713​ 
• ووترهاوس، ويليام سي. (1979)، مقدمة في مخططات الزمر الأفينية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  66، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90421-4
• ويل، أندريه (1971)، Courbes algébriques et variétés abéliennes ، باريس: هيرمان، OCLC 322901 

• الزمر الجبرية وجبر لي الخاص بها، بقلم دانيال ميلر